初中数学人教九年级上册第二十四章圆-垂直于弦的直径

问题:你知道赵州桥吗?赵州桥是我国隋朝建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.

它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课

可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线都是它的对称轴．讲授新课问题1

剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？问题2

如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC理由如下：连接AO、BO.∵AO=BO.∴三角形AOB是等腰三角形.∵CD⊥AB.∴AE=BE.即CD是AB中垂线.垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB.∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.归纳总结符号语言：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.ABOCDEABOEDABOE想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？垂径定理的几个基本图形：ABO

EC

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论归纳总结ABOCDE思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？·OCDAB圆的两条直径是互相平分的.不能.

直径若平分劣弧，则也平分优弧，并垂直平分弧所对的弦.垂径定理的推论ABOCDEABOCDE

平分同一条弦所对的两弧的线一定经过圆心，且垂直平分该弦.（“知二推三”）典例精析例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA.∴AB=2AE=16cm.16一∴cm.∵OE⊥AB.垂径定理及其推论的计算例2

如图，

⊙O的弦AB＝8cm

，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA.∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得解得x=5即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2∵

CE⊥AB于D.ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.

经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.解得R≈27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.=18.52+(R-7.23)2

∵∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法:弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

OABC·1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为

.5cm2.⊙O的直径AB=20cm,∠BAC=30°则弦AC=_.

103cm当堂练习3.（分类讨论题）如图a、b,一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿____＿.C

DCBOADOAB图a图b2cm或12cm变式：已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为

____

.14cm或2cm拓展提升：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围

.3cm≤OP≤5cmBAOP垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用