2022-2023学年安徽省亳州市数学高三上期末经典试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。.答题时请按要求用笔。.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。TOC\o"1-5"\h\z.已知等差数列{%}的前〃项和为S“，且$25=50,则%+%=( )A.4 B.8 C.16 D.2.设集合A={1,2,6},8={-2,2,4},C={xeR|-2<x<6},则(41|3)0。=()A.{2} B.{1,2,4)C.{1,2,4,6} D.{xeR|-l<x<5}.设全集U=K,集合4={川/一3》一4〉0},则QA=( )A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-lS^<4}D.{x|-4Sr<l}.集合4=卜上2-》一2<0},B={x|x-l<0},则A|JB=()x<A.<1} B.x<x-2<x<C.{x|x<2} D.x-2<x<.已知函数/(x)=lnx+ln(3-x),则( )函数/（X）在（0,3）上单调递减A.函数/*)函数/（X）在（0,3）上单调递减3C.函数/(X)图像关于》=一对称 D.2.已知全集。=11,集合M={x|-3<x<l},N={x||x|,,l},则阴影部分表示的集合是（ ）A.[-1,1]B.A.[-1,1]B.(-3,1]C.(-<»,-3)U(-l,+oo)D.(-3,-1).AABC中，BC=2y[5,。为BC的中点，NBAD=±,AD=\,则AC=（ ）4A.2百 B.272 C.6->/5 D.2.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。的球面上,PAJ•平面ABC,A4BC是边长为2G的等边三角形，若球0的表面积为20乃,则直线PC与平面Q48所成角的正切值为（）不"TD.不"T4.在aABC中，BD=^DC,则为？=( )1—1——3——A.-AB+-AC4 41一2—C.-AB+-AC3 3B.-AB+-AC3 31——2—D.-AB——AC3 3.已知定义在R上的函数/（x）在区间[0,+8）上单调递增，且y=/（x-l）的图象关于x=l对称，若实数a满足flog,a</（-2）,则“的取值范围是（ ）D.(4,D.(4,+oo).学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A、B、C、D、E五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为4的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A的学生，其另外一科等级为B,则该班（ ）7级科村ABCDE物理1016910化学819720A.物理化学等级都是8的学生至多有12人B.物理化学等级都是8的学生至少有5人C.这两科只有一科等级为8且最高等级为8的学生至多有18人D.这两科只有一科等级为8且最高等级为8的学生至少有1人已知数列｛叫的首项6=。（。工0）,且4+产出+乙其中A,teR,〃eN*,下列叙述正确的是（ ）

A.若｛a,,｝是等差数列，则一定有％=1 B.若｛为｝是等比数列，则一定有1=0C.若｛《,｝不是等差数列，则一定有 kND.若｛a“｝不是等比数列，则一定有r/0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知a=（l,3）,b=（—2,1）»求仅a+®.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量却和第分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则。«■）=,E（6）-E（5）=.已知数列｛4｝递增的等比数列，若的+%T2,4%=27,则4=.（5分）已知椭圆方程为/+21=1,过其下焦点/作斜率存在的直线/与椭圆交于A8两点，O为坐标原点，2则aAOB面积的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（12分）（1）已知数列｛《,｝满足：q=l,%=/l,且42=4/1（/I为非零常数，〃N2,〃eN*）,求数列<‘上>（〃22,〃eN*）的前〃项和,an-\J（2）已知数列也｝满足：（i）对任意的〃eN*,0<bn<心1；(ii)对任意的〃N2,(ii)对任意的〃N2,〃gN*,么_「％+|n=2k+l(keN)n=2k(kgN*),(〃>0,q>0,%>0),且今=&].①若〃=1必=%,求数列也｝是等比数列的充要条件.②求证：数列4,求也也也b4m_3,b4m_2,…是等比数列，其中加eN*.（12分）已知等差数列｛q,｝满足％=1,公差d>0,等比数列｛2｝满足伪=4，b2=a2,b.=a5.（1）求数列｛a,,｝,也｝的通项公式；⑵若数列｛%｝满足会+今+?+…+今=%,求｛%｝的前〃项和S”.4 02 03 "n2 2 i（12分）已知椭圆。：3+2r=l（a〉b>0）与x轴负半轴交于A（-2,0）,离心率e=^.

(1)求椭圆c的方程：(2)设直线/：y=履+机与椭圆C交于M(M，X),N(W，M)两点，连接AM4N并延长交直线x=4于后(*3，后(*3，月)，尸(孙典)两点，若；+—=—+ 直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是,%%”请说明理由.(12分)已知函数"X)=(「+―—©,其中aeR.(1)当a=O时，求/(x)在的切线方程;(2)求证：〃x)的极大值恒大于0.(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线4的倾斜角为30°,且经过点4(2,1).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/2：0cos6=3,从原点O作射线交于点M,点N为射线OM上的点，满足|OA/|-|O/V|=12,记点N的轨迹为曲线C.(I)求出直线4的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(II)设直线4与曲线C交于P,Q两点，求|AP|・|AQ|的值.(10分)某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.(1)估计这100人体重数据的平均值〃和样本方差CT-(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在［55,65)的人数，求X的分布列和数学期望；(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重V近似服从正态分布若P^-2a<Y<p+2a)>0.9544,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.【详解】25(为十。八)%=•~^-=50=…5=4j+a-故选:A.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，考查基本量的计算，难度容易.2、B【解析】直接进行集合的并集、交集的运算即可.【详解】解：AuB={-2,l,2,4,6}；.•.(AdB)cC={1,2,4}.故选：B.【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.3、C【解析】解一元二次不等式求得集合a,由此求得aa【详解】由/-3*-4=(*-4)(》+1)>0,解得X<-1或x>4.因为4={x[x<-l或x>4},所以6A={x|-14x44}.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题.4、C【解析】先化简集合A,B,结合并集计算方法，求解，即可.【详解】解得集合A=|x|(x-2)(x+1)<0|={x|-l<x<2},B={x|x<1)所以AuB={x|xW2},故选C.【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B,难度较小.5、C【解析】3依题意可得了(3-x)=/(x),即函数图像关于x=i对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性;【详解】解：由/(3-x)=ln(3-x)+ln[3-(3-x)]=ln(3-x)+Inx=f(x),八 3f(3-x)=f(x),所以函数图像关于x=不对称，又/'(x)=一—--= ,/a)在(0,3)上不单调.故正确的只有C,故选：C【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.6、D【解析】先求出集合N的补集aN,再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由〃=11,N={x||x|,,1},可得4N={Rx<-1或x>l},又M={x|—3<x<l}所以McQjN={x|—3<x<—1}.故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.7、D【解析】在中，由正弦定理得sinB=®；进而得cosNAOC=cos（至+ 好，在A4OC中，由余弦定理可得10 （4J5AC.【详解】AD_BD ] 、「一在AA5O中，由正弦定理得而万=—T,得sin8=R3,又BD>AD，所以B为锐角，所以cosB=士竺，s, 10 10cosZADC=cosf-+Bl=—,U）5在AAOC中，由余弦定理可得AC?=452+0。22Ao.OCcosNAOC=4，/.AC=2.故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.8,C【解析】设。为A8中点,先证明CDJ•平面PA6,得出NCPO为所求角，利用勾股定理计算PA,PD,CD，得出结论.【详解】设。,E分别是AB,BC的中点AEDCO=E•.•E4_L平面ABC ..PAICDA48c是等边三角形 /.CDLAB又PAn48=A\C£）人平面Q45 ，/。尸£＞为PC与平面Q46所成的角MBC是边长为26的等边三角形2.\CD=AE=3,4/=§4后=2且尸为小43。所在截面圆的圆心••,球。的表面积为20万 .,球。的半径以=6：.OF=y]OA2-AF2=1•.•Q4_L平面ABC ：.PA=2OF=2：.PD=y/p^+AD2=StanZ.CPD=本题正确选项：C【点睛】本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题.9,B【解析】在A8,AC上分别取点E、F,使得屈=2而、丽=,定,2TOC\o"1-5"\h\z.2 1__可知血不为平行四边形，从而可得到标=而+而=—而+-恁，即可得到答案.3 3【详解】如下图，BD=-DC,在A8,AC上分别取点从产,使得荏=2而，赤=」定,2 2__ __ 2 1__则AEDF为平行四边形，故A方=通+而= +§恁，故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题.10、C【解析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数y=/(x)为偶函数，又由函数y=/(x)在区间［0,转)上单调递增，分(\析可得/log,a</(-2)=>/(|log2a|)<7(2)=>|log2a\<2,解可得。的取值范围，即可得答案.k2?【详解】将函数y=/(x—l)的图象向左平移1个单位长度可得函数y=/(x)的图象，由于函数y=/(x—l)的图象关于直线x=l对称，则函数y=/(x)的图象关于y轴对称，(\即函数y=/(x)为偶函数，由/log,67</(-2),得/(|log24)<〃2),k2y♦.・函数y=/(x)在区间［0,+8)上单调递增，则|log24<2,得—2<log2a<2,解得;<。<4.因此，实数a的取值范围是［J*］.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数y=/(x)的奇偶性，属于中等题.【解析】根据题意分别计算出物理等级为A,化学等级为8的学生人数以及物理等级为8,化学等级为A的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】根据题意可知，36名学生减去5名全A和一科为4另一科为3的学生10-5+8-5=8人(其中物理A化学B的有5人，物理8化学A的有3人)，表格变为：ABCDE物理10-5-5=016-3=13910化学8—5—3=019-5=14720对于A选项，物理化学等级都是3的学生至多有13人，A选项错误；对于B选项，当物理。和。，化学都是8时，或化学。和。，物理都是8时，物理、化学都是8的人数最少，至少为13-7-2=4（人），B选项错误；对于C选项，在表格中，除去物理化学都是3的学生，剩下的都是一科为3且最高等级为8的学生，因为都是8的学生最少4人，所以一科为3且最高等级为3的学生最多为13+9+1—4=19（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是8的最多13人，所以两科只有一科等级为8且最高等级为8的学生最少14-13=1（人）,D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.12、C【解析】根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当Z=OJ=。时，an+]=a,显然符合｛《,｝是等差数列，但是此时A=1不成立，故本说法不正确：B：当％=O,r=a时，an+i=a,显然符合｛《,｝是等比数列，但是此时，=0不成立，故本说法不正确；C：当&=1时，因此有4.「%=0+"%=，=常数，因此｛叫是等差数列，因此当｛4｝不是等差数列时，一定有故本说法正确：D：当时，若攵=（）时，显然数列｛4｝是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、21【解析】求出向量2〃+方的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.【详解】•.i=(l,3),S=(-2,l),.-.2a+^=2(l,3)+(-2,l)=(O,7),因此，(2a+刃)•a=0xl+7x3=21.故答案为：21.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14、2 0.2【解析】分别求出随机变量第和a的分布列，根据期望和方差公式计算得解.【详解】设a,bG{L2,1,4,5),则0(^i=o)=；,其部分布列为：<112145Pj.5\_52555E(^i)=gx(1+2+1+4+5)=1.D=1x[(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)4=2.《2=1.41"臼的可能取值分别为：1.4,2.3,4.2,5.6,4 2 3 3 2 2 1 1P(^2=1.4)=Tr=7»尸(42=2.3)=Q=7X，尸(42=4.2)=TT=—,P(^2=5.6)=TT=—»可得分布列.a 5 a io a i。 a 1。1.42.34.25.6P2~53102io110E($)=1.4x-+2.3x—+4.2X—+5.6x—=2.3.5 10 10 10：.Eg)-E(&)=0.2.故答案为：2,0.2.【点睛】此题考查随机变量及其分布，关键在于准确求出随机变量取值的概率，根据公式准确计算期望和方差.15、3"-1

【解析】64=%%=27,建立的，%方程组，且%<%，求出生，的，进而求出｛4｝的公比，即可求出结论.【详解】数列｛《,｝递增的等比数列，二%>%用+用+2=12=叱=27'解得。2=3

%=9,所以｛4｝的公比为3,a„故答案为：3"i.【点睛】本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题.16、(0,今【解析】由题意，a=&,b=l,则c= =],得/(0,一]).由题意可设/的方程为、=乙一1,A(x,,y,),B(x2,y2),y=Ax-1 , , _i 2k联立方程组七2 2c八，消去)'得伙+2)f-2丘-1=。，4>0恒成立，x,^=-^—,x,+x,=~r—,则2r+F-2=0 k1+2 'k2+2IAB|=«+公)[&+工2)2_4不用=2党,点。(0,0)到直线/的距离为d=-j=,贝ij 及 S—又西+焉722g^=2,则\lk+\n„=&<& .<^08~7^77) 1 ~T,当且仅当病工!=[〃，即攵=()时取等号・故aAOb面积的取值范围是收+i 7+(。当三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)妁(2)①么=1=%=4=1；②证明见解析.【解析】(1)由条件可得为■-*」=%,结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求;anan-\（2）①若〃=1,可令4=q?=q,运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；②当％=2机，d"女所3=〃41，由等比数列的定义和不等式的性质，化简变形，即可得到所求结论.【详解】解：（1）a｝=\,a2=A,且=%+口,1-Mm1T（2为非零常数，n-2•nwN*）,可得'_'=/,anan-l可得数列｛?H的首项为九，公差为/l的等差数列，an-\可得a=4"T）,前〃项和为"W/l；4T 2（2）①若〃=1,可令/=%=g,b“_L=q：且广=〃％=q,即=7-»^4=T-=»b5=b｛q~,对任意的〃eN*,0<%%,可得0<4强归之领瓦bs,可得q..l,b、..」,数列｛4｝是等比数列，则片=她,劣=她,可得。=4=1,"_]•2+[=1,即4="=%=4=1,又X女+3=1，即有bn-\=2+3，即4=1，数列他』是等比数列的充要条件为〃=1=%=q=1；_ , 〃端,〃=2k+1伏GN*）, 八②证明：对任意的〃..2,neN*.^_,AI+1=\ „ * （〃>。，%>0,%>0）,〃％",〃=2%（左gN）当％=2"，*.*=屋际，瓦*1女吁3=〃夕;1，可得瞥j.=g；,即也“j以4为首项、端为公比的等比数列；04m-3同理可得也,7｝以巴为首项、嘘为公比的等比数列；对任意的〃WN*,0<%%,可得以7釉*2即有々碟T融2f-2如产，所以对V/MWN*,3•（当"I,,1,^-«（—）2m<—T„1,瓦q, b\q2q2-

可得2(%—l)/g%+/gU”0,2(m—l)lg区+lgf-21gqa，0,?b2 % 4即名,,%且每,q,则d=%,可令4=%=%,故数列乙，b2,b5,b6,bv,bi0,•••,bim_｝,b4m_2,•••是以乙为首项，%为公比的等比数列，其中/〃eN*.【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题.18、⑴勺=2〃-1,bn=3n-'t(2)S“=3".【解析】⑴由％=1,公差d>0,有1，1+d,l+4d成等比数列，所以(l+d)2=lx(l+4d),解得d=2.进而求出数列｛a,J,｛〃｝的通项公式；⑵当〃=1时，由?=%,所以。=3,当〃..2时，由*+今+今+…+?=。"+1，?+今+自■+…+*=4，仇 b】b2b3bnbxb2b、%可得%=2-3"t,进而求出前〃项和S..【详解】解：(1)由题意知，6=1,公差d〉0,有1,\+d,l+4d成等比数列，所以(l+d『=lx(l+4d),解得4=2.所以数列｛勺｝的通项公式％=2”-1.数列｛4｝的公比4=3,其通项公式a=3"-1£|仇由时=£|仇由时=

当

43=G以所当心2时，由L力广…+广—£l+£l+&+...+£±±=hb24 %两式相减得年if.所以c.=2-3"T.3,n=1故％123*22所以｛c“｝的前〃项和S“=3+2x3+2x32+2x3^+…+2x3"i3x(1-3”t「=3+2 - =3",n>2.1-3又〃=1时，S=q=3l也符合上式，故S“=3".【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的概念，通项公式，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，方程思想，分类讨论思想，应用意识，属于中档题.2 219、(1)?+5=1(2)直线MN恒过定点(1,0),详见解析【解析】(1)依题意由椭圆的简单性质可求出。泊，即得椭圆C的方程；(2)设直线AM的方程为：x=t,y-2,联立直线AM的方程与椭圆方程可求得点M的坐标，同理可求出点N的坐标，根据例,N的坐标可求出直线MN的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标.【详解】TOC\o"1-5"\h\z「1 X xr"（1）由题有a=2,e=-=一....c=l,.•.〃=42一。2=3.二椭圆方程为上+2=1a2 43x=t1y-2⑵设直线AM的方程为：》=-2,贝y2=他+4犷一%=014 3⑵ c124c6r-8_ 6r-8 _⑵，2=°或"即'"ix-2”而-2=而'mx2=—,%=有, 6 /6） （6} 1111当当=4时，由七=%%-2有为=1.二司4,一,同理日4,一又一+—=—+—4IUIt2） %%为卜4.31+4।31+4/J=（4+，2）（3他+4）=%+.⑵] ⑵2 66' 12//2 6当乙+弓#0时，的=-4,直线脑v的方程为y-y=号53（工一七）12/, 12/,I2t.3片+4-3名+4（ 6彳一8） I2t.4（6^-8^=y——H-= 1——x——\——=>y——7-1—= %——■：——-31+464*_6与及（ 3彳+4）-3彳+4t.+t2{3r,2+4j3彳+43片+44 4 6A2-8 12a 4 4（3f+4） 4+t2 /,+t2 3彳+4 3/；+4 /,+t2 （3彳+4）（4+〃） 4+G...直线MN恒过定点(1,0),当4+弓=0时，此时也过定点(1,0)“综上:直线MN恒过定点(1,0).【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题.20、(1)y=-x(2)证明见解析e【解析】(1)求导，代入。=0,求出在x=l处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；(2)分类讨论得出极大值即可判断.【详解】⑴/'("=一厂i(a-2)x+2a=(x+a)(x-2),ex ex当a=0时，/<(1)=-,/(1)=-,e e则f(x)在(1,/⑴)的切线方程为y=-Xi(2)证明：令尸(x)=0,解得x=2或x=-“，①当a=—2时，/'(x)《。恒成立，此时函数f(x)在R上单调递减，函数f(x)无极值；②当。>一2时，令/'(x)>0,解得—a<x<2,令/'(x)<0,解得x<-“或x>2,二函数f(x)在(-a,2)上单调递增，在(YQ,-a),(2,+0。)上单调递减，〃+4/(X)极大值=7(2)=。；③当a<-2时，令/'(x)>0,解得2<x<—a,令/'(x)<0,解得x<2或%>一。,

二函数/(X)在(2,一可上单调递增，在(t»,2),(-。,+00)上单调递减,•••/(力极大值=/(-。)=+。，综上，函数f(x)的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.x-2+32(t为参数)，x2-4x+y2=0(x^0).；(II)1.y=l+—r2PP\=\2HnPP\=\2Hni，即。(I)直接由已知写出直线/i的参数方程，设N(p,0),M(pi,0i),(p>0,pi>0),由题意可得，=4cos0,然后化为普通方程(II)将A的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于f的一元二次方程，再由参数f的几何意义可得［4用・