2022-2023学年高三上学期9月入学考试数学试题（答案解析）

雅礼实高2022-2023学年高三上学期9月入学考试数学答案解析总分：150分时量：120分钟一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.已知集合A={x|y=j2-x},B={y\y=>/2^x],则人口3=（ ）A.0 B.（-oo,2] C.R D.[0,2]【分析】先化简集合A即求函数y=VT7的定义域，再求出集合8即求函数y=VT1的值域，根据交集的定义求解.【解析】解：由题意知，根据函数的定义域求出集合A={x|x,2},根据函数的值域求出集合B={y|y..O},根据交集的定义求出4口8={工04*42},故选：D..若复数z=2些的实部与虚部相等，则实数0的值为（ ）a+iA.-3 B.-1 C.1 D.3【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的实部和虚部的定义，即可求解.【解析】解：•.•数2=出=生土地二2=竺U+221的实部与虚部相等，

a+i（a+i）（a—/）a~+1a~+12a+1a—2名丑组o..—：=f—,解得a=-3.a2+1a'+\故选：A..已知x>l,则2x+」一的最小值为（ ）x-1A.4 B.2& C.20+2 D.&+2【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.【解析】解：因为x>l,所以x-l>0,TOC\o"1-5"\h\z1 1贝lj2x+——=2（x-l）+——+2..2\12+2,X—1 X—1当且仅当2（x-l）=」一，即x=l+立时取等号，此时取得最小值2+2四.X—1 2故选：C..已知耳分别为随机事件A,8的对立事件，尸（A）>0,0（8）>0,则下列说法正确的是（ ）

A,叫小咿勾“⑷ BP⑷+9)=1,…对立C.若A,8独立，则小小尸⑷立若互斥，则尸5⑻+尸(刎=】【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可.【解析】解：对于A,尸(B|A)+P(>|A)="竺)(唯=皿=1,故选项A错误；P(A)P(A)对于8,P(A)+P(8)=1,则人，b可能对立，故选项8错误;对于C,若A,B独立，则P(AB)=P(A)P(B),则尸(A|B)=今需=P(A),故选项CP(P(A⑻+P(8|A)=0对于。，若A,B互斥,则/>(48)=0,所以尸网4)=2(4|8)=0,即故选项£)错误.故选：C..中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为( )【分析】先确定所有不同的方法数，再求甲乙两人安排在同一个舱内的方法数,从而求概率.【解析】解：安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，共有CJ&=12种不同的方案,甲乙两人安排在同一个舱内共有$=2种不同的方案,故甲乙两人安排在同一个舱内的概率为上=2,126故选：A..与图中曲线对应的函数可能是( )A.y=|sinx| B.y=sin|x\C.y=-|sinx| D.y=-sin|x|【分析】由图象，根据x小尸与的函数值即可判断正确选项.【解析】解：由图象可知当x=工时，函数值y=-l<0,故排除选项A3,当％=网时，函数值y=l>0,故排除选项C.2

故选：o..已知正方形ABC。的对角线长为2,所是它的内切圆的一条弦，点P为正方形ABCD四条边上的一个动点，当弦所的长度最大时，两•而不可能为（ ）【分析】由平面向量数量积运算，结合数量积的坐标运算即可得解.【解析】解：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（半考）,B除当,衅净,*孝净,TOC\o"1-5"\h\z设E（也cos。,立sin。），由弦印的长度最大时，弦EF为直径，即F（--cos6>,--sin（9）,2 2 2 2设P（x,y）,—. J2-J2 —, J2 -Jl贝l]PE=（——cos。-x,—^-sin。-y）,PE=（一一—cos0-x,一一—sin0-y）,则PE-PF=x2--cos20+y2--sitV0=XL+y1--,2 2 2①当点尸在线段钻上移动时，y=-也，M,则丽•而2 2 2 2②当点尸在线段BC上移动时，*=乎，毁/f,则西•丽w[O,g],③当点P在线段8上移动时，y=当,-g领k等，则丽•丽w[O,g],④当点P在线段4）上移动时，x=空,-孝池等，则西•即e。；],综上可知：PE-PFe[0,-],故选:D..若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、8都在/（x）的图象上；②点A、8关于原点对称，则对称点对（A、8）是函数的一个“兄弟点对”（点对（A、8）与（B、A）可看作一个“兄弟点对”）.已知函数f（x）已知函数f（x）=COSX（A；,0）live（x>0）则f（x）的“兄弟点对”的个数为（A.2 B.3 C.4 D.5【分析】设P(x,y)(x<0),则点P关于原点的对称点为(-x,-y),可以得出cosx=-/m(-x),此方程根的个数，即y=cosx与y=-/〃(-x)图象的交点个数，作出两个函数的图象，由图得出即可.【解析】解：设P(x,y)(x<0),则点P关于原点的对称点为(一x,-y)，于是，cosx=-/〃(-x),故选：D.二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分)a,b是两条不同的直线，a,夕是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是( )A.a_La,blip,a///J=>a±b B.a±h,aLa,。///?=>匕//4C.a_Lb,alia,a11P=b1(3 D.a±a,allb,a110=b10【分析】根据线面、面面垂直与平行的判定定理及性质定理判定即可.【解析】解：对于A：由a_La、a〃夕，可得a_L£,又b//力，所以a_L6,故A正确；对于B：由a_La、a//夕，可得a_L尸，又a1b,则6〃4或bu/?,故B错误；对于C：由a//a,a1//3,则a//6或au尸，又aJ_b,则6//4或6u4或。与力相交(不垂直)或bJ•夕，故C错误；对于£)：由a_Lc、«///?)可得aJ_£,又aUb,所以方_L力，故£)正确；故选：AD.10.为了解目前淮安市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X〜N(70,100),其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀.则下列说明正确的是( )【参考数据】：随机变量€〜N(〃,<r2),则P(〃-cr<J<〃+b)=0.6826,P(〃-2b<4<〃+2cr)=0.9544,尸(〃-3er<J<〃+3b)=0.9974.A.该校学生体育成绩的方差为10B.该校学生体育成绩的期望为70C.该校学生体育成绩的及格率不到85%D.该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当【分析】由已知可得即可求出期望与标准差，方差，再根据公式即可求解.【解析】解：由题意可知：XsN(70,100),

则期望4=70,标准差。=10,方差为100,故A错误，B正确,选项C:尸(X>70)=0.5,P(60giK80)=P(M-b<〃+cr)=0.6826,所以P(6(®k70)=O6826=0.3413,所以P(X@0)=P(60X?70)+P(X>70)=0,3413+0.5=0.8413<85%,故C正确，选项£>：优秀的概率为：尸(X解0)=尸(X70)-P(7(^iX90)=0.5-吧竺=0.0228,2不及格的概率为：P(X<60)=P(X和0)-P(60X?70)=0.5-06826=0.1587,两者不同,2故£)错误，故选：BC.11.定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，/(x)=2021；x不为整数时，/(x)=0,则11.A.C./(x)A.C./(x)是奇函数VxeH,f(f(x))=2O2lB./(x)是偶函数D./(x)的最小正周期为1【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案.【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A,对于/(x),有/(1)=2021,/(-1)=2021,/(-x)=-/(X)不恒成立，则/(x)不是奇函数，A错误，对于B,对于/(x),若x为整数，则-x也是整数，则有/1(x)=/(-x)=2021,若x不为整数，则-X也不为整数，则有/(x)=/(-x)=0,综合可得/'(x)=/(-x),/(x)是偶函数，5正确，对于C,若x为整数，/(x)=2021,x不为整数时，/(x)=0,总之f(x)是整数，则/(f(x))=2021,C正确，对于O,若x为整数，则x+1也是整数，若x不为整数，则x+1也不为整数，总之有/(x+l)=/(x),f(x)的周期为1,若"0</<1)也是f(x)的周期，而x和x+〃可能一个为整数，另一个不是整数，则有f(x)xf(x+*),故/(X)的最小正周期为1,。正确，故选：BCD.rr rr ^\tT12.已知函数/(x)=sin(6ax+c)(其中，<y>0,|^>|<-)./(--)=0,/(x),,"(二)|恒2 8 8成立，且区间(一卷,另)上单调，则下列说法正确的是( )A.存在夕，使得/'(X)是偶函数 B./(0)=/(—)C.。是奇数 D.。的最大值为3【分析】首先根据函数的性质的应用求出函数的。和9，进一步利用正弦型函数性质的应用求出结果.【解析】解：/3)区间(-、,£)上单调,故二一(-2)=工”工，解得T..2；24 12 82 4所以0<@,8；

由于/（一令=0，可得sin（-等+0）=0,解得@=三①+k/eZ）；8由于/（葺）=1,故B正确； 3乃 7t可得sin（1~o+Q）=l,可得@=一］-0+2224+5（22cZ）；冗、小8f片）=±1

O所以若0=1时8f片）=±1

O所以若0=1时，（D=—,g若刃=3,5时，9无解，当3=7时，（p=—,且f（x）区间（—强,宏）上不单调，所以丁=-^,/=2攵+1伏$z）,2k+1①故选项A错误.②由于x=网为函数的对称轴，所以/（0）=/（包）故选项3正确.8 4③由于©=1+2左，故选项C正确.④当了（X）区间（-三，二）上单调递增时，0<—整理得处,3；1224 243所以0<@,3.即最大值为3,故。正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若等比数列｛对｝的前"项和为，，a,=|,S3=-（则公比。=1或一.【分析】根据等比数列的前〃项和建立等式，利用的和9表示出4与%，然后解关于9的一元二次方程，即可求出所求.3Q【解析】解：&=二,53=—2 29.=4+g+q=一则q+生=3□ 4—y+—=3化简得2g2-q—\=02q-2q解得4=1或」故答案为：1或-1214.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，也叫作陀罗.陀螺的形状结构如图所示，由一个同底的圆锥体和圆柱体组合而成，若圆锥体和圆柱体的高以及底面圆的半径长分别为4,也，/，且九="=r,设圆锥体的侧面积和圆柱体的侧面积分别为岳和S2,则！L=_等【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式，求得圆锥和圆柱的侧面积，即可求解.【解析】解：由题意，圆锥的母线长为/=用方=血「，则圆锥的侧面积为，=万〃=7^■产，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的侧面积为S2=2]*=2乃/，由aS72所以一L二—.S22故答案为：—.2.设awZ,且Q,a<13,若51改1+a能被13整除，则a=1.【分析】利用二项式定义将5『⑼进行变形，从而得到-l+a能被13整除，结合。的范围求即可.【解析】解：512021=(52-1产=C^21522021-C1522020+…+C第52-1,因为52能被13整除，所以只需-1+a能被13整除即可，又Q,a<13»所以a=1.故答案为：1..已知曲线y=e**“与y=(x-l)2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足c-4-a «44曲线方程，可得m= ,贝lj有a=ln2(s-1)—(5>1),令f(s)=/〃2(s-l)-=(s>l),运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到。的范围.【解析】解：丫=。-1)2的导数？=23-1),y=e…的导数为y，=e…，设与曲线y=e…相切的切点为(见〃)，y=*-1)2相切的切点为(s,f),

t-n则有公共切线斜率为2(5-1)=em+a=s-mt-n又r=(s-l)2,n=em+a,即有2(s-1)=(rI'-e"""=(s-If-1)s-m s-m即为=2即有/n=，+3(s>i),则有=2(s-l),即为°=加2(6-1)-」(£>1),s+347(5)=ln2(s-1)- (5>1),则⑸g>当s>3时，/'(s)<0，f(s)递减，当l<s<3时，f'(s)>0,f(s)递增.即有s=3处/(s)取得极大值，也为最大值，且为2/a2-3,由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得。的范围是。<2/〃2-3.故答案为：(—,2/"2-3).四、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设数列｛4｝满足a,=3,a„+l-an=2y(neN*).(1)求数列｛4｝的通项公式；(2)令b“=na”,求数列也,｝的前"项和S”.【分析】(1)利用累加法可解决此问题：(2)利用错位相减法可求得【解析】解：(1)•.•4向-q=2・3",.•.可-。1=2-3"”(〃€乂)，又4=3,a”=q+(4—4)+(/_4/■>)+•••+ )=3+2(3+3-+,•,+3n1)当”=1时，q=3满足上式.数列｛4｝的通项公式为：。,,=3"；(2)bn=n-y,:.S„=l•3+2•32+3^33+…+(”-l)•3"T+〃.3"①.♦.35“=142+23+…+(〃-l)-3”+小31②①一②得：-2S“=3+32+33+-+3"-〃-3e3-3"*1-3S.=3+(2〃-»3，T18.（本小题满分12分）在AA8C中，AC=1,BC=币.（1）若A=150°,求cos3；（2）。为AB边上一点，且BD=2AD=2CD,求AABC的面积.【分析】解法一：（1）在AABC中，由正弦定理可求sinB的值，结合范围0。<8<30。，根据同角三角函数基本关系式即可解得cosB的值.（2）设A£）=CO=x,则B£>=2x.在AABC中，由-AC.余弦定理得7=9x2+l-6xcosA,又在等腰MCI）中，有cosA=^—=一，联立解得x的AD2x值，可求A,利用三角形的面积公式即可求解.解法二：（1）同解法一.（2）设AD=x,则CD=x,BD=2x,由余弦定理得4r2+r2-7 2x2-1"工一i=-三一解得X的值，可求A,根据三角形的面积公式即可求解.4x' 2<【解析】解法一：（1）在AA8C中，由正弦定理及题设得“=匹,sinBsinA1V7故 = sinBsin150°解得sin8=—^=,2V7又0°v5v30°,(2)设AO=CD=x,则8£>=2x.在AABC中，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB.ACcosA,BP7=9x2+1-6xcosA,①一AC.在等腰A4C0中，有cosA=^2_=」_,②AD2x

联立①②，解得x=l或x=-l(舍去)，所以AACD为等边三角形，所以A=60。，1 1 qFi所以s。”=-xABxACsinA=-x3xlxsin60°=—.MBC2 2 4解法二：(1)同解法一.(2)设A£>=x,则CD=x,BD=2x,因为NADC=万一NB£>C,所以cosZADC=—cosZJSDC,由余弦定理得，4f+f-7 2x2-1所以f=l,解得x=l或工=一1（舍去）,所以AA8为等边三角形，所以4=60。,所以打18c1 1所以打18c=-xABxACsinA=-x3xlxsin6O0=—.19.(本小题满分12分)如图，平面ABC,ZABC=90°,EC//FA,R4=3,EC=1,AB=2,AC=4,8Q_LAC交AC于点O.(1)证明：FDlBEi(2)求直线8c与平面BEF所成角的正弦值.【分析】（1）通过证明尸£）1.平面B/把得出中_LBE；（2）利用垂直关系建立空间坐标系，借助空间向量计算线面角的正弦值.【解析】解：（1）证明1：在AABC中，NABC=90°,AB=2,AC=4,BC=243.因为BD_LAC交AC于点。，所以A£>=1,8=3.因为E4J■平面ABC,ECIIFA,EC=\,AC=4,所以AMD^ADCE,所以尸£>_L£>£\又因为BQJ_AC,E4_L平面ABC,所以3£>_L平面㈤E,BDLFD,所以尸。，平面比）E,所以证明2：如图，以。为原点，分别以。B,DC为x,y轴，建立空间直角坐标系，在AA8C中，ZABC=90°,AB=2,AC=4,BC=2百.因为8£>_L4C,所以

F(O,-1,3),£(O,3,1),B(^,O,O),DF=(O,-l,3),BE=(->/3,3,l),所以。尸.b£=o,所以DF_LBE.(2)解：由(I)可知，BC=(->/3,3,0),BE=(->5,3,1),设平面BEF的法向量为万=（x,y,z）,所以[营= +3y+z=0-,y=35z=6f所以”(而g.[BF.n=0,[-Gx-y+3z=0. 5 5 55设宜线BC与平面跳户所成角为。,贝！|sin6=|贝！|sin6=|BC.n|IBCHnlWn6=20\BC.n\\BC\^n\20.（本小题满分12分）2020年1月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定.某地在1月23日至29日累计确诊人数如表：日期（1月）23日24日25日26日27日28日29日累计确诊人数（人）611213466101196由上述表格得到如图散点图（1月23日为封城第一天）.

（1）根据散点图判断.丫=。+云与y=Ld*（c,d均为大于。的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数y与封城后的天数x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；（2）随着更多的医护人员投入疫情的研究，2月20日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其CT肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，2月20日武汉疾控中心接收了1000份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为0.7,核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是0.99（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这1000份样本中检测呈阳性的份数的期望.参考数据:ycb1=17S-Wi=l1005462.141.54235350.123.4717其中叱=/。,,访=一£叱，参考公式：7/=i对于一组数据（叫，卬J,（附，卬2），…，3〃，吗），其回归直线日=&+/〃的斜率和截距y'u-Wf—nuw的最小二乘估计公式分别为2=号 ,a=w--nu2>=i【分析】（1）根据散点图选出回归方程类型，然后代入数据，求出回归方程，（2）计算阳性概率,然后求出服从的分布和数学期望.【解析】解：（1）由散点图可选择y=c-d*,由y=cd'两边同时取常用对数得/gy=/gc+/gd-x,Igy=w>/.w=lgc+lgdx,7计算T=4,访=1.54,Zx；=140,f=l77—=0.257—=0.252850.12-7x4x1.54嫡=丁,7T= 140-7x42i=\lgc=w-lgdx=1.54-0.25x4=0.54f.・.w=0.54+0.25x>y关于x的回归方程为：y=3.47xio。”,,（2）设这1000份样本中检测出呈阳性的份数为X,则每份检测出阳性的概率P=0.7x0.99=0.693,由题意可知X~8(1000,0.693),E(X)=1000X0.693=693(人)，故所求的期望为693人.21.(本小题满分12分)已知抛物线C:f=2py(p>0)的焦点为尸，抛物线上一点3<0)到尸点的距离为一.(1)求抛物线的方程及点A坐标：(2)设斜率为％的直线/过点8(2,0)且与抛物线交于不同的两点M、N,若bM=ABN且g(-,4),求斜率上的取值范围.4【分析】(1)由抛物线定义可得上+」=9，可得抛物线方程，从而可求A点坐标；222(2)设M、N两点的坐标分别为(耳，y),(x,,必).联立卜："'"，求得力+超=4%,[x'=4y由BA/=28可且；leg,4),可得±=fe(-2,-；)U(g,2)，可求斜率A的取值范围.【解析】解：(1)由抛物线定义可知：|A尸|=1+«=2,得p=2,.•.抛物线方程为》2=今，将点坐标代入抛物线方程得：ni=_0.,.点A坐标为(-夜」),(2)直线/的方程为y=2(彳一2),设A/、N两点的坐标分别为(演，y),(x2,y2).联立消去y,整理得：f—4人+以=0,[x=4y由△>0=16/一32Z>0=kv0或女>2.且芯+W=4%,七%2=8k,又8贬=/18”即(x-2,yi)=A(x2-29%)；・X=义必=%=上，%•.・X：=4y,x22=4y22=(-L)2e(^-,4)=>—e(-2,--^)|l(^,2),/ 4x2272五+2+强又(X+占)-=2&=%+2+强=%=土 ^_=_L(±+与+1,XyX2 X2Xy 2 2毛XjY 1 1 1 1 1 Q令;=fe(-2,-])U(t2)、：.A:=-(^+y)+lG(--,0j|J[2,-),又：k<0或k>2..•"的取值范围是(-Lo)U(2,2).22.(本小题满分12分)已知/(x)=sinx+ar3-x.(1)当a=!时，求证：函数f(x)在R上单调递增；6(2)若/(外只有一个零点，求。的取值范围.【分析】TOC\o"1-5"\h\z(1)当