2022年全国统一高考乙卷文科数学试卷含答案解析

2022年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。TOC\o"1-5"\h\z1.集合M={2,4,6,8,10},N={x[—l<x<6),则Mp|N=( )A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,8,10}2.设(l+2i)a+b=2i,其中a,6为实数，贝！|( )A.a=1,力=-1 B.a=l,b-1 C.a=-1,b=l D.a=-1,/?=—13.已知向量&=(2,1),5=(-2,4),则|&-5|=( )A.2 B.34.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课夕琳育运动时长（单位：人），得如图茎叶图：则下列结论中错误的是（ ）61861853075326421426.1225666602381A.甲同学周课夕脚育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6x+y..2,5.若x,y满足约束条件＜x+2y,,4,则z=2x-）,的最大值是（ ）y..0,A.-2 B.4 C.8 D.126.设F为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点仇3,0）,若用，贝!||AB|=（）A.2 B.2夜 C.3 D.3&7.执行如图的程序框图，输出的〃=（ ）/愉入a=l,b=l,n=17 ►. b=b+2aa=b—a,n=n+lA.3a=b—a,n=n+lA.3 B.48.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（ ）9.在正方体—中，E,F分别为AB,8C的中点，则（A,平面B｝EF，平面BDD、 B.平面B、EF_L平面A.BDC.平面与政//平面RA。 D,平面与石F//平面AG。TOC\o"1-5"\h\z10.已知等比数列｛%｝的前3项和为168,q-6=42，则4=（ ）C.6 D.311.函数/3）=85%+（工+1）5访工+1在区间［0,21］的最小值、最大值分别为（ ）C「C「02D--T12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.记S,,为等差数列｛4｝的前〃项和.若28=352+6,则公差d=.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为—..过四点四0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_..若/(x)=ln\a+J—|+b是奇函数，贝！Ja=,b=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分..(12分)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)若A=2B，求C；(2)证明:2a2=/+>.18.(12分)如图，四面体中，ADA.CD,AD=CD,ZADB=^BDC,E为AC的中点.(1)证明：平面的>_!_平面A8；(2)设A3=B£>=2,ziACB=60°，点F在BD上，当AAFC的面积最小时，求三棱锥尸-ABC的体积.A19.(12分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：疝)和材积量(单位：渥)，得到如下数据：样本号i1234567S910总和根部横截面积X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量y0.250.400.220.540.510340.360.460.420.403.910 10 10并计算得工片=0.038, =1.6158, =0.2474.1=1 1=1(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0。1)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186加.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.名(x,-T)(y-刃 附：相关系数r=胃53 ,J1.89671.377.Vi=l.(12分)已知函数/(x)=or-」-(a+l)/MX.x(I)当。=0时，求f(x)的最大值；(2)若〃x)恰有一个零点，求a的取值范围..(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、丫轴，且过A(0,-2),8(3,2-1)两点.(1)求E的方程;(2)设过点P(1,-2)的直线交E于两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足析=后.证明：直线HN过定点.(二)选考题：共1。分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。I选修4-4：坐标系与参数方程|(10分).(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜"石。。,〃(为参数).以坐标y=2sinf原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为冗psin(〃+—)+m=0.(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C有公共点，求，"的取值范围.［选修45：不等式选讲］(10分).已知a,b,＜，都是正数，且层+庆+/=1,证明：(1)abc,,—；,/、abc12)V1 1 r-i—,b+ca+ca+b24abe2022年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合M={2,4,6,8,10},N={x]-l<x<6},则Mp|N=( )A.{21A.{214}C.{2,4,6,8)D.{2,4,6,8,10}【思路分析】直接利用交集运算求解即可.【解析】•.•M={2,4,6,8,10},N={x]-l<x<6},.•.Mp|N={2,4}.故选：A.【试题评价】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.设(l+2i)a+b=2i,其中。，6为实数，贝！|( )A.a=l,b=—\ B.a=l,b—1 C.a=-1,b=l【思路分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解.【解析】•,•(i+2i)a+b=2i,:.a+b-\-2ai=2i,:.a+b-\-2ai=2i,即丁；°，解得2a=2：一[.故选：A.b=-\【试题评价】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题.3.已知向量4=(2/)，5=(-2,4),贝!|旧一5|=(【思路分析】先计算处的坐标，再利用坐标模长公式即可.【解析】a-ft=(4,-3),故D=j42+(_3)2=5，故选：。.【试题评价】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题.4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课夕冰育运动时长(单位：万)，得如图茎叶图：则下列结论中错误的是( )63326332102125.6.7.8.9.10.4101A.甲同学周课夕体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【思路分析】根据茎叶图逐项分析即可得出答案.[解析】由茎叶图可知,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为,选项A说法正确；由茎叶图可知,乙同学周课夕体育运动时长的样本平均数大于8,选项8说法正确；甲同学周课夕琳育运动时长大于8的概率的估计值为9=°<0.4,选项C说法错误；168乙同学周课勺体育运动时长大于8的概率的估计值为与=0.8125>0.6,选项。说法正确.16雌：C.【试题评价】本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题.x+y..2,.若x,y满足约束条件,x+2y„4,则z=2x-)•的最大值是( )J..0,A.-2 B.4 C.8 D.12【思路分析】作出可行域，根据图象即可得解.【解析】作出可行域如下图阴影部分所示，由图可知，当(X,y)取点C(4,o)时，目标函数二=2x-.\•取得最大值，且最大为8.故选：C.【试题评价】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题..设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0),若|A/H=|BF|,则|A8|=()A.2 B.2x/2 C.3 D.3&【思路分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可.【解析】尸为抛物线C：V=4x的焦点(1,0),点A在C上，点8(3,0),|A户|=|8尸|=2,由抛物线的定义可知A(1,2)(A不妨在第一象限)，所以|AB|="(3--+(-2)2=20.故选：B.【试题评价】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题..执行如图的程序框图，输出的〃=( )/愉入a=l,b=l,n=17 ►. b=b+2aa=b-a,n=n+lA.3 B.4 C.5 D.6【思路分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的〃值.【解析】模拟执行程序的运行过程，如下：输入4=1,。=1,〃=1,计算〃=1+2=3ta=3—1=2,n=2,TOC\o"1-5"\h\z32 1判断|、-2|=-=。.25..。.01,22 4计算〃=3+4=7,a=7—2=5,n=3,72 1判断I至-2|=石=0.04..0.01；计算人=7+10=17,。=17—5=12,n=4,判断|马-2&<0.01；122 144输出〃=4.故选：8.【试题评价】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题..如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（ ）〃2xcosx n2sinxC-y=~~~- D・y=――-X~4-1 JT+1【思路分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在(1,3)存在零点，可排除3,。选项，再利用cosx在(0,内)的周期性可判断C选项错误.【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，其次观察函数在(1,3)存在零点，而对于8选项：令y=0,即上=0，解得工=0，或x=l或x=-l,故排除8选项，厂4-1对于。选项，令y=0,即学竺=0,解得x=Qr,keZ,故排除。选项，X+1C选项分母为W+1恒为正，但是分子中COSX是个周期函数，故函数图像在(0,—)必定是正负周期出现，故错误，故选：A.【试题评价】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题.【解法二】(补解)对B令x=l,y=0,；.B不对2a:cosx2cos%,V- = <1对C：xw[0,l]'x2+l,1 ,，C不对X+一X对D：x2+l>2x>2sinx,”1；.D不对故：只能选A9.在正方体ABCD-A4CQ中，E,尸分别为加，的中点，则( )A.平面B.EF，平面BDD、 B.平面BXEF_L平面\BDC.平面耳EF//平面AAC D.平面5卢尸//平面AC。【思路分析】对于A,易知E///4C,AC_L平面应犯，从而判断选项A正确；对于8,由选项A及平面BDD,C平面A8。=8。可判断选项B错误；对于C,由于A4,与用E必相交，容易判断选项C错误；对于。，易知平面Aqc〃平面AG。，而平面与平面4EF有公共点片，由此可判断选项。错误.【解析】对于A，由于E,〃分别为AB,BC的中点，则M//AC,又AC工BD,AC1DD,,BD^DD,=D,且8£),DRu平面BDR,AC1平面8£)R,则所_L平面BDD、，又所u平面8卢尸,..平面BtEF1平面BDDt,选项A正确；对于3,由选项A可知，平面耳所，平面BOR,而平面双独C平面8。,故平面B,EF不可能与平面ABQ垂直，选项8错误；对于C,在平面ABAA上，易知明与qE必相交,故平面B、EF与平面AAC不平行，选项c错误；对于。，易知平面AgC//平面4"。，而平面A4c与平面有公共点用，故平面4EF与平面AG。不可能平行，选项。错误.故选：A.【试题评价】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中档题.10.已知等比数列｛qj的前3项和为168,a2-a5=42,则4=( )A.14 B.12 C.6 D.3【思路分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得4的值.【解析】设等比数列｛。,,｝的公比为夕,”0,由题意，”1.;前3项和为q+%+% ~—=168,%-%=45-4V’=4刈(1-/)=42,i-q：.q=—,a,=96，贝！J4=4-4'=96x《=3,故选：D.【试题评价】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题.TOC\o"1-5"\h\z.函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2万］的最小值、最大值分别为( )7C7C _ 37V7T _ - 37r7C_A.―一，— B . ，— C .―一,—+2D . ,-+22 2 2 2 2 2 2 2【思路分析】先求出导函数/'(x)=(x+l)cosx,令cosx=0得，x=W或生，根据导函数2 2尸“)的正负得到函数/。)的单调性，进而求出函数的极值，再与端点值比较即可.【解析】/(x)=cosx4-U+l)sinx+l,xg［0,24］,则frM=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,令cosx=0得，x=工或网，2 2.•.当xw［0,g时，/(x)>0,〃x)单调递增；当x吗,争时，r(x)<0,f(x)单调递减；当有，2川时，r(x)>0,/(x)单调递增，”(x)在区间［0,2m上的极大值为应用+2,极小值为/•旁)=-£,又•.•/1(())=2,〃21)=2,..函数人外在区间［0,2川的最小值为-与，最大值为'+2,故选：D.【试题评价】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题..已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )定理可知该四棱锥的高〃=1-y，所以该四棱锥的体积定理可知该四棱锥的高〃=1-y，所以该四棱锥的体积丫=%1-y，再利用基本不等【思路分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a,由勾股式即可求出V的最大值，以及此时〃的值，进而求出h的值.【解析】由题意可知，当四棱锥为正四棱推时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为r,..该四棱锥的高/?=该四棱推的体积当且仅当X即小时，相成立,■.该四棱锥的体积最大时，其高人=、1-故选：c【试题评价】本题主要考查了四棱锥的结构特征,考查了基本不等式的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.记S“为等差数列｛4｝的前"项和.若2s3=3Sz+6,则公差d=2.【思路分析】根据已知条件，可得2回+出+4)=3@+4)+6,再结合等差中项的性质,即可求解.【解析】v2S3=3S2+6,2(q+a、+cty)=3(q+a))+6)・・・{a,,}为等差数列，:.6a2=3q+3a2+6,3(02—4)=3d=6,解彳导d=2.故答案为：2.【试题评价】本题主要考查等差数列的前〃项和，考查转化能力，属于基础题.

14从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 -.-io-【思路分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率.【解析】由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C；=10,甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C；=3,r'4根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率.c；10故答案为：-.10【试题评价】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_/+丁-4犬-6了=0(或W+y2-4x-2y=0^x2+y2-1x--y=0^x2+y2--x-2y--=0)_.【思路分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程.【解析】设过点(0,0),(4,0),(-1,1)的圆的方程为/+丫2+6+@+尸=0,[F=0即16+40+尸=0，解彳导尸=0,£)=-4,E=-6,[2-D+E+F=0所以过点(0,0),(4,0),(-1,1)圆的方程为./+尸-4*-6丫=0.同理可得，过点(0,0),(4,0),(4,2)圆的方程为、2+丫2-4、-2>=0.QIA过点(0,0),(-1,1),(4,2)圆的方程为x2+y2_/_]y=o.过点(4,0),(-1,1),(4,2)圆的方程为f+步—^.[一2丫-个=0.故答案为：x2+y2-4x-6y=0(x2+y2-4x-2y=0 x2+y2——x y=0或TOC\o"1-5"\h\z3 3【试题评价】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题.16.若/。)=加|〃+」一|+b是奇函数，则。=_--_,h= .1-x -2-【思路分析】显然,根据函数解析式有意义可得，XW1且XX1+2，所以1+工=-1,a a进而求出。的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质/(0)=()即可求出力的值.【解析】【解法一]/(x)=ln\a+-^―|+/?,1-X若a=0,则函数/(力的定义域为{xlxHl},不关于原点对称，不具有奇偶性，由函数解析式有意义可得，"但"占H。,.•.工工1且-1+一,a••・函数f(x)为奇函数，，定义域必须关于原点对称，1+—=—1,解得“=—1,/./(x)=InIJ+A|+b，定义域为{x|xh1且xw-1},由/(0)=0得,ln-+b=O,：.b=ln2,故答案为：]；In2.2【解法二】(补解)(特殊值法)••・函数 为奇函数，/(0)=0,f(-2)=-f(2)解得，a=-g,b=/〃2.故答案为：-；；ln2.【试题评价】本题主要考查了奇函数的定义和性质,属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共60分。17.(12分)记MBC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinfisin(C-A).(1)若A=2B,求C；(2)证明:2a2=b2+c2.【思路分析】(1)由$出。5巩4-8)=$出员也(。-A)，结合A=23，可得sinC=sin(C-A),即C+C-A=万，再由三角形内角和定理列式求解C；(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论.【解析】(1)由sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A),又A=28,/.sinCsinB=sinfisin(C-A),vsinB^O,/.sinC=sin(C-A),BPC=C-A(舍去)或C+C-A=i,[A=2B联立2C-A-，解得C=L；[A+B+C=1证明：(2)【解法一】由5皿。5抽(4-8)=01185出((7-加，得sinCsinAcosB—sinCeosAsinB=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,由正弦定理可得accosB-bccosA-feecosA-abcosC,由余弦定理可得：整理可得：为2=从+02.【解法二】(补解),:A+8+C=t,A=2B

:.C-A=7r-5Bsin（C-A）=sin5B，原式可化为sin3BsinB=sinBsin5B,ysinB^O,/.sin3B=sin5B,A3B+5B=^,,R-%A-%3%8 4 8证明：（2）由5由。§皿4-5）=§皿屈11（。一14）,得sinCsinAcosB—sinCeosAsin=sin^sinCcosA—sin8coscsinA,由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,由余弦定理可得：由余弦定理可得：2ac 2bc lab整理可得：2a2=b2^-c2.【试题评价】本题考查三角形的解法，考直E弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力,是中档题.18.(12分)如图，四面体ABC£>中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中巨(1)证明：平面BED_L平面ACD；(2)设他=80=2,ZS4CB=6O°,点/在上,当A4*1的面积最小时，求三棱锥F-ABC的体积•A【思路分析】(1)易证A4D8三ACC厉,所以ACJ.BE，又ACLOE,由线面垂直的判定定理可得ACJ_平面比D,再由面面垂直的判定定理即可证得平面BED_L平面AQ；(2)由题意可知AABC是边长为2的等边三角形，进而求出BE=6,AC=2,AD=CD=4i,£见=1,由勾股定理可得，进而证得£>E_L平面ABC，连接所,因为A尸=B，贝(IE尸_LAC,所以当时，£F最短，此时AAFC的面积最小，求出此时点尸到平面ABC的距离，从而求得此时三棱锥尸-ABC的体积.【解答】证明：(1):AD=CD,ZADB=ZBDC,BD=BD,.-.MDB=ACDB,：.AB=BC,又「E为AC的中点..-.ACA.BE,.AD=CD,E为AC的中点..-.AC±DE,XvBEQDE=E,.・.AC_L平面BED,又「ACu平面AC£）,平面8ED_L平面AC£>；解：（2）由（1）可知,:.AB=BC=2,NACB=60。，.•.AABC是等边三角形，边长为2,：.BE=y/3,AC=2,AD=CD=42.DE=\,•/DE2+BE2=BD2,DEA.BE,V.-.-DEA.AC,4cpiBE=E,平面ABC,由（1）^QAADB=ACDB,:.AF=CF,连接EF,贝!|EFJ_AC,SMFC=—xACxEF=EF,：.当防_L如时，EF最短，此时MFC的面积最小，过点/作FG_LBE于点G，则FG//DE，，尸G_L平面ABC,17c.DExBEx/3BD2：.BF=yjBE2-EF2=-,：.FG=EhxBh=-,2 BE4••・三棱锥厂一"C的体积V=」xS小配xFG=』x且x2?x3=3.3 34 4 4D【试题评价】本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了学生的空间想象能力与计算能力，是中档题.19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：/）和材积量（单位：加）,得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量y0.250.400.220.540.510.34（）.360.460.420.403.910 10 10并计算得Zx；=0Q38,X.V,2=1.6158, =0.2474.i=1 『1 i=l（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186病.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

-5) 附：相关系数/-=下空 ,VL896N1.377.\愎4-工茂(y-»V/=i 1=1【思路分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，用古计该林区这种树木的总材积量的值即可.【解析】(1)设这棵树木平均一棵的根部横截面积为了,平均一棵的材积量为了,则根据题中数据得：元="=0.06,/则根据题中数据得：元="=0.06,/1039,y=—=0.3W；102 ) 由 题 可 知10Z(x,-幻(其一刃10Z(x,-幻(其一刃fio ioVr=l i«l10 t=lIio io(£xL(£y；-应2)Vi=l0.0134 0.0134 0.0134V().0()2x0.09480.01xJ1.896-0.01377=0.97Y7 。2。(3)设从根部面积总和X，总材积量为y,则一==，故y==x186=1209(加).Yy 0.06【试题评价】本题考查线性回归方程,属于中档题.20.(12分)已知函数/(x)=ax---(a+l)/nr.x(1)当。=0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求。的取值范围.【思路分析】(1)将4=0代入，对函数/(X)求导，判断其单调性，由此可得最大值；(2)对函数/(x)求导，分a=0,a<0,0<a<l,a=l及4>1讨论即可得出结论.【解析】(1)当。=0时,f(x)=---lnx(x>0),贝11/'(x)=4-1=,x x~XX易知函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,内)上单调递减，/(%)在X=1处取得极大值，同时也是最大值，..函数/(X)的最大值为/(1)=-1；/c\ 、 1 。+1ar2—(a+Y)x+1 (x—l)(ar—1)(2)/(x)=a+- -x"x①当a=0时，由(1)可知，函数f(x)无零点；②当a<0时，易知函数/*)在(0,1)上单调递增，在—)上单调递减，又/(I)=a-1<0,故此时函数f(x)无零点；③当0<。<1时，易知函数/*)在(0,l),J,+oo)上单调递增，在(12)单调递减，a a且/'(l)=a-lvO,/(—)=\-a+(a+\)lna<0,且当x->+8时，/(x)>0,此时/(x)在a(0,+<»)上存在唯一零点；④当a=1时，尸(幻=竺日..0,函数f(x)在(0,y)上单调递增，又f(1)=0,故此时函数/(x)有唯一零点；

⑤当4>1时，易知函数/(X)在(0,3,(1,包)上单调递增，在d,l)上单调递减，a a且f(1)=a-l>0,且当xf0时，/(x)<0,故函数f(x)在(0,4<»)上存在唯一零点；综上，实数”的取值范围为(0,田).【试题评价】本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题,考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题.21.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、.v轴，且过A(0,-2),B(-,-1)两点.(1)求£的方程；(2)设过点P(l,-2)的直线交E于例，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点，满足祈=雨.证明：直线HN过定点.【思路分析】(1)设旧的方程为*1+〃/=[(„,>(),〃>0且，将A,3两点坐标代入即可求解；(2)由A(0,-2),8(；,-l)可得线段A8:y=；x-2,①若过P(l,-2)的直线的斜率不存在，直线为x=1,代入椭圆方程，根据MT=77/即可求解；②若过P(l,-2)的直线的kx—y—伏+2)=0斜率存在，设h-y-(k+2)=0,M(x^,y),Ng,y2),联立,x?y2 ，得丁丁一(3A:2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,结合韦达定理和已知条件即可求解.【解析】(1)设E的方程为如？+江=1(〃7>0,〃>0且，〃中〃)，[4〃=1TOC\o"1-5"\h\z将A(0,-2),8(二,-1)两点代入得《9 I2 -〃7+〃=114解得m=1,〃=1,故£的方程为《+占=1；3 4 3 43 7(2)由4(0-2),B(1,-1)可得舜殳AB-.y=^x-2(1)若过点P(l,-2)的直线斜率不存在,直线”1.代入£+4=1,3 4可得M(l,,N=(1,-乎)，将丫=半代入y=gx_2,可得T(#+3,半)，得到”(2通+5,求得HN方程：y=(2---)x=2，过点(0,-2).②若过尸(1,-2)的直线的斜率存在，设履-万伏+2)=0,A/(x,,y),N(x2,y2),]fcc_y_(2+2)=0联立Jx?y2 ，彳导(3K+4)x?—6&(2+Z)x+3々伏+4)=0, F--=I13 4故有，62(2+A)…L3G故有，62(2+A)…L3G+43*(4+Jt)xx,="-； -3k2+4X+必-342+4日一-24火4(4+4%—2公)，XW""-3公+4露+4联立2