2022年全国硕士研究生入学考试数学二预测试卷和答案解析

考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）预测试卷卷（一）考生注意事项.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)把当%—►0时的无穷小量a=ln(l+x2)~ln(1-x4),p=ftan疝，y=arctanx-x排列Jo起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)a,p,y.(B)yta,p. (C)a,y,0. (D)(2)设f«),g(%)二阶可导，又/(0)=0,g(0)=0,/r(0)>0,g，(0)>0,令/(%)=〃a)g⑴市，则(A)X=0是函数尸(工)的极小值点.(B)4=0是函数/(工)的极大值点.(0,F(0))是曲线1=F(x)的拐点但x=0不是F(x)的极值点.x=0不是函数尸(工)的极值点，(0,尸(0))也不是曲线y=F(x)的拐点.(3)设/(工)在(-8,+8)内二阶可导且/"(z)>0,则Vx>0,%>0，h>0,有(A)/(-)工(…) ⑺>0安二42(B)g心々一收哈加).阳 h2(C)/⑴</(.f/(，+髭一小).(D)广⑺收去二qa").(4)下列等式或不等式①/也>。， ②/(arctan—jdx=arctan:| =--9③设/(“)=[，sm刀，*"则//(")(k=0, ④/ ]：%他=0[0, %=0,t ・•+%中正确的共有(A)1个. (B)2个. (C)3个. (D)4个.(5)下列函数中在区间［-2,3］上不存卷原函数的是(A)/(x)=rln(l+x2)-X4X1~彳，“0,x=0.(B)f(x)=max|X|,11.ln(1+4)-X2 »Xx>0,(C)f(x)=•0,4=0,tanx-sinxx<0.3 »X故学二预测试卷(6)(D)/(x)=其中g(x)=J(6)(D)/(x)=其中g(x)=J0了(/+1),

畀-1),%<1,1Wx.(A)衰嚼⑻.喝(C)-工£= (。)x*=y*dxdy dyox-4-2q--1(9)设从=032,B=0•b11--2设/(x,y)有连续的偏导数且/(工,y)(ydx+xdy)为某一函数u(x,y)的全微分，则下列等式成立的是■1 1 -2-(10)设4= 1 -2 1，则下列矩阵中与A合同但不相似的是--2 1 1-预测试卷卷(一)预测试卷卷(一)-1-21'-11r(A)-24-2. (B)13i-1-21--11i-30o-00r(C)000(D)000「00-3--100-

二、填空题：11〜16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(H)数列极限I=lim(arctan-- +n= n-*<®\ n4'lim(l+萼卢)， "0,(12)设/(*)=," 2n 则/(工)=lim[-^t+-~--r+-+—yl,x=0,I(n+1)(n+2) (n+n)J(13)微分方程(3y-2x)dy=ydx的通解是(14)设/(工)在［。，+8)上连续，在(0,+8)内可导，当te(0,+oo)时」(工)>0且单调上升,%=g(y)为y=/(x)的反函数，它们满足「/(x)dx+r"g(y)dy=/(t云0),则八乃的表达J0 JAO)(14)式是 (15)设动点P(叫y)在曲线9y=4/上运动，且坐标轴的单位长度是1cm.如果P点横坐标的速率是30。1«/5,则当2点经过点(3,4)时，从原点到P点的距离r的变化率是 .(16)已知A-2(16)已知A-210-01°°,A•为A的伴随矩阵，则(《A，020 14001-三、解答题：17〜22小题，共70分.请将解答写在尊尊隼指定位置上.解答应写出文字说明、证明过演算步骤.(17)(本题满分13分)(I)设/(%)在x=0的某邻域内有定义,且满足limAGta-Jsin4工=0,求极限］加八彳)J,x-O X x-»OX(n)求二重积分J=jfydxdy,其中。由星形线1：c°B：(owtwTT)与*轴围成.(18)(本题满分10分)已知K(x)=xe"+e-2*,y；(x)=xe'+xe*2*,yj(x)=xe-*+ +xe-2*是某二阶线性常系数微分方程y"+py'+qy=/(z)的三个特解.(I)求这个方程和它的通解；(II)设,=/(%)是该方程满足y(0)=0,/(0)=0的特解，求超.(19)(本即满分10分)设。是曲线y=2工--与工轴围成的平面图形，直线y=b把。分成为。和口两部分(如图)，满足R的面积&与％的面积&之比S|：S2=1：7.散学二 预测试卷卷(一) 3(I)求常数L的值及直线y=H与曲线y=2z-『的交点. ］ y=t,(D)求平面图形D,的周长以及“绕y轴旋转一周所得旋转体的体积• ~、(20)(本题满分11分)设z=z(x,y)是由9/-54。+90y2-6yz-z1+18=0确定的函数，(I)求2=z(x,y)一阶偏导数与驻点；(U)求2=z(x,y)的极值点和极值.(21)(本题满分14分)(I)设/G)=4r+3--6x,求/(工)在(-8,+8)的零点个数.(U)设/(工)在［0,2］上连续，在(0,2)内具有二阶导数，且/(0)=/(2)=0,/(1)=2.求证:至少存在一点fe(0,2)使得/"(f)=-4.(22)(本题满分15分)设.=(1,3,5,-l)T,a2=(2,7,a,4)T,a,=(5,17,-1,7)1(I)若％,a2,a3线性相关，求a.(II)当a=3时，求与a,,a2 都正交的非零向量at.(Hl)设a=3,a,是与5，4,4都正交的非零向量，证明a,,a2,a,,a4可表示任何一个4维向量.(IV)在。，盯，巧线性无关时，证矩阵C=(工,，町,与)记4阶实矩阵4=工户J+x/J+x产J,求二次型xtAx的秩.考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）预测试卷卷（二）考生注意事项.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目求的.请将所选项前的字母填在写熟”指定位置上.设/(欠)=[e<(k,g(x)在％=0连续且满足g(右)=1+2x+o(x)(x->0).又/(％)=/lg(x)],Jo则尸(0)=则尸(0)=(A)4e.4.2.2e.A1+7)A1+7)/t1+7)(A)0.(C)2.(D)设/(X)是以3为周期的可导的奇函数，且/'(2)=1,则数列极限/=limn—*4-ao(3)/+/*(3)/+/*+3>'+5y=0.(C)/+y"-3>'+5y=0./-y"+3y'+5y=0.(D)< -3八5y=0.以%=e-cos2x,y2=eXin2T与%=e1为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是(B)y(x)以x=%为极小值点.(D)(%,y(%))是曲线y=/(x)的拐点.(B)y(x)以x=%为极小值点.(D)(%,y(%))是曲线y=/(x)的拐点.(5)已知累次积分/=/(X,y)dy.act»6/(rcos。，rsing)rdr,其中a>0为常数，则/可写成o(A)/>/(B)f(x,y)dx.(C)■/tu-i1,_rf(x,y)dy.-va»-«(D)(回/(x,y)ck.-y®r-)设函数/(%，¥)在(飞,兀)某邻域有连续的二阶偏导数，且尸(%,打)二/1(/,九)二。，/：(出,>。)>O,r„(xo,yo)<0.由方程/(%>)=0在％的某邻域确定的隐函数y=y(%),它有连续的二阶导数，且y(%)=九，则(A)y(x)以4=%为极大值点.(C)y(x)在无二/不取极值.(6)(7)则/U)=(A)Ze".(B)(6)(7)则/U)=(A)Ze".(B)<0,=0,(D)Ie"'.设函数/(工)在[0,+8)内可导，且/(I)=2.若/(X)的反函数g(x)满足-g[/( +1)]/(Inx+1)=Inx+1x则f(*)在(-8,8)(A)处处连续. (B)只有一个间断点且是第一类间断点.(C)只有一个间断点且是第二类间断点. (D)有两个间断点.(8)已知方程组产]+%2+x3=0,工[+2x2+ax3=0，和%]+2x2+x3=a-1有公共解，则X1+4x2+a2x3=0(A)aKl和2 (B)a=1 (C)a=l或2 (D)a=212aI](9)设A=。21,要使得A正定,。应该满足的条件是111」(A)a>2. (B)a/2. (C)0<a<2. (D)a<0.(10)几维向量组(I)：%,%,…，区和(D)：⑶,鱼，…£等价的充分必要条件是r(I)=r(II)，并且s=£.r(I)=r(II)=n.r(I)=r(H),并且(I)可以用(口)线性表示.(I)和(口)都线性无关，并且s=L二、填空题：11-16小题,每小题5分，共50分.请将答案写在管理纲指定位置上.(11)设/(%)=/ :、2+Q(Q为常数)，/(%)在定义域上仅有两个零点则常数Q的取值范围是(x+3)(12)设f'(4)=arctan(1-4),且/(0)=/(x)dx=.(13)设/(%)=(1 则/"(0)=.(14)设z=|[J/(u,r)(k]du,其中/*(〃,『)是连续函数，则dz=(15)设。是以点4(1,1)潭(-1,1),C(-1,-1)为顶点的三角形区域，则/= +2x2+3y2sin(%y)+4]dxdy=.DTOC\o"1-5"\h\zf0 1 o,5ri 0 olfi 0 0*(16)已知A: 1 0 0 0 5 00 1 1，则.I 0 1」I。0 3“0 0 I1三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明总演算步骤.(17)(本题满分14分)(I)设人工)是(-8,+8)上的连续奇函数,且满足|/(工)IwM,其中常数M>0,求证:函数F(x)=J\e-y(t)dz是(-8,+8)上的有界奇函数.(D)从抛物线y=x2-1上的任意一点-1)引抛物线〉=x2的两条切线，求这两条切线的切线方程;并证明该两条切线与抛物线y=xJ所围面积为常数.(18)(本题满分11分)计算二重积分/=J।sin(x-y)Idxdy,其中D：0这xW2Tr,xWyW2Tr.(19)(本题满分11分)求/(x,y,z)=x+y-z2+5在区域[i-.x+y?+z?W2上的最大值与最小值.(20)(本题满分12分)设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴上V点(0,0,z)(0WzW1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面。(z),它是半径r(z)=/(I-z)?+/的圆面.若以每秒%体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的.(I)写出注水过程中，时刻水面高度2=z(1)与相应的水体积丫=V。)之间的关系式，并证明水面高度z与时间，的函数关系：y[iJ+(a-1)5+1]=?;(n)求水表面上升速度最大时的水面高度；(山)求灌满容器所需时间.(21)(本题满分10分)设/(工)在(-8,+8)一阶可导,求证：(I)若/(工)在(-8,+8)是凹函数，则)./(彳)=+8或』？/(工)=+00.(D)若/(工)在(-8,+8)二阶可导，又懿晟限limf(x)=5：imf(x)=8,则存在feX—♦+0D x—♦-00(-«,+8),使得广(竹=0.(22)(本题满分15分)已知A是3阶矩阵,四,g.a,是线性无关的3维列向量组，满足Aat=-a,-3a2-3a,,Aa2=4al+4a,+ ,Aa,=-2al+3a,.(I)求A的特征值.(n)求4的特征向量.(山)求4,-6E的秩.考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）预测试卷卷（三）考生注意事项.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在尊孥季指定位置上.下列命题若f(x)在x=/存在左、右导数且/'.(线)*/'.(%),则/(工)在彳=出处连续若函数极限lim/(x)=4,则数列极限lim/(n)=4③若数列极限lim/(2n-1)=lim/(2n)=4,则函数极限lim/«)=4④若lim/(欠)n—*+8 “T+8 X-♦+«=4,limg(i)不存在，则lim/(x)g(x)不存在Xf0*-**0 «-^0中正确的个数是(A)1个.(B)2个. (C)3个. (D)4个.(2) 定积分/arctan/卢-七的值等于(A)1T.(B)会 (C)f. (D)7x2cos ,X>0,(3)设函数/(X)=.X 则下列结论正确的是x. %W0,(A)/(工)有间断点.(B)/(工)在(-8,+8)上连续，但在(-8,+8)内有不可导的点.(C)/(")在(-8,+8)内处处可导，但/，(彳)在(-8,+8)上不连续.(D)/'(X)在(-8,+8)上连续.设/=/刈，k/=f——dx,则Jox Josinx(C>1>/2>/,. (D)1>/,>/2.(B)(C>1>/2>/,. (D)1>/,>/2.(B)A+B^cosAx+fi2sin4x.(D)fi,co»4%+fi2sin4x.微分方程>”-4/:2cos"”的特解可设为(A)Ax+cos4x+B2sin4x.(C)Bxcos22x+B2&\n22x.设/(幻，或外均有二阶连续导数且满足/(0)>0,/r(0)=0,g(0)=0,则函数〃(*y)=/(x)Jg(t)dr在点(0,0)处取极小值的一个充分条件是TOC\o"1-5"\h\z/"(0) >0,g'(x) <0(0 Wx W I)./"(0) <0,g'(x) >0(0 Wx W 1).y(0) >O,g'(x) >0(0 Wx W I)./"(O) <O,g'(x) <0(0 WxW 1).(7)已知曲线y=y(x)在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e\y=2l(，云0),则y=y(x)在［1,+8)的升降性与凹凸性是：(A) 单调上升且是凹的. (B)单调上升且是凸的.(C)单调下降且是凹的. (D)单调下降且是凸的.2 预测试卷卷(三) 薮学二(8)已知4和8都是n阶矩阵，使得E+48可逆则( )成立.(A)(E+AB)A(E+AB)'1=A (B)(E+AB)'B(E+AB)=B(C)(E+AB)''A(E+BA)=A (D)(E+AB)''A(E+BA)=B(9)设为3个n维向量，4X=0是n元齐次方程组。则( )正确•(A)如果精,%,%都是4X=0的解，并且线性无关，则力，外,7为AX=0的一个基础解系.(B)如果用，肌山都是AX=0的解，并且r(A)=n-3,则7,小加为AX=0的一个基础解系.(C)如果％,方e、等价于AX=0的一个基础解系.则它也是AX=0的基础解系.(D)如果r(A)="-3,并且AX=0每个解都可以用力，外，7线性表示，则%，2,小为AX=0的一个基础解系.(10)下列矩阵中不相似于对角矩阵的是100-11r■111■■1 -12~(A)025.(B)222.(C)2 2 2.(D)-1 0 3-003--333-■-3—3-3--2 3 3-二、填空题：11~16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11)设y=/(工)二阶可导J'(x)#0,它的反函数是*=/(>),又/(0)=1,/'(0)=A，r(0)=设”为正整数，则，x|sinnx|dx=.lim4n -dx= .“TOOJn/%+COSX设/(%>)为连续函数，且/(x,y)=e1'+jpr//*(u,r)dudi\其中D：u2+JWa2(a>0)，则f(x9y)=.(15)设/(x,y)有二阶连续偏导数，必=y，W=x+y,则/(*y)= .dxdxdy(16)已知4是3阶矩阵,4的特征值为1,-2,3.则(AD，的特征值为.三、解答题：17〜22小题，共70分.请将解答写在.罩芈指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程司演算步骤.(17)(本题满分10分)一质量为M、长为I的均匀杆AB吸引着一质量为m的质点C,此质点C位于杆48的中垂线上且与48的距离为a.试求：数学二 预测试卷 卷(三) 3(1)杆48与质点C的相互吸引力.(口)当质点C在杆48的中垂线上从点C沿y轴移向无穷远处时,克服引力所做的功.(18)(本题满分10分)设a=/(2x+3y,z)，其中/具有二阶连续偏导数，而z=z(x,y)是由方程z+Inz-/e'tk=1确定并满足z(0,0)=1的函数，求鲁 .结果用，(0/)表示(Q=1,2).oxdy(0.0)(19)(本题满分15分)(I)设有x=Je'dz(ye(-8,+8))，它的反函数是>=y(x),求y=y(x)的定义域及拐点.(II)计算二重积分『co-siny。+sin(x+y)]dtr,其中。={(x,y)|Wa'常数a>0|.(20)(本题满分12分)一子弹穿透某铁板，已知人射子弹的速度为“，穿出铁板时的速度为叫，以子弹入射铁板时为起始时间，又知穿透铁板的时间为小子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比，比例系数人>0.(I)求子弹在铁板内的运动速度"与时间«的函数关系v=v(t)；(U)求铁板的厚度.(21)(本题满分11分)设/(X)在[a,6】上有二阶导数，且7•'(工)>0.(I)证明至少存在一点fe(a,6),使J/(x)dx=f(b)(f-a)+/(a)(6-f);(U)对(I)中的fe(a,6),求litnb—a(22)(本题满分15分)设1 …,a,都是实的n维列向量，规定n阶矩阵A=ata]+a2a]+…+a,a'.(I)证明4是实对称矩阵；(n)证明a是负惯性指数为o；(皿)设r(.,%,=从求二次型XlX的规范形.考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）预测试卷卷（四）考生注意事项.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。sin预测试卷卷(四)数学二设/'(%)=O,r(xo)<0,则必定存在一个正数sin预测试卷卷(四)数学二设/'(%)=O,r(xo)<0,则必定存在一个正数6,使得(A)曲线y=/(工)在(g-6,%+6)上是凹的.(B)曲线y=/(x)在(%-6,%+6)上是凸的.(C)曲线y=/(x)在(质-S,x0］上单调减少，而在［%,3+6)上单调增加.(D)曲线y=/(x)在(%上单调增加，而在［出,%+6)上单调减少.设函数/(*)连续,除个别点外二阶可导，其号申蒙)=f'(x)的图像如右图(1),令函数1=/(x)的驻点箭不敢为p,极值点的个数为g,曲线y=/(x)拐点的个数为r,则(A)p=g=r=3・(B)p=3,q=r=2.(C)p=3,g=2,r=3.(D)p=3,7=2,r=1.设g(x) x近，'/(x)12+x,x>0,(A)可去间断点.(C)连续点.'则点工=0是g(/G))的*云0,(B)跳跃间断点.(D)第二类间断点.在反常积分(B)①，③中收敛的是(A)①，②.arctanx. 2—axxdx(C)②，④. (D)③，④.y=f'g下列二元函数在点(0,0)处可微的是②j (xe'+sinx)dx一、选择题：l~10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在写孥”指定位置上.(6)设。是由直线工=0,y=O,x+y=1在第一象限所围成的平面区域，则J=Je<f>'db=D(A)e+1. (B)e-1. (C)妥. (D)宁.(7)已知由参数方程「""eta" 确定了可导函数y=/(工)，则ly=ln(1-£)-sinyx=0是函数/(*)的极大值点.x=0是函数/(工)的极小值点.(C)n=0不是/(z)的极值点且在工=0邻域单调上升.x=0不是/(工)的极值点且在x=0邻域单调下降.(8)二次型《+3%+24+2k匕可用可逆线性变量替换化为2y：-34+53,则(A)a2>6 (B)a<6 (C)a26 (D)1W6(9),33(9),333阶实对称矩阵A相似于矩阵02L。o件是(A)A>0. (B)A>-4,A是实数.则A2+A+AE是正定矩阵的充分必要条-r. (C)A>-12. (D)A1.(10)已知向量组—%和优,fit,fl3,pt都是4维实向量，其中r(a,,%,%)=2,r(j8,>1，并且每个区与«,,% 都正交.则r(⑶岛,flt)=(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.二、填空题：11~16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在笞穹”指定位置上.(II)设函数人工)在工=1处二阶可导，又1加妲变=-1,则广(1)= /B(l)=x—*0 X(12)已知函数y(x)可微(T>0)且满足方程/(«)-1=+明市(x>0),典ly(力)=•(13)设尸(X)=[(J：皿]则>"(x)=.(14)已知当工>0与y>0时/(1皿,?)=上噌皆泸”■，则函数孙y)在点(与，)=(1，1)处的全微分寸I(1,o=.设y=sin"则产)=.已知q=(1,2,-l)T,a2=(1,-3,2)T,.=(4,11,-6)E矩阵4满足A.=(0,2)、A.=(5,2)T,Aa3=(-3,7)\则A=.技学二 预测其卷卷(四) 3三、解答题：17〜22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.(17)(18)(本题满分10分)(17)(18)设有抛物线G:/=叩和圆C2；x2+y1=2y.(I)确定a的取值范围，使得G，C?交于三点O,M,P(如图)；(II)求抛物线G与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值；(UI)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积匕(本题满分13分)与丁+bx+10fe~'dt(I)已知极限/=lim 2 =%求常数b,c.(II)求累次积分/=dy^e^dx+e+dx.(19)(本题满分10分)设a=u(x,y)在全平面有连续偏导数，(I)作极坐标变换x=rcos0,y=rsin。,求普与普，普的关系式；drdxdy(11)若#建+,普=0(V(*y)),求证;=u(0,0)为常数.(20)(本题满分11分)(20)设xOy平面第一象限中有曲线r：y=y(工)，过点4(0,立-1)，'(乃＞0.又m(工,y)为「上任意一点，满足:弧段翕的长度与点M处「的切线在x轴上的截距之差为在-1.(I)导出y=y(工)满足的积分、微分方程.(U)导出y(x)满足的微分方程和初始条件.(DI)求曲线「的表达式.(21)(本题满分14分)(I)设/㈠)在(a,+8)可导且lim广(工)=4,求证：HT+8若A>0,则lim/(x)=+8；*T+8若4<0,则lim/(x)二一8.*—♦+06(U)设"为非负整数，求定积分(=f'xln»xdz.J0(ID)设g(%)在［a,+8)连续，且(g(x)dx收敛，又limg(%)=/,求证Ja +aoI=0.(22)(本题满分12分)设% 都是矩阵4的特征向量，特征值两两不同，记y=«|+%+。一(1)证明线性无关,线性相关.(D)设的特征值依次为1,T,2,记矩阵夕=(Y，A7lA27),fl= 求解线性方程组SX二尸.考生编号姓名2022年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）预测试卷卷（五）考生注意事项.答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸试题册上答题无效。.填（书）写必须使用黑色字迹签字笔或钢笔，字迹工整，笔迹清楚;涂写部分必须使用2B铅笔填涂。.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设/(%)-f(, )也，g(%)-ftarn市,则当欠f0时/(%)是g(%)的Jo 4 Jo(A)高阶无穷小. (B)低阶无穷小.(C)同阶而非等价无穷小. (D)等价无穷小.(2)、几、 f1TCOS1TX, °W"W1, 」mi|r，/、ci.设/(%)={ 尸(％)=/(f)市，则F(x)在[0,2]上1x-1, 1<xC2, J°(A)有界，不可积. (B)可积，有间断点.(C)连续,有不可导点. (D)可导.(3)设函数/(工)在区间(-1,1)内二次可导，已知/(0)=0,/'(0)=1,且/"(z)<0当xe(-1,1)时成立，则当工e(-1,0)时/(G>工,而当xe(0,1)时/(x)<%.(B)当工w(-1,0)时/(X)<工,而当工w(0,1)时/(外>当xe(-1,0)与xe(0,1)时都有f(x)>了.当xw(-1,0)与工e(0,1)时都有f(x)<以(4)设/(幻=['+”+：'"这°'在工=0处二阶导数存在,则常数a,6分别是IeM+bsinx2,x>0,(A)a=1,6=1. (B)a=1,6=y.(C)a=1,6=2. (D)a=2,6=1.(5)数列极限/=lim[—arctan .n—»ooL nJ(D)(A)1. (B)e. (C)e+.(D)(6)设u(*y)在取极小值，并且眄察，的*■均存在，则oxdy(A)泣*0鹏/0.(B)空dx>o，S>。dy1dxay(C)a2 sdxd2u(M0)20,—W0.ay(D)"dx2wo,*moay(7)函数F(h)=「 # ^工e(-8,+8))的值域区间是)。(1+5?)/I+?(A)[0,+oo) (B)[0,~arctan2)(C)[0,-^-arctan4) (D)[0,—arctan2)(8)设4是n阶可逆矩阵，B是把4的第2列的3倍加到第4列上得到的矩阵，则(A)把4一,第2行的3倍加到第4行上得到夕1(B)把A"第4行的3倍加到第2行上得到8".把A“第2行的-3倍加到第4行上得到8'.把第4行的-3倍加到第2行上得到8L(9)设4阶矩阵A=(叫,%,.«4),已知齐次方程组AX=0的通解为c(l,-2,1,O)T,c任意.则下列选项中不对的是(A).，色,见线性相关. (B)4，％线性无关.(C). ,a1线性无关. (D).线性相关.(10)已知3元二次型/舱的平方项系数都为0,又它的矩阵4满足几=2孙其中工=(1,2,-l)r,则一月工的规范形为(A)y/+y22+y}2. (B)y,2+y/-y,2. (C)y,2-y2--y,2. (D)^2+y22.二、填空题：U~16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在筝醪攀指定位置上.r+0At(11)设尸(%)=I 则尸(")的定义域是 *J2“ln£)(12)设曲线厂的极坐标方程为「二e",则「在点(e)处的法线的直角坐标方程是.(13)设〃=〃(“)满足芈+2xu(xty)=%,则u(x,y)= .dx(14)曲线y=/(e*-1)的全部渐近线方程是.(15) 设有摆线x=<p(t)=t-sinz,y=i^(t)=I-cosx(0W，W2tt)的第一拱L.贝l"绕x轴旋转一周所得旋转面的面积S=.•5a)'(16)设实对称矩阵A=a52要使得A的正，负惯性指数分别为2,1,则a满足的条件是-121-三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分11分)设函数/⑴在(0,+8)内可导，/⑷>°，4岁=%，且=ex,xe(0,+ao).(I)求/(x)；(II)定义数列A=I 证明数列lx」收敛.J0(18)(本题满分11分)设1Wa<6,函数/(X)=xln、,求证/«)满足不等式(1)0<r(x)<2(z>1).(fl)/(a)+/(6)-2/(^)<^-(6-a)1.(19)(本题满分11分)(I)设2=z(x,y),y>0有连续的二阶偏导数且满足d2z-z_1dzdx2'dy22dy'作变换U=X-l/y,v=x+2/y,(D)求方程®的解.(20)(本题满分14分)(I)设/(z)=//|“市.求函数/(X)的单调性区间与正、负值区间.(U)设/(，)连续，区域o=l(x,y)Ilx|W1,|y|W11,求证：/x-y)ckdy=j/(<)(2-|4|)d«.(21)(本题满分11分)若函数/(工)在［0,1］上连续，在(0,1)内具有二阶导数J(0)=/(1)=0,/"(x)<0,且f(z)在［0,1］上的最大值为M.求证：(I)/(«)>0(xe(0,1))；(H)V自然数n,存在唯一的x.e(0,1),使得/'(X.)=(22)(本题满分12分)设4是”阶矩阵,n维列向量。和0分别是4和川的特征向量,特征值分别为1和2.(I)证明?7=0；(n)求矩阵乃的特征值；(m)判断鱼/是否相似于对角矩阵(要说明理由).

预测试卷 卷(一)答案及详解一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)【答案】C.［分析］我们分别确定当*-0时,a#、y分别是x的几阶无穷小.当*-0时,a=ln(1+x2)-ln(1-x4)-x2,因为ln(1+x2)~x2,ln(I—x4)——x*=o(x2).)3=Jtantdt=-In|cost||=-Incosx2又由又由这表明当XTO时,a是关于X的2阶无穷小量,/3是关于*的4阶无穷小量,而y是关于x的3阶无穷小盘.按题目的要求,它们应排成a,r6的次序.故应选(C).评注~~①当然，我们也可把无穷小两两进行比较，看谁的阶高.如TOC\o"1-5"\h\zc ftantdi c2i.p>. Jo [.zxtanx八lim匚=lim- r- t-=lim =0x-oax-oln(1+x)-ln(1-x) x-4)2xn8是a的高阶无穷小.c tan/dz _ 2 _ 2p..Jo i.2xtanx..2%lanx八lim匚=lim =lim—； =hm 5—=0.t0yxtOarctanx-xd1 . 4—o-xft7-1=6是y的高阶无穷小.还需比较y与a.lim工=0=y是比a高阶的无穷小.x-4)a因此正确的排列次序是a,y,0.故应选(C).②确定无穷小的阶的方法之一是利用无穷小阶的运算性质：1°若当%一。时/(x),g(%)分别是％-a的几阶与m阶无穷小，则/(%)•g(x)是4-a的n+m阶无穷小；当">m时J(x)±g(x)是4-。的m阶无穷小J(x)/g(x)是兀-a的n-m阶无穷小.当〃二m时，只能肯定/(4)土g(%)是4-a的几阶或高于几阶的无穷小.如题中的a=ln(l+x2)-ln(1-x4)是4的2阶与4阶无穷小之差，所以a是欠的2阶无穷小.而y=arctaiu:-4,arctanx与4均是x的一阶无穷小，所以还需进一步用待定阶数法

确定y是4的几阶无穷小(即确定常数几(〃>0)使lim存在而不为零).X-HIx2°设/(%)在。点邻域连续，当“一。时J(%)是4的,阶无穷小，则「/(。山是*・%-°的几+1阶无穷小；设/(%)在％=a处"阶可导，当％―a时/(4)是x-a的〃(>1)阶无穷小，则/'(%)是X-a的4-1阶无穷小.30设当％—a时夕(欠)#0,夕(方)是4-。的"阶无穷小，口一0时J(u)是w的血阶无穷小，则4―a时/(夕(4))是欠-a的几m阶无穷小.(|而产毕=网管平(严罚

\x-*a(X-a)x-*aL夕(X)\(X-a)/」=lim9•lim] #0,3)u—4)U x—hiI(X-G)J )例如，tanx是工的l阶无穷小=jtan/dz是u的1+1=2阶无穷小，«=/是x的2阶无穷小=>6=Jtanldt是x的2x2=4阶无穷小.(2)【答案】C.【分析】先求导数尸'(x)=/(x)g(x)=9(0)=0.再求二阶导数尸"(x)=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)=F"(0)=0.于是还要考察尸(x)在x=0处的三阶导数：F"(x)=/"(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+/(x)g"(x)= /乂。)="'(0)g'(0)KO.因此(0,尸(0))是曲线>=F(x)的拐点且x=0不是尸(x)的极值点.故应选(C).评注①本题用到拐点的充分判别法.如下是更一般的结论：设函数/(工)在点x=%处存在n阶导数，且n云3,若/(%)=/"(与)=…=/",,(*0)=oj“(%)#0,则：1°当“为奇数时，/(工)在点x=x0处不取得极值，但点(%,/(%))必定为曲线y=/(*)的拐点.2。当”为偶数时，/(工)在点x=0处取得极值，且有①当/">(苑)<。时，/(了)在点*=*o处取得极大值；②当/<"'(%)>0时，/4)在点x=出处取得极小值.证明由/(工)在工=%处的”阶泰勒公式得早包+o(l)](x-»x0)4-^-(*-x0)*+o((x-x0)早包+o(l)](x-»x0)o(l)即xz0时为无穷小量.于是>0,当I工-与I<6时[1+。(1)]>o(l)即x当n为偶数时r>0(/(,1(x0)>0时). . 、f(x)-/(x0)! 』 (0<Ix-x0I<5)l<0(/⑸(0)<0时)因此n为偶函数时/(工)在n=飞取极值，当/<“(3)<0时取极大值，当/">(%)>0时取极小值. 当n为奇数时，f(%)-/(x0)在％=x0两侧变号，因而/(欠)在x=x0处不取极值.现考察(%，/(%))是否是y=/(x)的拐点，/”(%)桂x=。的n-2阶泰勒公式/"(%)=C(-_2+“(4_&)"々)=I；；/--3严[I+0⑴]("一%)同理可知，当n为偶时(几-2也是偶数)/"(%)在父=x°两侧不变号，故(％,/(3))不是y=/(x)的拐点.当几为奇数时("-2也是奇数)，/"(%)在欠=/两侧变号，因此(&,/(&))是y=/(%)的拐点.②本题的一个变式是:设/U),g(“)在#:0处可导J(o)=g(0)=0/(0)>0,g'(0)>0,令尸(欠)=/(x)g(«),M(A)x=0不是尸(欠)的驻点.(B)x=0是F(“)的驻点，但不是极值点.(C)x=0是F(x)的驻点且是极小值点.(D)x=0是尸(%)的驻点且是极大值点.分析户'(％)L.o=/'(0)g(0)+/(0)g'(0)=0,因此％=0是F(x)的驻点.进一步考察欠=0是否尸(动的极值点.按条件不能求尸”(0).要按定义来判断.1•/(%)-/(0)I-/(x)n/(0)=lim-t2—2~>0,ix 7 %g*(0)=limg(*)-g(°)= >0,・t0 X ，tOJC由极限的局部保号性质nms>0,当k(-5,5)X0时Ail>o,3>oX X=>X€(-5,0)时/(%)<o,g(x)<O,Z€(O,S)时/(%)>o,g(x)>0=>%€(-6,5)BtF(x)-F(0)=/(%)g(x)>0.=4=0是尸(%)的极小值点,选(C)③可特殊选取/(%)=X,g(x)=%则/(%),g(4)满足变式中所有条件.显然％=0是F⑺=/(x)g(x)=/的驻点且是极小值点，对此/(%),g(“)，选项(A)(B)(D)均不对，(C)成立.因此选(C)④若我们加强条件J«),g(x)在x=0二阶可导，则F((x)|,.o=[r(x)g(x)+2f'(x)g'(X')+/(x)g'r(x)]|,.o=2r-(0)g'(0)>=工=0是尸(x)=/(x)g(x)的极小值点.选(D)(3)【答案】B.【分析】这是比较三个数/(工)-/(x-4) . /(x+%)_/(*)h,，/(*)， 『的大小问题.已知/"(x)>0=/'(x)单调上升,于是设法转化为比较导数值.这是可以办到的,只要对上述两个改变量之比用拉格朗日中值定理：f(x)-/(x-A() L一 % -f(f)，其中力一4<^<X；f(x+h2)-/(%) ...、廿4 . 7 =/(q),其中x<7］<X+h2.h2由/'■)在(-8,+8)单调上升=/«)<ff(X)</(加・因此选(B).评注~按题设曲线y=/(4)是凹的.如图所示: ~曲线的弦通的斜率是“土)一个厂儿),弦正的斜率是 /义±‘" ,4点处切线的斜率是/'(工)，由凹函数的性质 j一的几何意义看到丽的斜率<4点切线的斜率<以~的斜率，即(B)成立.选(B).(4)【答案】B.【分析】要逐一分析.对于①:由,2wsinr.,2wsinr. ax=0xJoxJ0TT+l可知①正确.对于②:因为arctan+在点x=0处无定义，不能在［-1,1］上用牛顿-莱布尼兹公式，因此J(arctanJ(arctan一)也=(arctan-jdx+J(arctan—1I0- 1I' r 7T /arctan— +arctan- =---—［一xI,| %Io. I 2 \TTTTTT对于③:易知lin/(”)=lim/sin工~=。=/(0).故/(%)在［-1,1］上连续，且是奇函数=x-4 *-4)xJ/(x)dx=0.故③正确.对于④:这里g(工)=言］在(-8,+8)连续，虽是奇函数，但Jg(X)G发散，因为［ .X=-yln(1+%2)I=+8.Jo1+X / I0故④不正确.综上分析，应选(B).4 预测试卷卷(一)答案及详解评注①若J'7(x)dx收敛，则.8 0, /(%)在(-8,+8)为奇函数，If(x)dx=(fJr 21/(x)dx,/(x)在(-8,+8)为偶函数.J0对联积分有类似结论.②设/(X)在［a,6］连续J(x)NO(壬0),则//(x)dx>0.用此结论判断取正值还是负值常用的方法是：考察/(x)在［a,6］是否变号，若不变号则易得结论.若/(*)在(a,6)变号一次，如ce(a,6):/(*)20,*0(xe(a,c))；/(«)W0,*0(xe(c,6))则 |f(x)dx=|/(x)ck+|f(x)dx往往对其中某一积分通过变量替换转化为比较两个相同区间上的积分值的大小，最后归结为确定被积函数取正值还是负值.如结论①就是这样.(5)【答案】C.【分析一】我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则其余的一个就被选中.(A)存在原函数.显然,x#0时/(*)连续,又因为lim/(x)=1而皿［二.x-hO x-4) XqLum皿丈」，一*()♦I=-=/(0)=/(X)在点工=0处连续.因此/(工)在［-2,3］上连续=/(x)在［-2,3］上3原函数.(B)存在原函数.因为X,X>1,

f(x)=max||xI,1I=.1,IWI,

l-4,x<-1

在［-2,3］上连续=/(工)在［-2,3］上三原函数.

(D)存在原函数.因为,g(x)在［-2,3］上有界，除x=1外连续=>g(x)在［-2,3］上可

积n「g(，)也在［-2,3］上连续=/(x)=「g(，)山在［-2,3］上三原函数.Jo J0综上分析，应选(C).【分析二】直接证明(C)中给出的/(X)在［-2,3］上不存在原函数.显然，当xK0时，/(x)连续；当x=0时，由于预测试卷卷(二)答案及详解 5

..“、 ..ln(1+x)-x1TOC\o"1-5"\h\zlimf(x)=lim— 1 =-vx-M)+ x-4)*x 1.. 〃、 ..tanx-sinx..tanx(1-cosx)1limf(x)=lim j =lim j c,x-4)- Jr-O-X x-4)-X,X 2可知无=0是/(")的第一类间断点=〃％)在［-2,3］上不3原函数.因此，应选(C).评注①/(X)在［明以上连续，则/(工)在［a,6］上一定3原函数.若/(工)在［a,6］有不连续点七/(x)在［a,6］上不3原函数.但是，若c6(a,6),/(x)在［a,6］除x=c外连续，x=c是/(*)的第一类间断点，则/(%)在［a,6］上不3原函数.②若ce(a,6),x=<：是/(工)的无穷型间断点，则/(x)在［a,b］也不存在原函数，若ce(a,/>),x=c是f(x)的非无穷型第二类间断点，/«)在［a,6］是否存在原函数，要具体问题具体分析.2x41n-——pnc-?― JrW0例人工)=，xX'产，*=0是/(工)的第二类非无穷型间断点，10 ,x=0J/(x)dx=Jsin—dx2-Jcos-dx-Jx2cos——yjik-Jcos-Jx2cos——yjik-Jcos—dx该f(工)的一个原函数是尸(x)尸(x),X#0,x=0③【分析一】中指出(A),(B),(D)中的/(彳)存在原函数，下面我们分别求出/(x)的原函数.关于(A).先求出了(“)的一个原函数尸o(x)&(工)=IM(1+：)-*Jx=-yjln(l+x2)dp--Jp-ck1ln(l+x2) 1f12x,r1,“丁.当1+于/丁？77fh-J1k1•WM快出)…=2_.-~ln(1+/)_2rclanx(-0)3 x 3Fo(O)=limF0(x)=5"lim-~一1+%)=0o 3x-o x因此/(%)的原函数F(x)因此/(%)的原函数F(x)=F0(x)+C,C为V常数(x#0)(%=0)关于(B).用拼接法求出分段函数/(x)的原函数，］/(x)的原函数，］_2,4N1|z1w1「+g,4W-1fi)1..1=q=1—2~L...=(-如2 ，xN11'*"T'141这1.-#-1，xC-1F(x)=F0(x)+c,c为V常数.关于(D).先求出分段函数g(x)的变限积分/g(t)市.4<1时，(6)【答案】B.【分析】 由已知dt/=/(x,y)ydx+/(x,y)xdy= =/(”，>)九 年二/(%，¥)%=> 己u=y笠+/(x,y), -U=*亚+f(x,y).dxdy)打八dydxdx八，〃由于它们均连续=d2u d2u Hndfd£dxdydydx dydx故应选(B).评注①设在某区域。存在u(%y),使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy((x.y)eD),I其中P,。在“有连续的偏导数，则由>P(”)，Aq(f),同样可得墨=* ((x9y)€D).②本题的一个变式是：设y>0,/(x,y)有连续的偏导数，且f(x9y)ydx+4c08ydy为某函数u(4,y)的全微分,则/(%4)= .分析du = /(x,y)ydx+xcosydydu n、du= —=f(x,y)y9—=xcosyd2u 〃 、.dfd2u= 丽=/(%y)+y”病=gsy因为它们连续，必有=^4^，即y?+/(%，y)=cosydxdydydxdy—(y/(x»r))=cosy积分得y/(%,y)=siny+c(x)c(x)是任意的连续可导的函数，因此/(z.y)=；虱功.1WxW21WxW2,-/2x-xWyWx(7)【答案】B.【分析】。是圆周/ =2x((x-l)2+>2=1)的外部与梯形{(x,y)|1WxW2,0WyWx］的公共部分，如图所示.方法1°在xOy直角坐标系中选择先y后工的积分顺序，。表示为31__15_495""J=20*方法2°用极坐标变换”=rcos^,y=rsin。,圆周的极坐标方程r=2cos0tx=2的极坐标方程是‘=白，〉"的极坐标方程是。旺.于是。的极坐标表示是：。矣。这字,23wrw总产_49=20'选（B）.(8)【答案】D.｛分析】设«I2«lPA=a2l % ,求出等式两侧\a3l 032%3/比较对应元素，得结论.(9)【答案】C.条件说明"是(A-E)X=0和BX=0的公共非零解，也就是它们的联立方程组的非零解.于是秩心?3,-3-2a'ri-1on-1-ion0 2 20 1 10 1 1r4-E]b1 00 1a0 0a-1=—>1B」1-1001+600 0 -1-60a10a-100 0 1-a匕b1」Lo6+21」Lo0 -1-6」预测试卷卷(-) 答案及详解9

求出a=1,6=-1.（10）【答案】D.【分析】首先可排除（A）,因为r（A）=2,而（A）矩阵的秩为1,所以它与A不合同.两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样（即正，负数的个数对应相等）.而相似的充分必要条件是它们的特征值相同.因此应该从计算特征值下我求出|入E-A|=A（A+3）（4-3）,4的特征值为0,-3,3.显然（C）中矩阵的特征值也是0,-3,3,因此它和A相似，可排除.剩下（B）（D）两个矩阵中，只要看一个.（D）中矩阵的特征值容易求出，为0,-1,1,因此它和4合同而不相似.（也可计算出（B）中矩阵的特征值为0,1,4,因此它和4不合同.）|评注做好本题的关犍是熟悉两个实对称矩阵合同和相似的判别方法. |二、填空题：11~16小题,每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.（11）【答案】y【分析】这【分析】这是求0•8型数列的极限，先转化为争型极限:I,1arctanl1+— \■~~r..arctan(1+Z)-arctanl=lim 1-4) t导数定义z、/=(arctanx)（求数列极限转化为求函数极限）【分析二】【分析三】arctan(1+t)——=lim-i-4) t先用微分中值定理洛必达法则Ml+（1+t）12=_L-2limarctan1+—j-arctanl十几—y/n2n1n 」lim(arctan(1+x))—y/n2n1n 」=lim -2•lim—•/n2n—♦«1+(1+1) n—♦«Il其中o<E<L,因此nTOC\o"1-5"\h\zI=-~~■-ni•]=;.

1+(1+0)2 2re-\x#0,(12)【答案】/(x)=il亍….【分析】当xKO时，由lim次衿/=0知lim(l+1共)"是“1"”型未定式，故

H-»*Z/l n-**\ 271 /-limnln(| ' -lim(.♦£)-g… =e•- =e =e；当X=0时，应用定积分定义求极限,有fe*X#0,于是/(X)=,1,-2,工=0・评注~本题的一个变式:题设不变，则x=0是/(工)的(A)连续点. (B)可去间断点.(C)跳跃间断点.(D)无穷间断点.分析由题中求得/(*),易知li%/(x)=1#/(0).故选(B). (13)【答案】“J->，=c,其中C是任意常数.【分析】题设的方程是齐次微分方程= 或半=3-2三,令y=%〃或％=yu,可ck3工_2打 7\ x )把方程化为关于4，〃或y,u的可分离变址的方程求解.方程乂可改写成"+左=3的形式，这是ayy以x为未知函数,以y为自变量的一阶线性微分方程.方法1°令k=y”,代入方程后整理化简并积分可得+----=0,In|y3(u-1)|=Cryu-1去对数即得通解y(u-1)=C=/(%-¥)=C,其中。是任意常数.方法2。题设方程可改写成半+在=3,利用一阶线性微分方程通解公式得通解dy>x=e1”(C+/3J‘,dy)=-y(C+y3),

即x/-『=C,其中C是任意常数.评注①我们也可不必记住一阶线性微分方程通解公式，只需掌握求解一阶线性微分方程通解的方法:将方程半+在=3ayy两边同来〃(y)=J'"=y?得y-(xy2)=3)2dy积分得xy2=y'+Cr因此通解为x=y+—.y②将原方程移项得2xdy+yAx-3yAy=0,两端同乘y即得d(xy?-y5)=0,从而得-/=C是通解.③本题用变换y=tu时计算较繁顼.(14)【答案】/(z)=z2(x^0).【分析一】由定积分的几何意义知:/7(x)Hx=由曲线＞=/(工)声、＞轴及直线x=/＞0所闱成的曲边梯形的面积,g(y)dy=由曲线工=g(y),>轴(yM/(0))及直线〉=/(t)AO)所围成的曲边三角形的面积.X=g(y)与y=/(x)互为反函数，代表同一条曲线，它们面积之和是长方形面积(边长分别为，与/(，))，见右图.于是因此即ff(x}Ax+fg(y)dy=于是因此即J0 J/IO)IJU)=/,/(£)=NO),f(x)=/(%N0).【分析二】先化简题设方程的左端式子，有r/(» 变量替换/g(y)dy=fg[/(x)]d<(x)Jno) y=f(.x)Jo=fxdf(x)=xf(x)I-ff(x)dx,

J0 IoJO于是ff(x)dx+fg(y)dy=tf(t).Jo J/<o)即 (I)= =『(，MO).因此/(x)=x2(x^0).【分析三】将题设方程两边求导得[1/(x)<k+jg(y)dy]=(/)',即 /⑴+g[/(t)]/()=3/，/(<)+，/'(，)=3/，亦即「/(，)]'=3/(原方程中令，=0,等式自然成立，不必另加条件)将上式积分得lf(t)=/+C,即/(，)=/+/•因/(，)在［0,+8)上连续，故必有C=0.

因此/（X）=?（x2；0）.（15）【答案】82（cm/s）.【分析】这是相关变化率的问题.x,y以及原点到P点的距离，=笈17都是时间，的函数,(3.4)已知9y=4x29x=3,y=4,学=30,求半□/ at(3.4)方法1在等式91=4/和r=、//+，两边对I求导，得9立9立-8了曲如 !—曲一衣彳7Axdy\用工=3,y=4,半=30代人以上两式，即可解出atdrdldrdl=82(cm/s).(3.4)方法2将y=代入x+y2=x2+两边对，求导得2星¥…两边对，求导得2星¥…4~9;3\dxx)d/,用4=3,>=4,r=/32+42=5号=30代人得华| =82(cm/s).甲00 ---1300--2-600-=—200=-21-200—-240000[201-001/2000-10-00【0J」-0001-000-2-数学二预测试卷卷（一）答案及详解13(17)limg(%)+lim； lisin4x—4tanx4cos4%-方法三由sinZ=由tanx=x+、证明过程或用泰勒公式.I-4■/+o（「），得O. 4 434tanx=4x+-x+【分析与求解】（I）令g（“）=Z（£）l^-sin4x我们先导出空心与g(x)的关系.由g(无)_(/(x)-4)tanx+4tanx-sin4x-了(4%)现可用洛必达法则得sin4x=4x—t~(4x)记「/(z)-4①，②式相减得/=limsin4K/=limsin4K-4tanx-；(4x)3lim」一x-»0(11)。关于(11)。关于)轴对称(cos'(F-/)=-cos\,sin，(TT-t)=sin\(0W£W”))，被积函数关于4为偶函数，J=2jydxdy

小

其中"=。nno|,见右图.X=cos)对[e[。号]单调，存在反函数I=«)=L的右半部分可表为y=y(x)=sinl(x)(xe[0,1])于是J=2j(Lr|ydy=现作变量替换k=coJt,€[o,y]<=>xe[1,0]),则y(x)=sin1/,dx=3cos2f(-sin/)sin、sin、,3cos)(—sin，)山=3|sin7£(1-sin2i)d£=3J=3J(sin7/-sin9/)d/=3(；二;」；8・6・4・2)9•7•5•3/=3-=3-n6'4'2,9•7•5■316105(18)l分析与求解】(1)由线性方程解的叠加原理=%(工)=y；(*)-y；(x)=屋”，y2(x)=y,(x)-yj(«)=«e-2*均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的.于是该齐次方程的特征根是重根A=-2,相应的特征方程为(A+2)2=0,即 A2+4A+4=0.原方程为y"+4/+4y=/(x). ①由于y*(工)=秒-，是它的特解,求导得广⑴=e-(l-x),y"'(x)=e~'(x—2).代人方程①得e~'(x-2)+4e'"(1-x)+4xe''=/(x)=> /(x)=(x+2)e-n原方程为y"+4y'+4y=(x+2)e,其通解为y=Ge』+C1Xeu+.，其中G，&为V常数.(U)VC1，G，方程的V解y(z)均有limy(x)=0,limyr(x)=0.#T+8 X—»+0C不必由初值来定g,a,直接将方程两边积分得jy*(x)dx+4jyr(x)dx+4jy(x)dx-j(x+2)e*dx= y*(x)| +4y(力)|+4Jy(x)dx=J(x+2)屋也=Jy(x)dx=(x+2)e'Mdx=-y(x+2)de-"=d(x+2)erJ：-2-4eIo评注①求解d(n)时若先求特解，即由初始条件定通解中的常数C1与g：由y(O)=G=0，/(O)=Ged(l-2z)L0+e-(l-x)L。=C2+1=0,nC2=-1.因此，满足初始条件的特解是y(x)=-xe-21+xe'a于是Jy(x)dx=J(-xe-23+xe'*)dxD%”中)=(R-*)1：'=I②题(i)的一个变式是：设,=xe'+eu+ze-"是二阶线性常系数微分方程y"+py'+qy=(ax+6)e”的解，则该微分方程是 分析由方程的特点及二阶线性微分方程解的性质与结构,y，=xe7是该方程的一个特解,%=e-2*,^= 是该方程相应齐次方程的二个线性无关的解，于是特征方程是(A+2尸=0,即A2+4A+4=0又原方程的特征方程是42+pA+g=0故得P=4,g=4.再将y，=它-代入原方程左端得(y')"+4(y・)'+4y，=e*(x-2)+4e*(l-x)+4xe-, =(x+2)尸=(ax+6)e-*16 预测试卷卷(一)答案及详解 茨学二

因此该微分方程为y"+4y*+4y=(x+2)e'\注上述计算比较简便.如果不会用二阶线性常微分方程解的性质，就要将解y=xe**+e*2*+xe21代入方程，通过比较系数求得结论，计算繁琐.y"+py'+qy=[e'*(x-2)+4e-"+4(x-De-2*]+p[e**(l-x)-Ze2*+(1-2x)e-2*]+q[xe'"+e*2"+xe-2,]=e'>[x-2+p(1-x)+qx}+e_2*[-p+?]+xe'2,[4-2p+q]=(ax+6)e"*由此得「P+g=°a=g-P+ll4-2p+g=0b=p-2=p=g=4,a=1,6=2因此该微分方程为y"+4yr+4y=(x+2)e"\③设p(x),g(x),/(x)是连续函数，同样若已知二阶线性非齐次微分方程/+P(x)y(+?(x)y=/(x)的三个线性无关解％(x)(i=1,2,3),则可求得它的通解y=G(%-%)+C2(y}-y2)+y}其中G，C?为V常数.④设p(x),/(x)是连续函数，同样若已知一阶线性非齐次微分方程/+p(*)r=/(*)的二个线性无关解％(x)(i=1,2),则可求得它的通解y=C(y2-%)+%,C为V常数并由[■+「(*)%=/(，)ly；+p(x)yi=/(x)得 p(x)=-(y?"y,)，%-%代入上式可求得/(动.(19)【分析与求解】(1)由方程组,可解得直线y=A*

ly=2x-x,与曲线y=2x-x2有两个交点(0,0)和(2- k(2-幻)，其中0<k<2.于是Si=| (2x-x2-kx)dx=—(2-A)3.Jo 6又Sj+S2=f(2%-x2)<k=Jo 3由题设5,：S2=1：7,知=4-(2-k)LJ|+*1,oo于是A=1,相应的交点是(1,1).(n)注意这时，的边界由y=*上0WxW1的线段与曲线y=2x-/上0WxW1的弧构成，从而D,的周长P="+//1+yridx=挺+//1+4(1-x)2dx令,=2(-&+=&+---[ty/|+t2+ln(t+Jl+J)]|„=&+ +-—In(2+6)”于是，绕y轴旋转一周所得旋转体的体积评注曲线y=2x-xJ(0C1)即y=1-(x-l)"0WxWl)也可表示为x=1-/F=7(0WyWI),故体积V也可用如下公式计算：V=itJ[y2-(1--y)2]dy.(20)【分析与求解】(I)利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydj-2zdz=0,即 (18x-54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0.从而 虫—18x_54y_9x-27ydz_180y-54x-6z_90y-27*-3zTOC\o"1-5"\h\zdx6y+2z3y+z'dy6y+2z 3,+z为求隐函数z=z(x,y)的驻点，应解方程组,9x2-54xy+90y2-6yz-z+18=0, ①.9x-27y=0, ②90y-27x-3z=0. ③②可化简为x=3y,由③可得z=30y-9x=3y,代人①可解得两个驻点x=3,y=l,z=3与x=-3,y=-1,z=-3.(n)z=z(x,y)的极值点必是它的驻点.为判定z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x,y)在这两点的二阶偏导数.注意，在驻点尸=(3,1,3),Q=(-3,-1,-3)处假=>()由(3y+z) =9x-27y=>在驻点尸《处(3y+z)―f=9,(3y+z)—=-27dx dxdy再由(3y+z)导=90y-27x-3z=在驻点P,Q处砂(3>+z)吗=90.于是可得出在P点处3y+z=6,砂4=§1=y,8=兽|=-y,。=空|=15,

dxIp2 dxdyIp2 dy\p因4C-力崂在=菅>0,且4=/>0,故在点(3,1)处z=z(x,y)取得极小值z(3,l)在Q点处3y+z=-6.=-v-8=0|=葺，C= |=-15,dxq2 dxdyI0 2 dyIp因4C-8?=学岑=5>0,且4=-/<0,故在点(-3,-1)处2=z(z,y)取得极大值z(-3,-1)=-3.评注本题也可通过解出z=-3y+3/2+(x-3y)2+2y2与z=-3y-3/2+(u-3y尸+2尸求斛.(21)【分析与证明】(I)先求/'(x)=12/+6x-6=6(2x-l)(x+1).>0,x<-1,=0,%=T,<0 —1<x<——f'(x)=6(2x-l)(z+1). ’ 2’由此求得/(x)的单调性区间：f(*)在(-8,-1]/*，在[-I,1]、，在[},+8)/再看极值点处函数值的符号：/(-I)>0,喝)<0；最后看边界处的极限值的符号：limf(x)=limx1[4+-—与]=±oox-±«LXXJ由于/(-8)与/(-l