考点04 角度制与弧度制（解析版）

考点04角度制与弧度制一、单选题1．给出下列四个命题：①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角．其中正确的命题有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误.【详解】－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.故答案为C【点睛】本题主要考查象限角的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2．已知扇形的周长为，扇形的圆心角的弧度数是，则半径是（）A．4 B．1 C．1或4 D．2【答案】B【解析】【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，列出方程组求出r的值.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，则周长为，又扇形的圆心角弧度数是，即；由，解得，；所以半径是1.故选：B.【点睛】本题主要考查扇形的周长及弧长公式，根据条件列出方程组是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．与角终边相同的角是（）A．221° B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角相差的整数倍，逐个判断即可.【详解】余，故A正确，B、C、D中的角均不与角终边相同.故选：A.【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题.4．已知角是第三象限角，则终边落在（）A．第一象限或第二象限 B．第二象限或第三象限C．第二象限或第四象限 D．第一象限或第三象限【答案】C【解析】【分析】求出，即得解.【详解】由题得，所以，当时，终边落在第二象限，当时，终边落在第四象限，当时，终边落在第二象限，当时，终边落在第四象限，所以终边落在第二象限或第四象限.故选：C【点睛】本题主要考查角的象限，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.5．终边落在直线上的角的集合为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】分别写出终边落在直线上且在第一象限和终边落在直线上且在第三象限的角的集合，取并集得答案．【详解】解：当角的终边落在直线上且在第一象限时，角的集合为，；当角的终边落在直线上且在第三象限时，角的集合为，．取并集可得，终边落在直线上的角的集合为．故选：．【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的集合的表示，是基础题．6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）（参考数据：）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【解析】【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长，其所对圆心角，两手之间距离.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.7．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么()A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅【答案】C【解析】【分析】变形表达式为相同的形式，比较可得．【详解】由题意可即为的奇数倍构成的集合，

又，即为的整数倍构成的集合，，

故选C．【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．8．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意，根据给出计算方法：扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，再由扇形的弧长公式列出方程，即可求解.【详解】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角（弧度），故选C.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、多选题9．（多选）下列说法正确的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】ABC【解析】【分析】根据角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的；对于B中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的是正确的；对于C中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确；对于D中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的.故选ABC.【点睛】本题主要考查了角度制与弧度制的概念，以及角度制与弧度制的互化，其中解中熟记角度制和弧度制的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（）A． B．C． D．E.【答案】BE【解析】【分析】假设、都是内的角，可得出，然后再结合终边相同的角的概念可得出结论.【详解】假设、为内的角，如图所示，因为、的终边关于轴对称，所以，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得，所以E满足条件，ACD都不满足条件．故选：BE.【点睛】本题考查利用两角终边的对称性推出两角的关系，考查理解能力，表达能力．11．（多选）下列转化结果正确的是（）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是【答案】ABD【解析】【分析】根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项.【详解】对于A,,正确;对于B,,正确;对于C,,错误;对于D,,正确.故选ABD【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,转化过程中注意进制和单位,属于基础题.12．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.第II卷（非选择题）三、填空题13．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.【答案】.【解析】【分析】首先确定范围内角的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角的范围.【详解】在范围内，终边落在阴影内的角满足：或满足题意的角为：，，本题正确结果：【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题.14．设三角形的三内角之比为2∶3∶5，则各内角弧度为___________.【答案】【解析】【分析】根据三角形内角和为以及比例的性质求解即可.【详解】因为三角形内角和为，故各内角弧度分别为，，.故答案为：【点睛】本题主要考查了弧度制及其运算，属于基础题.15．在半径为6的圆中，长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形的面积是______________【答案】【解析】【分析】由题意可知所求弓形的面积等于圆心角为60度的扇形面积减去等边三角形面积即可【详解】解：设圆心为，弦为，的中点为，则，由题可知，则，则在中，，所以所求弓形的面积为，故答案为：【点睛】此题考查求弓形的面积，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题16．若角的终边与的终边重合，且，则_______________.【答案】或【解析】【分析】由终边相同角的关系得出，再由的范围确定，进而得出.【详解】由题意可知，，则，或则或故答案为：或【点睛】本题主要考查了终边相同的角性质的应用，属于基础题.四、解答题17．已知集合，，求.【答案】【解析】【分析】两个集合交集分布情况为当时，分别讨论即可得解.【详解】由题，当时，集合A中的元素全为负数，与集合B交集为空集，当时，，当时，集合A中的元素全都大于等于，与集合B交集为空集，所以=.【点睛】此题考查求集合的交集运算，分别考k取整数的情况讨论求解，可以结合角的终边所在象限求解.18．试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．【答案】．【解析】【分析】根据终边相同的角的概念以及图形直接写出区域角的集合.【详解】因为，所以的终边与的终边相同，则终边在题图所示阴影区域内的角的集合为．【点睛】本题考查区域角的求法，考查观察能力，属基础题.19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，.（1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值.【答案】（1），（2）当时，最大为【解析】【分析】（1）表示出弧长,即可由扇形面积公式表示出.根据弧度定义,用弧长和半径表示出圆心角弧度数,并结合即可求得半径的取值范围.（2）由二次函数性质,即可求得面积的最大值,及此时的半径.【详解】（1）当半径为,所以弧长为所以由弧度定义可知,而所以,解得综上可知,（2）因为由二次函数的性质可知,当时,最大为【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,根据二次函数性质求最值,属于基础题.20．如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在内转过的角度为，到达第三象限，回到原来位置，求.【答案】为96°或120°【解析】【分析】由题意结合任意角的概念、象限角的定义及终边相同的角的概念可转化条件为，即可得解.【详解】由题意得，解得，且，所以满足题意的为96°或120°.【点睛】本题考查了任意角、象限角及终边相同的角的概念的应用，考查了运算求解能力，关键是合理转化题目条件，属于基础题.21．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)()；(2)少．【解析】【分析】【详解】试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1)扇形半径，扇形面积等于弧田面积=（m2）（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．22．