2021研究生考试数学二真题及答案解析

2021考研数学真题及答案解析数学(二)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)(1)当xfO时，「(/-1辿时/的(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当x->0时，=2x，-l)~2/，所以｛ -1"是一高阶无穷小，正确答案为C.C*-1 0(2)函数/(x)=,x ，在x=0处l,x=O(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D.［解析】因为limf(x)=lim---=1=/(O),故f(x)在x=0处连续；x->0 xt0x£sl_i,_因为lim——=limg~\~X=-,故/<0)=1,正确答案为D.J。x-0J。x-0iox2 2(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s,-3cm/s,当底面半径为10cm,高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)125^cm3/s»407rcm2Is.125兀cm'/s,-407rcm2/s.(C)-IOOxcth，/s,407rcm2/s.(D)-1007rcm3Is,-407rcm2/s.【答案】C.【解析】由题意知，—=2,-=-3,又丫=兀产仄5=2兀此+2兀户dtdtmildV..dr2dhdS,dr-dhAdr则 =Inrh—+ —,——=2兀h-——+41广一dtdtdtdtdtdtdt当r=10,/?=5时，—=-100^-,—=40^-,)&C.dt dt(4)设函数有两个零点，则2的取值范围是a(A)(e,+oo), (B)(O,e). (C)(0,-). (D)(-,+a)).e e【答案】A.【解析】令/(x)=ar-blnx=0,f\x)=a--,令八x)=0有驻点x=。，/f-1=a•--A-In—<0»x aya)aa从而ln2>l,可得2>e,正确答案为A.a a(5)设函数/(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+4、+历/，则(C)a=0,b=—. (D)a=0,6=—.2 2【答案】D.【解析】由小)=/(0)+八0口+苧,+混)知当〃x)=a时/(0)=secO=1J>0)=(secxtanx)|x=0=0J"(0)=(secxtan2x+sec3x)|x=0=1,则f(x)=secx=1+—x2+o(x2).故选D.(6)设函数/(x,y)可微,且—=x(x+l)2,/a,/)=2x2inx,则力(u)=(A)dx+dy. (B)dx-dy. (C)dy. (D)一力.【答案】C.［解析】f\x+1,/)+exf；(x+1,ex)=(x+1)2+2x(x+1) ①(x,x2)+2xf^(x,x2)=4xInx+2x ②将〈一，《一分别带入①②式有y=o［y=1工'(1,1)+月(1,1)=1，曲,1)+2欣,1)=2联立可得工'(1,1)=0,£(1,1)=1，#(1,1)= \)dx+ \)dy=dy,故正确答案为C.(7)设函数〃x)在区间［0,1］上连续，则J：y(xMx=(A)lim)隹匚)\ (B) 宇卜-30^I2〃)In 8MI2〃)nlim力(展卜 (D).［/仔仔.\2nJn 1。i\2nJn【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将［0,1］分成〃份，取中间点的函数值，则£f(x)dx=lim£/(jo 〃->8*=i<2〃Jn即选B.(8)二次型/(西,々，七)=(王+》2)2+(工2+七)2一(》3一七)2的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0. (B)l,l. (C)2,l. (D)l,2.【答案】B.【解析】/(XPX2,X3)=(%1+x2)2+(x24-X3)2—(x3—X,)2=2x22+2XjX2+2x2x3+2x,x3

‘011、所以力=121,故特征多项式为J10>A-1-1

\ZE-A\=-1-2-1=(2+l)(2-3)A

-1-1A令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.⑼设3阶矩阵/=（«,4,。3），8=（凡夕2，4），若向量组卬©2，。3可以由向量组母尸2线性表出，则(A)Ax=Q的解均为Bx=0的解.(B)Arx=0的解均为Brx=0的解.Bx=0的解均为Ax=0的解.Btx=0的解均为Atx=0的解.【答案】D.【解析】令2=（4,%，%），8=（4，4，用），由题4,。2，。3可由4,42,自线性表示，即存在矩阵尸,使得8P=/，则当8、0=0时，=（6P）Txo=0.恒成立，即选D.’10-r（10）已知矩阵/=2-1 1若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵。，使P4Q为对角「12一5,矩阵，则尸，Q可以分别取q(A)01o00、100b'1q(A)01o00、100b'101、013、0°i.'1 00、（C）2-10「321,【答案】C.【解析】To1、013、00L，100、'100、(B)2-10,010「32、00bq00、(\2-3、(D)010,0-1231J、00'1 0(A,E)=2-1C2-1100] 01010^0-1-5001J102-1100]p0-13-210^01-3-6101)(0001 00、2-10

-321?’1 00、=(凡P),则尸=2-10<-321,

10010001100100010010-r-30001;1001000100100、0013b(A\、0，则。=013.故应选C.填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(11)匚即7%=【答案］七.In3+COW3T公+COW3T公=2](12)设函数y=y(x)(12)设函数y=y(x)由参数方程x=2e'+Z+1 d~v1,,确定，则Wy=4(f-l)e'+厂 dx''/=0—2【答案】3【解析】由赵=鲤/，得2【答案】3【解析】由赵=鲤/，得

dx2e+1d2y_(4e'+4fe'+2)(2"+1)—(4叔+27)2e'dx1(2e,+l)3将r=0带入得簧I_2,=o=5(13)设函数z=z(x,y)由方程(x(13)设函数z=z(x,y)由方程(x+l)z+yInz-arctan(2xv)=1确定，则,dx(0.2)【答案】I-a1G o【解析】方程两边对x求导得z+(x+l)台+ J=o,dxzdxl+4xy将x=0,歹=2带入原方程得z=1,再将x=0/=2,z=1带入得—=1.ox(14)已知函数/«)=['公J；sin—dy,510/'【答案】2【解析】交换积分次序有/")±公，从而【答案】2【解析】交换积分次序有/")±公，从而/⑺=一『肛sin『=『"cos——cosy\dy

yJ=『ycos/一ry=『ycos/一rycosydy【答案】y= gcos—X+C,sin—X\,C.,C,,C,eR.jI z2 j2i巧【解析】由特征方程把一1=0得4二^乙己二一万土方^,故方程通解为sin,C,,C2,Csin,C,,C2,C3e/?x x 11 X 2(16)多项式〃x)x x 11 X 2(16)多项式〃x)=2 1 x2 -1 1【答案】-5.【解析】2x―1中V项的系数为1xxx1X/W=212-1XI一1-1 11-2x1x 2所以展开式中含1项的有-V,-4x3,即项的系数为-5.三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)( 7 2\+\e'dt1求极限lim—% e-1sinx【答案】21+V【答案】21+Ve'dt［解析】lim———1

sinx=limxtOsinx-1一"力(ex-1)sinx又因为，/力=](1+/+。(/)功=》+(工3+0。3),故(x +o(x5))(l+X+—X*'+o(x3))—X x~+。(厂)原式二lim——皂 J 2 10 X

1+o(x2)x2(18)(本题满分12分)一，…+o(x2)x2(18)(本题满分12分)一，…x\x\,求/(X)的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间(一8,—1),(0,+oo),凸区间(一1,0).斜渐近线是y=x—l,y=-x-\.—,x>0l+x—^―,x<0—,x>0l+x—^―,x<0、l+x-2x-x2x<0,仆)=卢冬，/"(》)=

(1+x)-一2r(x)=2x+x~(1+x所以X(-00,-1)-1(-1,0)0(0,+oo)/〃(x)+-+f(x)凹拐点拐点凹凹区间(一8,-1),(0,+8),凸区间(一1,0).limWil1+X=OO,X=limWil1+X=OO,X=-1是垂直渐近线.XXlim——xte(j+x)x,x|x|hm ——x-*y(l+x)xXX=1,lim(——xte(l+x)・.，x\x\=-l,lim(—―—(1+x)-1)=一1.斜渐近线是y=1一1,y=-x-l(19)(本题满分12分)/(x)满足jq%c=1x2-x+c乂为曲线y=/(x)(4WxW9),L的弧长为s,旋转一周所形成的曲面的面积为4,求s和4.g.425乃TOC\o"1-5"\h\z【答案】 .9f(x)1 1A1【解析】个竺=一》一1，f(x)=-x2-x2,& 3 7 3曲线的弧长s=［炉正Zx1X 1曲线的弧长s=［炉正Zx1X 1J 22—F—Fdx=244x 3曲面的侧面积4= =_425乃-912一+2dx2-x2)(20)(本题满分12分)函数歹=y(x)的微分方程xy,-6y=-6,满足y(JJ)=10,(1)求y(x)；为使/，最(2)尸为曲线歹=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点尸的法线在y轴上的截距为/」,为使/，最小，求P的坐标.,、 X,、 X6【答案】(1)y(x)=l+—.(2)11p(±l,d)时，有最小值*［解析］(l)y'—y［解析］(l)y'—y——XX9:.y=e-x将e)=10代入，C\(--)e^Xdx+C6=x64-+cU1+C%'x6)(2)设P(x,j),则过P点的切线方程为丫-y=2x5(X—x),法线方程为y-y=-5(X—x),r61 , 、令x=o,.•.y=.=i+5+广，偶函数，为此仅考虑(o,+8)令(/,)=2工5-之=0,x=l.：.xe. ：.xe. 11(0,1),(/,)<0, 不；XG(L+co),亿)>0,4>/,。)=?时，有最小值?(21)(本题满分12分)曲线(》2+/)2=x2-y2(x>0,j；>0)与x轴围成的区域为。，求JJ中公外.D［答案］—48KJcos20【解析】JJxydxdy=£4d0^ /sin6cos田1D=［4—cos220s\n0cos0d0Jo4£i=-f7—cos22^cos2^Jo］6=--cos=--cos326»

484 10=48(22)(本小题满分12分)’210、设矩阵力=120仅有两个不同的特征值.若力相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可ab,逆矩阵P,使产/尸为对角矩阵.2-2-1 0【解析】由|欢―/|=-1 2-2 0=(2-6)(2-3)(2-1)=0-1一。A-b当6=3时，由力相似对角化可知，二重