2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第7讲平面向量的线性运算(含详解)

第7讲平面向量的线性运算r向量的相关概念实数的运算以及运算定律实放与向量相乘，平面向量定理平面向量的合成与分解一平面向量作图题：向量和差、分解r平面向量的概念r向量的运算-利用向量证明平行或线段相等I求向量的线性组合与分解知识一、实数与向量相乘.平面向量的相关概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作6；(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量;(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量..平面向量的加减法则(1)几个向量相加的多边形法则；(2)向量减法的三角形法则；(3)向量加法的平行四边形法则..实数与向量相乘的运算设上是一个实数，£是向量，那么左与£相乘所得的积是一个向量，记作上上(1)如果1工0,且〃 那么版的长度卜4卜卜胴；的方向：当2>0时44与a同方向；当时版与。反方向.(2)如果％=0或a=6,那么2〃=。..实数与向量相乘的运算律设〃7、〃为实数，则(2)(m+；m\a+b\=ma+nib.(3)I).平行向量定理如果向量6与非零向量£平行，那么存在唯一的实数〃?，使5=〃皿..单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.设1为单位向量，则H=1.

单位向量有无数个：不同的单位向量，是指它们的方向不同.对于任意非零向量。，与它同方向的单位向量记作由实数与向量的乘积可知：a=la|a＜）,题型探究塞题型一、向量的相关概念与平面向量定理■【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量入b，",下列条件中，不能判定£〃石的是（ ）A.A.|坪；a//cfbHaB・a=-b;ii_ _a=2c，a=4c-（2021・上海九年级一模）已知向量。与非零向量©方向相同，且其模为同的2倍：向量5与。方向相TOC\o"1-5"\h\z反，且其模为同的3倍.则下列等式中成立的是（ ）尸 2r 3r 3rA.d=—b B.a=—b C.G=—B D.a=——h3 2 2（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量日与5,下列命题是假命题的是（ ）A.若1=5,则同=忖 b.若同=忖，则C.若d=-B,则同45| D.若同=W，则同=卜,（2019•上海）下列说法中，正确的是（ ）A.如果％=0,£是非零向量，那么%£=0B.如果工是单位向量，那么2=1C.如果历|=|£|,那么B=£C.如果历|=|£|,那么B=£或B=-渠%型二作图题UL【例2】已知非零向量£,求作-3a.更口题型三、向量的表示与相等向量Ub【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与相交于点0.设通=2,AD=b,试用向量£或6表示向量。£、OF,并写出图中与Od相等的向量•题型四、向量的运算U［例4］填空：AB+BC=; AB+BC+CA=:AB-^BC+BA=;AE+FC+EF=AB-AC^rBC=； OA+BC-OC=【例5】计算:3(2a+5t)-2(3a-fe);^[2a+b-3c)-3^b-cL【例6】设a、B是已知向量，解关于向量］的方程22+3£-35=6.7・1^【例7】用单位向量e表示下列向量：(1)£与工方向相同，且长度为9；(2)区与e方向相反，且长度为5；(3)3与e方向相反，且长度为3.5震"题型五、向量的证明1L【例8】已知向量£、6满足史史-巴至=』(3£+%),求证：向量£和5平行.【例9】已知如+涕=&,2a-b=5c,其中2x6,那么向量£与5是否平行？£b举一反三.下列说法中，正确的是（）A.一个向量与零相乘，乘积为零B.向量不能与无理数相乘C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反TOC\o"1-5"\h\z（2021•上海九年级专题练习）已知；工和［都是非零向量，在下列选项中，不能判定力/「的是（ ）A.a//c,b//cB-|a|=|I c-a=-3b D-a=-c,b=2c（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知1+5=41,那么了的值为（ ）A. B.2a C.3a D.4a（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）3d与2J+G的长度与方向的关系是（ ）A.长度相等，方向相同 B.长度相等，方向相反C.长度不等，方向相同 D.长度不等，方向相反（2020•上海九年级专题练习）如果向量々与单位向量。的方向相反，且长度为3,那么用向量。表示向量£为（ ）

a=-a=-3ee=3ae=—3cl（2021•上海九年级一模）己知］、】是两个单位向量，向量£=3不，分=-3a，那么下列结论正确的是（A.4=£ B.'a=-h C.H=W D.同=-忖.如图，已知£,求作（提示：利用三角形的重心）.3.如图，己知点。、£分别在AABC的边力8、ZC上，DE//BC,AD=4,BD=7,试用向量8。表示向量..计算：(-3)x5〃= ；7(a+5)-4(a-+3a=；.在四边形ZBC£>中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.求证：四边形48co为梯形.知识二、向量的线性运算.向量的线性运算如果£、行是两个不平行的向量，x、y是实数，那么x“+该叫做公、行的线性组合.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如2£+5办、a-3b,2,+3可、-|£+0-|0等，都是向量的线性运算..向量的合成与分解如果〃、行是两个不平行的向量，c-ma^-nh（m、〃是实数），那么向量c就是向量相。与心的合成；也可以说向量c分解为ma、〃区两个向量，这时，向量w与八是向量c分别在。、b方向上的分向量，ma+nb是向量［关于£、〃的分解式.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.题型探究有题型-、作图题4b【例10】已知两个不平行的向量£、丸求作：3a+2b,a-2b.^a-2b\.LL【例ii】已知两个不平行的向量2、尻求作：R+B）^a-2b\.y题型二、向量的线性组合网【例12】（1）（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为匚ABC内一点，点D、E分别ah1Ap1在AB、AC上，且==彳；若OB=G,OC=b»求：用向量d,B表不防，AB4EC3 -（2）（2020・上海九年级一模）如图，在梯形A3CO中，AD//BC, ,对角线AC、8。相交于点0,设而=£,而=小试用£、B的式子表示向量血.君1题型三、向量的分解”*【例13］如图，已知向量。4、。月和万、q,求作:（1）向量P分别在04、方向上的分向量;（2）向量G分别在双、丽方向上的分向量.（2020上海九年级课时练习）如图，在平行四边形Z8CZ）中，E是边ZO上一点，CE与8。相交于点O,CE与BA的延长线相交于点G,已知DE=2AE,CE=8.（1）求GE的长；（2）若=AD=S＞用£、坂表示而；（3）在图中画出;3+尻（不需要写画法，但需要结论）Ga/-\£ 2口O,（2021・上海九年级一模）如图，四边形/8CO是平行四边形，点E是边的中点ZC、8E相交于点O.设BA=a>CB—b■（1）试用"、B表示的；（2）在图中作出的在诬、前上的分向量，并直接用£、坂表示函.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）课后作业（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与3a是相等向量的是（ ）A.4a+2a B.6a-2d C.2b+b D.-（5a+a）（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（

A.如果雨A.如果雨=而，那么A与B重合B.若丽=2而，则B是OA的中点C.若。4=208,则若⑸=2丽 D.B是0A的中点则OA=2OB3.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（UUUUUU ULMUUUUA.AC+BC=0 B.AC-BC=0C.AC+BC=0 D.AC-BC=0TOC\o"1-5"\h\z（2021・上海九年级专题练习）已知非零向量£、b，且有6=_海，下列说法中，不正确的是（ ）A.|a|=2|*|；B.ab■, C.-与各方向相反；D.a+2b=0（2020・上海九年级一模）已知£,分和2都是非零向量，下列结论中不能判定£匚出的是（）A.a"c，bHcB.a=-c,b-2cC.a=2b D.p|=|^|（2020・上海九年级专题练习）若。=22,向量6和向量乙方向相反，且|5|=2|0,则下列结论中不正确的是（ ）1_A.\a\=2 B.\b|=4 C.b=4e D.a———h（2021•上海中考真题）如图，已知平行四边形48C。中，而=之而=5,E为AB中点，求京+5=（ ）A.EC B.CE C.ED D.DE（2021・上海九年级二模）如图，在匕18c中，点。、£分别是边8C、AC的中点，ZO和8E交于点G,设布=&，AE=b，那么向量而用向量1、5表示为（ ）ATOC\o"1-5"\h\z2-2- 22- 11- 11-A.—a+—bB.-a+—b C.—a+—b D.—a+—b3 3 3 3 2 2 2 2（2021・上海九年级一模）已知点M是线段AB的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）.A.AM=BM B.AM=-ABC.BM D.AM+BM=O（2021•上海）以下说法错误的是（ ）A.如果々a=0，那么q=0；B.如果a=-2S，那么|,|=23|；-2-C.如果（5为非零向量），那么£〃5：TOC\o"1-5"\h\z111 _»D.如果％不是与非零向量£同方向的单位向量，那么G=|G|4.（2021・上海九年级一模）已知G是非零向量，b=-2a＞下列说法中错误的是（ ）A.5与G平行 B.5与日互为相反向量- f 1尸C.\b\=2\a\ D.万=一//?（2020・上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）口3g-5）-（3值-36）=0；［若同=3W,则4=—3万;口若加、”是实数，贝匚如果非零向量5与非零向量n平行，那么存在唯一的实数，，?，使得5=桢；口如果非零向量&=法，则］与5所在的直线平行；口如果.；与「分别是1与5的单位向量,则［//%：A.2 B.3 C.4 D.5(2021・上海九年级一模)计算：42-3(£-2今=.(2020•上海市位育初级中学九年级期中)化简：3(a+^h)-2(a-b)=.(2021•上海九年级专题练习)已知向量々与"方向相反，长度为6,则a=g(2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习)化简：AB+BC+CD=.AB-AD-DC=.(AB-CD)-(AC-BD)=.(2021・上海九年级专题练习)已知向量£石，满足关系式£+4(B-I)=6,那么可用向量词表示向量；(2021•上海松江区•九年级二模)如图，已知LX8CZ),E是边C。的中点，联结XE并延长，与8c的延长线交于点F.设血=。,亚=B,用2,5表示AF为.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DEUAC,DFCAB,BD：DC=2：5,设AB=d,BD=b.。，坂表示：CD,DF,AC,DE.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知£、坂都是已知向量，I、区都是未知向量，且I+2a—0，4x—y+。+2b—0,无、y.（2021・上海九年级一模）如图，在口488中，AE平分4纽），AE与5。交于点尸，AB=1.2,BC=1.8.（1）求防:。尸的值；（2）设而=£,BC=b,求向量而（用向量入坂表示）.（2021・上海九年级一模）如图，一个3x3的网格.其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点.（1）在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与aABC相似？请说明理由:（2）设通=a,BC=b,写出向量而关于的分解式.（2021・上海九年级一模）如图，已知aABC中，DE//BC,且OE经过△加C的重心点G,丽=万，BC=b.（1）试用向量a、）表示向量屉;（2）求作向量g（3@-b）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）.（2021•上海）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、BD相交于点O.E为OC的中点，连接BE并延长，交边CD于点F,设雨=万，BC^b.（1）填空：向量荏=;（2）填空：向量济=,并在图中画出向量阱在向量放和此方向上的分向量.（注：本题结果用含向量£、坂的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）（2020・上海交大附中九年级期中）如图，点£）、E分别在△加?C1的边BA、C4的延长线上，且DE//BC,AE=^AC,尸为AC的中点.（1）设=>AC=b<试用士+yX的形式表示还，访；（尤、丁为实数）（2）作出於在原、庭上的分向量.（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）

第7讲平面向量的线性运算向量的相关概念实数的运算以及运算定律知识梳理—实放与向量相乘-平面向量定理平面向量的合成与分解平面向量作图题：向量和差、分解平面向量的概念题型探究课后作业向量的运算利用向量证明平行或线段相等J求向量的线性组合与分解@知识一、实数与向量相乘.平面向量的相关概念(1)向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；(2)向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度(或向量的模)；(3)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作6；(4)相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；(5)互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量;(6)平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量..平面向量的加减法则(1)几个向量相加的多边形法则；(2)向量减法的三角形法则；(3)向量加法的平行四边形法则..实数与向量相乘的运算设％是一个实数，£是向量，那么无与£相乘所得的积是一个向量，记作&£.⑴如果且ax。，那么ka的长度上《=陶《|小ka的方向：当人>0时Aa与a同方向；当％<0时ka与“反方向.(2)如果*=0或£=6,那么.实数与向量相乘的运算律设机、〃为实数，则(2)(/«+n)a=ma+na；m\a-\-b\=ina+fnb.(3) 1 ).平行向量定理如果向量另与非零向量。平行，那么存在唯一的实数m,使B=/九。..单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.设工为单位向量，则R=i.单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同.

对于任意非零向量与它同方向的单位向量记作由实数与向量的乘积可知：£=|£|£o,a0=^a.(S题型探究题型一、向量的相关概念与平面向量定理不熊判定的人【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量£,b.c，不熊判定的B・a=-b;D•a=2c，a=4c.【答案】A【解析】A.|a|=|i|,不能判断£〃囚，故本选项，符合题意B.：=」＞, a//b＜故本选项，不符合题意；alH，blU，a//b，故本选项，不符合题意：a=2c»a=4c，aHb故本选项,不符合题意；故选：A.（2021・上海九年级一模）已知向量M与非零向量0方向相同，且其模为同的2倍:TOC\o"1-5"\h\z反，且其模为同的3倍.则下列等式中成立的是（ ）2r 2- 3- 3-A.a=—b B.a=—b C.a=—b D.a=b3 3 2 2【答案】B【解析】解：由题意可知：a=2e,b=-iere=b3ra=2e=h故选：B.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量々与5,下列命题是假命题的是（ ）A.若&=B，则同=|同 B.若同=忖，则］=弓c.若一=£则同+同 D.若同=W，则同=围【答案】B【解析】解：根据向量的概念，知：A、C、D正确；B、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误.故选：B.（2019•上海）下列说法中，正确的是（ ）A.如果k=0,£是非零向量，那么左£=0B.如果工是单位向量，那么"=1C.如果=那么另=°或3=-°D.已知非零向量如果向量-5a，那么ab【答案】D【解析】解：4、如果k=0,a是非零向量，那么4a=0,错误，应该是Ra=0.B、如果e是单位向量，那么e=l,错误.应该是H=LC、如果=那么^=“或坂=-〃，错误.模相等的向量，不一定平行.D、已知非零向量£,如果向量B=-5£,那么£b.正确.故选：D.y题型二、作图题H【例2】已知非零向量£,求作工£,-3a.5【答案】图见解析.__ 7 -.7一【解析】在平面内任取一点4做AB=a，在射线力b上,取A。=—ABijji]AC--a.在射线AB的反向延长线上，取%>=3AB，则BD=-3a..^^题型三、向量的表示与相等向量Mb【例3】如图，在平行四边形ABC。中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与/相交于点O.设A月=£,AD^b,试用向量£或坂表示向量砺、OF,并写出图中与砺相等的向量.【答案】应=」£；而=-U,Mod相等的向量有的;而：丽；丽;而.2 2

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F,G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以砺=」衣=」日而=」而=-射，与。G相等的2 2 2 2向量有的；作；F月；DH；Hd五个.更与题型四、向量的运算U1【例4】填空：AB+BC=； AB+BC+CA=；AB+BC+BA=； AE+FC+EF=;AB-AC+BC=； OA+BC-OC=.【答案】AC；0；BC:A.C；6；BA.【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，力0减法则之间可以转换，比如4月-4。=围是利用减法法则，箭头指向被减数，同时荏-衣=福+9=国+丽=。,这样运算复杂了，但也是一种思路.匕［例5］计算：(1)仿一羽一九；I2)2(2)3(2a+5&)-2(3a-&)；(3)妒+石一34f一1-3- - -f3r【答案】(I)--a--b；(2)17b；(3)a-b+-c.2 2 2【解析】⑴(”|小|~-|方一1 【解析】⑴(”|小|~-|方a=--a--b；3(2a+5b)-2(3a-b)=6a+15b-6a+2b=nb^—(2a+Z>-3c)-3|—b-c\=a+—b-—c-—h^3c=a-b+—c・TOC\o"1-5"\h\z2V71.2J2 2 2 24>【例6】设£、A是已知向量，解关于向量3的方程2"+3£-3B=6.7【答案】c=-b--a.7 2【解析】解：2c+3a--fe=0,2c=-b-3a,c=-b--a.7 7 7 2网【例7】用单位向量)表示下列向量：(1)。与e方向相同，且长度为9；(2)6与e方向相反，且长度为5；(3)"与"方向相反，且长度为5【答案】a=9e；b=-5e；c=——e.5［解析］此题上要写杳用中.位向量)来表示一知向量,£=9］④=-5"；2=-.无"题型五、向量的证明【例8】已知向量入B满足土詈-呼=g(3l+涕)，求证：向量£和五平行.【答案】证明见解析【解析】--4=幻£+4)去分母：2(£+3&-5(£-6=2(3£+潺)去括号：2a+6h-5a+5h=6a+4h移项合并得：lb=9a系数化1：b-—a7所以，向量£和囚平行.L【例9】已知3£+25=4i,2a-b=5c,其中"x。，那么向量£与5是否平行？【答案】平行.’——（"__3/7+2力=4-c a-26 ————【解析】联立方程组：] ,解得：，根据实数与向量相乘的意义，可知a||c*||c,2a-b=5c [b=-c所以，向量:与日平行./举一反三.下列说法中，正确的是（ ）A.一个向量与零相乘，乘积为零B.向量不能与无理数相乘C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】1选项向量与零相乘，结果是零向量；B选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定.2.（2021•上海九年级专题练习）已知；工和:都是非零向量，在下列选项中，不能判定力/1的是（ ）->]->―►―>a//c,^//cB.|a|=|ftI c-a=-3b D-a=-c,b=2c【答案】B【解析】解：A、1//> 力八，故本选项不合题意；的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；a=-3b' a//b'故本选项不合题意；TOC\o"1-5"\h\z―►1—►—> —►a=-cyb=2c, 2//b9故本选项不合题意.故选：B.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知万+5=4万，那么了的值为（ ）A. B.2a C.3a D.4a【答案】C【解析】解：a+h=4J»fTTTh=4a-a=3a；故选：c.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）31与25+万的长度与方向的关系是（ ）A.长度相等，方向相同 B.长度相等，方向相反C.长度不等，方向相同 D.长度不等，方向相反【答案】A【解析】-：2d+a=?>a，3G相等向量长度相等，方向相同故选：A（2020・上海九年级专题练习）如果向量公与单位向量；的方向相反，且长度为3,那么用向量）表示向量£A.a=3e B.a=-3e C.e=3a D.e=-3a【答案】B【解析】解：向量G为单位向量，向量2与向量？方向相反，a=-3e.故选：B..（2021・上海九年级一模）已知录、晟是两个单位向量，向量£=3不，万=-耳，那么下列结论正确的是（）A.4=鼻 B.a=-b C.卜|=1|D.|a=T耳【答案】C【解析】解：I、晟是两个单位向量，方向不•定相同，［4与己不•定相等，选项A错误；q、S是两个单位向量，方向不•定相同，£与-5不一定相等，选项B错误；I*U* rit rrp/|=|3e）|=3,|/?|=|-3e2|=3, |a|=|h|,选项C正确，选项D错误；故选：C.如图，已知£,求作（提示：利用三角形的重心）.3【答案】图见解析.【解析】作乱=£,过点。作线段8C,使得。是3C中点，联结彳5、AC.取/C中点，则40、5E分别是三角形Z6C的中线，根据三角形重心的性质可知：砺=-！£为所求作向量.3.如图，已知点。、E分别在A48c的边/8、ZC上，DE//BC,AD=4,80=7,试用向量方表示向量诙.AAAD_4法一AD_4法一7T'DEAD = BCAB【解析】AD=4,BD=1,又DEIIBC.-.4-.DE=—BC.11TOC\o"1-5"\h\z9.计算：(-3)x5—= ；7(a+b)-4(a-b)+3a=\o"CurrentDocument"g(a+B)-：(“-〃)= ---一1-5一【答案】-15。；6〃+1区；—a+—6 6【解析】(1)(-3)x53=75九7(〃+-4(。-勾+3a=7a+75-4«+4〃+3a=6a+1区;—(a+b\——(a—b\=—a+—b——a+—b=—a+—b.2V'3V72 2 3 3 6 610.在四边形48C。中，AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b.求证：四边形48co为梯形.【答案】证明过程见解析.【解析】Ab=AB+BC+CD=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b,BC=-4a-b,AD=2(-Aa-b)=2BC,AD//BC.四边形X8C。是梯形.@知识二、向量的线性运算.向量的线性运算如果。、方是两个不平行的向量，x、y是实数，那么x0+仍叫做£、办的线性组合.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.如2£+5$、a-3b,2,+34、等，都是向量的线性运算..向量的合成与分解如果〃、6是两个不平行的向量，c=ma+nb(m、n是实数)，那么向量c就是向量加。与〃〃的合成；也可以说向量c分解为〃7a、nb两个向量，这时，向量ma与〃方是向量c分别在。、b方向上的分向量，ma4-nb是向量"关于£、B的分解式.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.

题型探究【答案】图像见解析【答案】图像见解析已知两个不平行的向量题型探究【答案】图像见解析【答案】图像见解析已知两个不平行的向量4、〃.求作如图，在平面内取一点。，作QA=—08=3b;再作AB已知两个不平行的向量£、人求作：3£+2员为邻边，作平行四边形OCE。，则。舌=3£+%题型二、向量的线性组合4【例12】（1）（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O为二ABC内一点，点D、E分别An1 1在AB、AC上，且=彳；若OB=G,OC=b>求：用向量M，5表示/）%.AB4EC3 —[f]一【答案】DE=4Z，-4°【解析】解：当=；，歙=：AB4EC3ADAE1——=——=—ABAC4□DEBCDEAD1 = =—BCAB4BC^b-a_.1->1-»DE=力一不；4 4（3）（2020♦上海九年级一模）如图，在梯形ABC。中，ADIIBC,8C=2A£）,对角线AC、8。相交于点O,设而=£,而=3.试用£、B的式子表示向量4。.c<

i_2【答案】AO=-b+-a【解析】ADUBC,BC=2ADAO1ort4x-k14c =—即AO=—ACAC3 3•：AD=a，BC与而同向，BC=2a-AC=AB+BC=b+2aW题型三、向量的分解瓦【例13］如图，已知向量。4、和方、q,求作:（1）向量方分别在丽、而方向上的分向量;（2）向量&分别在。4、O行方向上的分向量.【答案】（1）仇102是向量方分别在丽、丽方向上的分向量.（2）oC、o厂是向量G分别在厉、o月方向上的分向量.【解析】(1)作向量而=万；再过点P分别作PE//OA,PD//OB,E为直线PE与直线08的交点，。为直线PC与直线0A的交点.作向量而、则。方、说是向量万分别在丽、丽方向上的分向量.(2)作丽=，;再过点。分别作。以。4,QG//0B,尸为直线Q尸与直线。8的交点，G为直线QG与直线04的交点.作向量尸.则OG.OF是向量q分别在C4、OB方向卜.的分向量.・3举一反三1.(2020上海九年级课时练习)如图，在平行四边形188中，E是边4。上一点，CE与BD相交于点、O,CE与BA的延长线相交于点G,已知DE=2AE,CE=8.(1)求GE的长；(2)若=AD=fe»用£、坂表示而；(3)在图中画出;。+尻(不需要写画法，但需要结论) 3a【答案】⑴GE=4；(2)OB=-a-^-b-(3)而即为所求，作图见解析【解析】(1)匚四边形48co是平行四边形，AD=BC,ADJBCf：,aGAEsaGBC、\JDE=2AE,GEAE1GC-BC-3CE=8,GE1 =-GE+83□GE=4.经检验：GE=4符合题意.(2)BD=BA^AD=b-a，DEBC,DE=2AE,：.aDOEsaBOC,DEOD2正一丽—5TOC\o"1-5"\h\zOBOB3 = =—BDOD+OB5OB^--Cb-a\=a-b；5、 15 5(3)如图，延长。到H,使得£W=/G,连接47.B C匚力EBC,/.△AG£°°a^GC,GAAE1 = -—GBBC3GAGA1 — _—ABGB-GA2

DH=AG=-BA=-a2 2—a+b=AD+DH=AH2而即为所求.2.(2021・上海九年级一模)如图，四边形/8CO是平行四边形，点£是边4。的中点相交于点O.设BA=a>CB=h-(1)试用工、石表示的；(2)在图中作出而在无、而上的分向量，并直接用£、B表示丽.(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论) 2_]_ 7-2_【答案】(1)BO=-a-—b；(2)见解析，CO=—b+—a【解析】解(1)AD//BCOEAE1Li==—BOBC22BO=—BE3BO=-BE=-(BA+AE)=-(a--b]=-a--b.,3 3 31 2J3 3(2)[AEDBC,AOAE1 - ——»COCB2CO=-CA,3

国=沁洛+孙洒£）=*+]如图所示，cdcb.而上的分向量分别为《取和丽.课后作业（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与叼是相等向量的是（ ）A.4a+2a B.6a-2a C.2b+b D.-（5a+a）【答案】D【解析】解：A选项4万+2万=6万，不符合题意；B选项= ,不符合题意；C选项25+5=35;不符合题意；.1 ——1TTD选项5（5。+。）=万-6a=3。，符合题意.故选：D.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（ ）A.如果西=丽，那么A与B重合B.若丽=2丽，则B是OA的中点C.若04=208,则若丽=2丽 D.B是OA的中点则OA=2OB【答案】C【解析】因为丽=而且方向相同，所以A与B重合，此选项正确;B、因为西=2而且方向相同，所以B是OA的中点，此选项正确，C、因为04=208,但方向不明确，所以砺=2而或砺=-2而，此选项错误；D、因为B是OA的中点,所以OA=2OB，此选项止确，符合题意的选项是C,故选：C.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（ ）IUUUUU HimLMJUA.AC+BC=0 B.AC-BC=0C.AC+BC=0 D.AC-BC=0【答案】C【解析】解：由题意，□点C是线段AB的中点，国=|网就与南为相反向量，ac+bc=6；故选：C.（2021・上海九年级专题练习）已知非零向量£、b，且有£=-25,下列说法中，不正确的是（ ）|£|=2历］；B.«□*； C.£与各方向相反；D.a+2b=0-【答案】D【解析】5=-2b,表明向量♦与-2l是同一方向上相同的向量，自然模也相等、|£|=2仍|,该选项不符合题意错误：£=-涕，表明向量―与-2分是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然-25与占方向相反,但还是相互平行，aB，该选项不符合题意错误；a=-2b,而-2B与5方向相反，£与B的方向相反，该选项不符合题意错误；0只表示数量，不表示方向，而£+*是两个矢量相加是带方向的，应该是该选项符合题>X.1/—V意正确；故选：D（2020・上海九年级一模）已知心B和2都是非零向量，下列结论中不能判定£□另的是（）alleybileB.a=^c,b-2cC.a=2b D.卜卜卜|【答案】D【解析】解：A.a〃c，A〃c，ab»故本选项错误；a=^c,b=2cab»故本选项错误.£=%,a 故本选项错误；|a|=|J|,£与加的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D.（2020・上海九年级专题练习）若。=2®,向量5和向量4方向相反，且|5|=2|团，则下列结论中不正确的是（ ）A.|a|=2 B.\b|=4 C.b=4e D.a=【答案】C【解析】/、由a=2e推知冏=2,故本选项不符合题意.从由万=4?推知|5|=4,故本选项不符合题意.C、依题意得：b=-4e,故本选项符合题意.。、依题意得：a=-^b,故本选项不符合题意.故选C.CA=BD.•••平行四边形A8CO是矩形.故选：A.（2021•上海中考真题）如图，已知平行四边形ZBCZ）中，AB=a,AD=b,£为43中点，求3万+5=（A.EC B.CE C.ED D.DE【答案】A【解析】四边形/8C3是平行四边形，£为A8中点，-a+b=-AB+BC=EB+BC=EC2 2故选A.（2021・上海九年级二模）如图，在/8C中，点。、E分别是边8。、NC的中点，4）和8E交于点G,设A/i=6,AE=b,那么向量而用向量1、5表示为（ ）33 3 3 2 2 2 2【答案】A【解析】解：AB^a,AE=h,BE=BA+AE=-a+b,AD,8E是力8c的中线,匚G是〃BC的重心，BG=-BE,3― 2-2-而:一铲+/故选才.（2021,上海九年级一模）已知点M是线段A8的中点，那么下列结论中，正确的是（A.AM=BM B.=c.bm=\ab d.am+bm=o2【答案】B【解析】解：A、AM=MB，故本选项错误;—.1—tB、AM=-AB,故本选项正确；C、BM=^BA,故本选项错误；D、AM+BM=O,,故本选项错误. ——'B10.（2021・上海）以下说法错误的是（ ）A.如果ka=C，那么a=0；B.如果&=-正，那么|叫=2历|；-2-C.如果a= （5为非零向量），那么a〃5;in __D.如果他不是与非零向量a同方向的单位向量，那么G=|西/.【答案】A【解析】A、如果&£=。，那么2x0,故该项错误，B、如果a=-必，那么|阖=2出|,故该项正确;-2-C、如果a= （5为非零向量），那么故该项正确；UU _,D,如果％不是与非零向量3同方向的单位向量，那么万故该项正确；故选；A.（2021・上海九年级一模）已知不是非零向量，h=-2a＞下列说法中错误的是（A.8与1A.8与1平行_]-\b\=2\a\ D.a=--b【答案】B【解析】解：A.因为力=-2』（a#0）,则8与G平行，故此结论正确；B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；C.因为。=-2「，则1=21切结论正确；5=—两边同除以2，则万=-56,故此结论止确.故答案为：B.（2020•上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）口3（1-5）-（36-38）=0；「若同=3同，则@=-36；口若加、”是实数，则m（位）=（mn）万；「如果非零向量5与非零向量不平行，那么存在唯一的实数”?，使得5=3;口如果非零向量2=蕨，则G与5所在的直线平行：口如果°：与风分别是仪与区的单位向量,则3〃bHA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】3（6M）-（3"35）=3仅一5）-3（"5）=0,该选项正确；若同=3忖，向量既有大小,也有方向，故不确定，恢选项错误:若"?、"是实数,则闻戒)=(m)方,该选项正确:匚如果非零向量5与非零向量1平行，那么存在唯一的实数加，使得万=桢，该选项正确；如果非零向量d=.，可得了、5方向相同，则1与5所在的直线平行，该选项正确；如果。与5不平行，则［与E也不平行，该选项错误.综上，正确，共4个.故选：C.(2021•上海九年级一模)计算：4a-3(a-2b)=.【答案】a+6b［解析］解：45-3(a-2fe)=4a-3a+6b=a+6B故答案为：。+65.(2020•上海市位育初级中学九年级期中)化简：3(a+^b)-2(a-b)=.7T【答案】d+3b【解析】解：3(a+-b)-2(a-b)=3a^—h-21+25=(3-2)1+(yH-2)8=1+51故答案是：万+］5.(2021・上海九年级专题练习)已知向量£与2方向相反，长度为6,则。=e【答案】-6【解析】向量£与"方向相反，长度为6,a=—6e，故填：6.（2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习）化简：（1）AB+BC+CD=•（2）AB-AD-DC^.⑶（AB-CD）-（AC-BD）=.【答案】AD CB6【解析】解：⑴通+1+函=玩+函=而；UL1UL1UU1LlUUlllHUHUUULIAB-AD-DC=DB-DC=CB>（AB-CD）-（AC-BD）=AB+W-CD-AC=AD+DC+CA=6:故答案为：AD;CB;6.（2021•上海九年级专题练习）已知向量£出，满足关系式％+4缶-2）=0,那么可用向量3石表示向量；【答案】—+b4【解析】解：3^+4（b-x）=0,3a+45=4*故答案是：京.（2021・上海松江区•九年级二模）如图，己知口/BCQ,E是边CQ的中点，联结力E并延长，与8C的延长线交于点尸.设A3=a,AD=B,用。,5表示而为【答案】a+2b【解析】解：在工8c。中，CDUAC.E是边C。的中点，CE是48F的中位线，CBC=CF.在四边形48co中，4D=BC,而=5，则而工2册=2历=25.AB=a,AF=AB+BF=a+2b-故答案是：a+2b.（2020•上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE匚「AC,DF二AB,BD：DC=2：5,设AB=a,BD=b.a,B表示:CD,DF,AC,DE.- 5 . 5 ___7 , ?【答案】CD=~b；DF=-ya；AC=-b-DE=~a-b【解析】DBD：DC=2：5,CD=--BD=--h9BD：BC=2：7,CD：BC=5：7,2 2□DFAB,DFCD5 - ——»ABBC7―- 5—•5-DF=——AB=一一a,7 7□BD：BC=2：7,—►7—BC=-b,2 7AC=AB+BC=a+-ft,2□DE//AC,DEBD2 ==一，ACBC7—• 2—2-7- 2DE=——AC=——(a+-b)=——a-h.7 7 2 7(2020・上海市静安区实验中学九年级课时练习)已知£、B都是已知向量，1、》都是未知向量，且1+2a=6»4X-y+d+26=0,求1、y.【答案】x=-2a;y=-la^2h【解析】解：x+2a=6»x=-2a;

一8万一y+万+2》=。，y=-754-2b；(2021•上海九年级一模)如图，在oA8co中，AE平分NE4D,AE与BD交于点F,AB=1.2,BC=1.8.(1)求班户的值；(2)iSAB=a»BC~b，求向量。尸(用向量。、坂表不).AT 9【答案】（1）8尸:。尸=2：3,（2）DF=^a-^b.【解析】（I）在oABCD中，口BCAD\J\JBEA^LDAEf又口】BFE=UDFA,口ABFE匚ADE4,BEBF = *ADDF又AE平分NMD,n\-BAE=DAE,AB=BE,BE_AB~AD~~AD

又AB=1.2,AO=BC=1.8.BFAB1.22AD-L8-3BF:DF=2：3UBF:DF=2：3DF=-DB5DF^^DB=-(AB-AD)BCAD,BC=AD,而=£,BC=b,AD=BC=b—3-_ 3-3-DF=-(a-b)=-a--b.5 5 5(2021・上海九年级一模)如图，一个3x3的网格.其中点A、B、C、D、M、N、P、Q均为网格点.(1)在点M、N、P、Q中，哪个点和点A、B所构成的三角形与aABC相似？请说明理由;(2)设前=a,BC=b,写出向量而关于£石的分解式.【答案】(1)点N和点A、B所构成的三月形与aABC相似，理由见解析；(2)25-3/；【解析】解：(1)点N和点A、B所构成的三角形与aABC相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为则BC=a,AB=7a2+a2=V2a-AC=业+(2a丫=岛，其中BC<AB<AC如下图所示，连