2022年中考数学压轴题及答案

2022年中考数学压轴题(1)【问题发现】如图1,在RtZvlBC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,点。为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF,点、E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为BE=<2AF(2)【拓展研究】在(1)的条件下，如果正方形CQEF绕点C旋转，连接8E,CE,AF,线段8E与/尸的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明：(3)【问题发现】当正方形C£>所旋转到8,E,厂三点共线的时候，直接写出线段/尸的长.解：（1）在RtZ\Z8C中，AB=AC=2,根据勾股定理得，BC=y/2AB^2y[2,点D为BC的中点,：.AD=1BC=a/2,.•四边形C£>E尸是正方形，：.AF=EF=AD=V2,,:BE=AB=2,：.BE=>J2AF,故答案为BE=V2AF；（2）无变化；如图2,在RtZiZBC中，AB=AC^2,：.ZABC=ZACB=45°,.■z.D/~,CAy[2・sin/48C=彳巨=-2~f在正方形CDEF中,NFEC=|zFED=45在RtZkC£产中，sinNFEC=^=孝，.CFCA'CE~CB'ZFCE=ZACB=45°,:./FCE-NACE=NACB-NACE,:・/FCA=/ECB,：.AACFsABCE,BECBr-慌：.BE=yfZAF,，线段BE与AF的数量关系无变化；（3）当点£在线段4尸上时，如图2,由（1）知，CF=EF=CD=g在RtZXBCF中，CF=V2,8c=2近，根据勾股定理得，BF=巫,：.BE=BF-EF=V6-V2,由（2）知，BE=>/2AF,V3-1,当点E在线段8尸的延长线上时，如图3,由（1）知，CF=EF=CD=V2,在RtZ\8Cr中，CF=V2,BC=2位,根据勾股定理得，BF=y[6,:.BE=BF+EF=V6+V2,由（2）知，BE=\[2AF,：.AF=>fi+\.即：当正方形COEF旋转到8,E,尸三点共线时候，线段/尸的长为百-1或g+1.A.在正方形48CQ中，动点E,尸分别从。，C两点同时出发，以相同的速度在直线OC,C8上移动.(1)如图①，当点E自。向C,点/自C向8移动时，连接/E和。尸交于点P,请你写出4E与。F的位置关系，并说明理由；(2)如图②，当E,尸分别移动到边OC,C8的延长线上时，连接4E和。尸，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是"或“否"，不须证明)(3)如图③，当E,尸分别在边CO,8c的延长线上移动时，连接/E,DF,(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图④，当E,尸分别在边OC,CB上移动时，连接4E和。尸交于点P,由于点E,尸的移动，使得点尸也随之运动，请你画出点尸运动路径的草图.若4D=2,试求出线段CP的最小值.理由：•.•四边形4BCQ是正方形,：.AD=DC,NZ£>C=NC=90°.在△/£)£1和△OC/中，(AD=DC\z.ADC=Z.C,(DE=CF

/.^ADE^ADCF(SAS).:.AE=DF,NDAE=NCDF,由于/。。尸+/彳£＞尸=90°,：.ZDAE+ZADF^90°..\AE±DFi(2)是；(3)成立.理由：由(1)同理可证AE=OF,NDAE=NCDF延长FD交AE于点G,GE则GE则NCOF+N/OGugO。，：.ZADG+ZDAE=90°.：.AE±DFi(4)如图:BFC由于点P在运动中保持N4P£>=90°,/.点P的路径是一段以40为直径的弧，设力。的中点为。，连接。C交弧于点尸，此时CP的长度最小,在RtA0DC中，QC=y/CD2+QD2=y/22+l2=V5,：.CP=QC-QP=\[5-1..如图，在RtZXZBC中，NZC8=90°,以斜边48上的中线CD为直径作。0,与8c交于点与48的另一个交点为E,过M作“垂足为N.(1)求证：MN是。。的切线；(2)若的直径为5,sin3=*求EZ)的长.【解答】(1)证明：连接OM,如图1,YOC=OM,：・4OCM=/OMC,在Rt△48c中，是斜边上的中线,:・CD=：AB=BD,:"DCB=/DBC,：./OMC=/DBC,：・0M〃BD,；MN工BD,：.OMLMN,过O,・・MN是。。的切线；（2）解：连接。M,CE, 图2・・。。是OO的直径，；・NCED=90°,ZZ）A/C=90°,BPDMVBC,CELAB,由（1）知：BD=CD=5,•・〃为BC的中点，3VsinB=引4/.cos8=耳,在 中，BM=BD・cosB=4,・・・8C=28M=8,Q9在RtAC£5中，BE=BC'cosB=考，32 7：.ED=BE-BD=考-5=g.4.已知NMPN的两边分别与。。相切于点/,B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点48之间的优弧上，NMPN=80°,求N4C8的度数；（2）如图2,点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形4P8C为菱形，NNP8的度数应为多少？请说明理由：（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接04OB,图1'：PA,尸8为。。的切线，:.NPAO=NPBO=90°,•.•N4P8+NHONP80+408=360°,尸8+408=180°,VZJP5=80",，NZ08=100°,AZACB=50°:(2)如图2,当4P8=60°时，四边形/P8c是菱形,连接04OB,由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO°,VZJP5=60°,.♦.408=120°,：.ZJCB=60°=NAPB,•.•点c运动到尸c距离最大，...PC经过圆心，'：PA,尸8为。。的切线，：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APgdBPC(SAS),

AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.ZJPC=ZJCP=30°,：.AP=AC,:・AP=AC=PB=BC,・・・四边形ZP8C是菱形；(3)・・・。。的半径为八：,OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZAOP=90°-N力尸0=60°,而的长度=6：M=^r,low3...阴影部分的周长=%+PO+丽=百出+枭=(V3+l+^)r.5.如图，均为。。的切线，PBC为。。的割线，尸于点O,△4OC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD."：OALAP,AD^OP,由射影定理可得：PA2=PD'PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割线定理可得PA2=PB'PC,:.PB*PC=PD,PO,:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）NPDB=NPCO=NOBC=ZODC,NPBD=Z.COD,:.△PBDsRcOD,PDBDCDPDBDCD-OD…(15分)：.BD'CD=PD-OD=AD1,.BDAD・・布=击又NBDA=NBDP+%°=NODC+90。=/ADC,:ABDAs△ADC,:・/BAD=NACD,：.AB是△4OC的外接圆的切线，:・NBAE=/ACB.6.如图，点/为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点/任作直线交抛物线y=1x2于尸，0两点.（1）求证：NABP=NABQ；（2）若点4的坐标为（0,1）,且N尸8。=60°,试求所有满足条件的直线尸0的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点P,。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,/）,则点8的坐标为（0,-/）.设直线P。的函数解析式为夕=6+3并设尸，。的坐标分别为（.xp,yp）,Cxq,yo）.由仅=々X+tx—kx—t=0,于是Xp%q=-2 即t=-^xpXq.TOC\o"1-5"\h\z2 2r2 2日BC yP+t /jXp2—xPXQ -Xp(xp-XQ) XpJ7-ti- =2 =2 2 =2 =-*'BD %+t -%Q24-t ^XQ2--XpXQ -xq(xq-xp) xqPC孙BCPC又因为 =——»所以 = .QDxQBDQD因为NBCP=NBDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故N4BP=N4BQ；（2）解：设尸C=a,DQ=b,不妨设a2b>0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4C=8q-2,AD=2-y[3b.因为尸。〃。0,所以△4CPs44O0..口PCACnay/3a—2于是=—»即―= 左一，DQADb 2-V3b所以q