变分法简介作为数学一个分支诞生是现实世界许多现象不断探索结果人们

§1约翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家，提出Problem新颖和别出心裁引起了很大，罗比塔（GuillaumeFrancoisAntoniedel'Hospital1661-1704、雅可比·伯努利（JacobBernoulli1654-1705、莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716）和牛顿（IsaacNewton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（EulerLonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(TheHangingChainProblem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自（catenary伽利略（Galileo,1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，，d2

dy

a1(dx y(0)0

y(0)

y

(eaxeax 至整个数学物理领域有着巨大贡献的，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变S上的泛函，记作Jx(t))SJ的容许函数集。例如，在[x0x1上光滑曲线y(x)的长度可定义J 若y(x)x，则

1y2212

J(y(x))J(x)011dxexeJ

1(ex(exex)14

dx

1e

e eedx 对应C1[x0x1y(x)JJy(x)，是定义在函数集合C1[x0,x1上的一个泛函，此时我们可以写成JJ(tJ(x(t))

&(t 被积函数F包含自变量t，未知函数x(t)及导数x&(t)。上述曲线长度泛函即为一最简 y(xy(x)y(xC1[xx],y(x)y,y(x J(y(x))

1y2Jx(t))x0(tSx0(tx(tS，Jx(tJx0(t。所谓接近，可以用距离dx(tx0(tt0tt泛函的极大值可以类似地定义。其中x0(t)称为泛函的极值函数或的自变量，函数x(t)在x0(t)的增量记为x(t)x(t)x0JJ(x0(t)x(t))J(x0如果J

JL(x0(t),x(t))r(x0L为x的线性项r是x的高阶项L为泛函在x0(t)的变分，记作Jx0t。用变动x(t)x0t，就有Jx(tJ(x(t))J(x(t)

JJ(x(t)x)J(x(t))L(x(t),x)r(L(x(t),x)L(limr(x(t),x)limr(x(t),x)x J(x

J(xx)J( limL(x,x)r(x,x)L(x,x)J( 泛函极值的变分表示：若J(x(t))在x0(t)达到极值（极大或极小，则J(x0(t)) 证明：对任意给定的xJx0x是变量的函数，该函数在0处达到极值。根J(

0变分法的基本引理：xC[x1x2]xC1[x1x2，x1)x2)0，x2(x)(x)dx0x0,xx1x2x(t0)x0，x(tf)xFdF

J

J(x(t)

tt

00t[Fx(t,x,x&)xFx&(t,x,0对上式右端第二项做分布积分，并利用x(t0x(tf0ttt t x&tt 0tJ

d

0 0

tf[Fd

]xdt0 0

因为x的任意性，及x(t0x(tf)0，由基本引理，即得（7

dt将上式积分一次，便得首Fx&(tx&)c1，由此x&(tc1，积分后得

xt,c1Fx0Ftx&0Fxx&0，欧拉方由此可&x&0Fx&x&0，如&x&0，则得到含有两个参数的直线xc1tc2。另外若Fx&x&0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的直线xktc，它包含于上面含有两个参数的直线族这时Ftx&0，故欧拉方

&(F

ABAB的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从A滑行至B的A点取为坐标原点，BB(x1,y1)1A(0,A(0,x dsm dt将ds 1y'2(x)dx代入上式1dt 11J(y(1

y(0)0,y(x1)11yF(y,y')不含自变量x，所以方程（8）可写FyFyy'y'Fy'y'y''

d(Fy'F

)令yctg2

y(1y'2) y csin2 1

1(1cos) dxdy

ctg2

c1(1cos)d

xc(sin) y(0)0，可知c20xc1(sin yc1(1cos 最小旋转面问题对于xy平面上过定点Ax1y1Bx2y2的每一条光滑曲线yxx轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线yx)的泛J(yx))，易

1y'2(1y'2(x

解FFy'

Sy(x)|y(x)C1[x,x],y(x)y,y(x)y11 11 111 y1111 11令y'sht，代入上式，y1由于dxdyc1shtdtc 积分之，得xc1t1消去tycchxc211691年，雅可比·伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的,则

L bds bx1(dy)2

aby1(dy)2aax aL

y J(y(x))by(x)1(y)2a

yy(y)21令p 解

y2k(1p2k0ky1ch[k(xck

F(x,y,y',z,z'y(x1)y1,y(x2)y2,z(x1)z1,z(x2)z2yyxzzxF dFF y FdxF zJ(y(x))

F(x,y,y',y(x1)y1,y（x2）y2，y'(x1)y'1,y'(x2)yyx dFydxFy'dx2Fy"DJ(z(x,y))F(x,y,z,zx,zyD Fzx

z

x(t0)x(t)ttfdt0J

tfdtF(t, x, &)dtddt

t

00

(FxdtFx&)xdtFx&xtt

tt 对每一个固定的tfx(t都满足欧拉方程，即（9）f （9）式的第二、第三项，建立dtf与xtt之间的关系，因fx(tfdtf)x(tfdtf)(tfdtf对求导并令0tt &(tftt即 f把（10）代入（9）并利用dtff ff此时（9）式中dt0及 fttfFx&tt fx(t是平行横轴的直线时，tfx(tf)x(tf为平动端点。此时&0，（11）式的横截条件变为fFx&Fx&tt *f统 t0J(u(t))(tf,x(tf))tF(t,x(t),u(t))dt 其中u(tx(t是轨线，t0固定，tfx(tfx(tRn，u(tRm（不0Rm空间，f,F下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u*(t)和最优轨线x*(t)的必要条件。))tf[F(t,x,u)T(t)(f(t,x,u)J1(x,u,)(tf,x(t

0的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函H(t,x,u,)F(t,x,u)T(t)f(t,

（19（17）J1(x,u,)(tf,x(t

t ))[))[H(t,x,u,)0

{

dt

,x(t

)x(tftfdtf[H(t,xx,uu,)()T(x&

x(tf t x(tf t

(dt)TH(t,x,u, t t ttf[(x)T

(u)T

()TH

()T

& t x(t(dt)T F(t,x,u, t x(t tf[(x)TH

T

tf(x)T0 0

Hu

H

x]dt

(tf)xt f0f注意到xf0f

x(tf)，x

x(tfx&(tf)dtff t tJ(dt)T H(t,x,u, ][f t t tf[(x)T 0 x)()(Hx)0

Hu再令J10，由dtf,x(tf),x,u,x**①状态方 x&Hf(t,x,&Hx哈密顿函数H(t,x*,u,*)作为uHu并由此方程求得u*求x*,*,u*①x(t0x0 （用于确定x* (t) （用于确定 x(tff③f

H(t,x,u,)t

（确定tfff其控制策略u(t的全体构成有界集U，求u(tUJ

t(tf,x(tf))

最大（小）f(txu(tfx(tfF(txu都是连续可微的，那么最优控制策略u*(t)和相应的最优轨线x*(t)由下列的必要条件决定：最优轨线x*(t)，协态向*(t) f(t,x,u)，u(t)UdH H(t,x*,u,*)F(t,x*,u)*T(t)f(t,x*,作为u(t)的函数，最优策略u*(t