人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案2：7 1 1　条件概率

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.1.1条件概率学习目标1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．基础·初探知识点一条件概率一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝______为在事件____发生的条件下，事件____发生的条件概率．P(B|A)读作____发生的条件下____发生的概率．100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．思考1试求P(A)，P(B)，P(AB)．思考2任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．思考3P(B)，P(AB)，P(A|B)间有怎样的关系．知识点二概率乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝为概率的乘法公式．知识点三条件概率的性质1．任何事件的条件概率都在之间，即.2．如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝．归纳·升华·领悟1．事件B发生在“事件A已发生”这个附加条件下的概率通常情况下与没有这个附加条件的概率是不同的．2．由条件概率的定义可知，P(B|A)与P(A|B)是不同的．另外，在事件A发生的前提下，事件B发生的概率不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．3．P(B|A)＝eq\f(P(A∩B),P(A))可变形为P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中的两个值就可以求得第三个值．4．事件AB表示事件A和事件B同时发生．把事件A与事件B同时发生所构成的事件D称为事件A与B的交(或积)，记为D＝A∩B(或D＝AB)． 题型探究探究一条件概率的定义及计算命题角度1利用定义求条件概率例1.某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是()A．0.32 B．0.5C．0.4 D．0.8反思感悟利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．跟踪训练1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,9)命题角度2缩小样本空间求条件概率例2.一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)．反思感悟利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.(2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件．(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))求得结果．跟踪训练2.先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1，2，3，4，5，6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且x≠y”，则概率P(B|A)的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)探究二概率的乘法公式例3.某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．反思感悟概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟踪训练3.从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．探究三条件概率的性质及应用例4.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．反思感悟条件概率的性质及应用(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．跟踪训练4.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．当堂检测1.已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(B|A)为()A．eq\f(9,50) B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10) D．eq\f(1,4)2.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,10)3.某地区气象台统计，该地区下雨的概率为eq\f(4,15)，刮风的概率为eq\f(2,15)，既刮风又下雨的概率为eq\f(1,10)，则在下雨天里，刮风的概率为()A．eq\f(8,225) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,8) D．eq\f(3,4)4.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为eq\f(3,4)，用满8000小时不坏的概率为eq\f(1,2).现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是________．5.考虑恰有两个小孩的家庭．(1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；(2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁知识点一1．eq\f(P(AB),P(A))ABAB思考1〖答案〗P(A)＝eq\f(93,100)，P(B)＝eq\f(90,100)，P(AB)＝eq\f(85,100).思考2〖答案〗事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝eq\f(85,90).思考3〖答案〗P(A|B)＝eq\f(PAB,PB).知识点二概率乘法公式P(A)P(B|A)知识点三1．0和10≤P(B|A)≤12．P(B|A)＋P(C|A)例1．〖答案〗B〖解析〗记事件A表示“该动物活到20岁”，事件B表示“该动物活到25岁”，由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能，故事件A包含事件B，从而有P(AB)＝P(B)＝0.4，所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.跟踪训练1．〖答案〗A〖解析〗由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P(A)＝eq\f(1,2)，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P(AB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).例2.解：将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).跟踪训练2.〖解析〗选B.根据题意，事件A为“x＋y为偶数”，则x，y两个数均为奇数或偶数，共有2×3×3＝18个基本事件．所以事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(2×3×3,6×6)＝eq\f(1,2)，而A，B同时发生，基本事件有“2＋4”“2＋6”“4＋2”“4＋6”“6＋2”“6＋4”，一共有6个基本事件，所以事件A，B同时发生的概率为P(AB)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).例3.〖答案〗0.4〖解析〗记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.跟踪训练3.〖答案〗eq\f(33,50)〖解析〗设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B是“取出的数是3的倍数”．则P(C)＝eq\f(1,2)，且所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq\f(P（AC）,P（C）)＋eq\f(P（BC）,P（C）)－eq\f(P（ABC）,P（C）)＝2×(eq\f(25,100)＋eq\f(16,100)－eq\f(8,100))＝eq\f(33,50).例4.解：法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝eq\f(1,10)，P(AB)＝eq\f(1×2,10×9)＝eq\f(1,45)，P(AC)＝eq\f(1×3,10×9)＝eq\f(1,30)．∴P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,45),\f(1,10))＝eq\f(10,45)＝eq\f(2,9)，P(C|A)＝eq\f(P(AC),P(A))＝eq\f(\f(1,30),\f(1,10))＝eq\f(1,3)．∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(2,9)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)．∴所求的条件概率为eq\f(5,9)．法二：∵n(A)＝1×Ceq\o\al(1,9)＝9，n(B∪C|A)＝Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＝5，∴P(B∪C|A)＝eq\f(5,9)．∴所求的条件概率为eq\f(5,9)．跟踪训练4.解：记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20))＋eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,10),C\o\al(6,20))＝eq\f(12180,C\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝eq\f(P(A),P(D))＋eq\f(P(B),P(D))＝eq\f(\f(210,C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＋eq\f(\f(2520,C\o\al(6,20)),\f(12180,C\o\al(6,20)))＝eq\f(13,58)．故所求的概率为eq\f(13,58)．当堂检测1.〖答案〗B2.〖答案〗C〖解析〗在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3.〖答案〗C〖解析〗设事件A为下雨，事件B为刮风，由题意知P(A)＝eq\f(4,15)，P(B)＝eq\f(2,15)，P(AB)＝eq\f(1,10)，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq\f(3,8).4.〖答案〗eq\f(2,3)〖解析〗记事件A为“用满3000小时不坏”，P(A)＝eq\f(3,4)；记事件B为“用满8000小时不坏”，P(B)＝eq\f(1,2).因为B⊆A，所以P(AB)＝P(B)＝eq\f(1,2)，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(1,2)×eq\f(