江苏省镇江市2020届高三数学下学期6月第三次模拟考试试题含解析

江苏省镇江市2020届高三数学下学期6月第三次模拟考试试题含解析江苏省镇江市2020届高三数学下学期6月第三次模拟考试试题含解析PAGE25-江苏省镇江市2020届高三数学下学期6月第三次模拟考试试题含解析江苏省镇江市2020届高三数学下学期6月第三次模拟考试试题（含解析)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合，，若,则实数__________．【答案】1【解析】【分析】根据集合的交集的含义，有集合A和B必然含有共同元素，又由集合A,B可得，且或,从而求得结果.【详解】根据题意，若，则A和B必然含有共同元素，又由，,则有，且或,故解得故答案为：1【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的交集中的元素来确定有关参数的取值问题,属于基础题目.2.若复数z满足，其中i是虚数单位，__________．【答案】【解析】【分析】由除法法则计算．【详解】由题意，故答案为:．【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题．3。已知，是某个平行四边形的两个内角，命题；命题，则命题是命题的__________条件（在“充要”、“充分不必要"、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据平行四边形性质，即可由充分必要条件的定义判断结论.【详解】，是某个平行四边形的两个内角，则或,当或时,命题可以推出命题，当时，命题不能推出命题，因而命题是命题的充分不必要条件，故答案为:充分不必要。【点睛】本题考查了充分必要条件的判定,属于基础题.4。为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的600人中,O型血有200人,A型血有150人，B型血有150人，AB型血有100人．在这600人中,为抽取一个容量为60人的样本，则应从O型血中抽取的人数为__________．【答案】20【解析】【分析】直接根据其所占比例求解即可。【详解】解：因为在被感染的600人中，O型血有200人，A型血有150人，B型血有150人，AB型血有100人，即O型血的人数占，所以应从O型血中抽取的人数为故答案为:20【点睛】此题考查了分层抽样,解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,属于基础题.5。已知直线,，且，则直线,间距离为__________．【答案】【解析】【分析】根据两直线平行列关于的方程，解出的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足，即可得出实数的值，最后利用平行直线得距离公式即可求解.【详解】直线，,且，则，解得当时，直线,，化简得,此时,，两直线平行，满足题意，因此,，则直线,间的距离为故答案为：【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程,验证两直线是否平行,最后再利用两直线平行的距离公式来求解,考查运算求解能力，属于基础题。6.一周后的6月25日为端午节,国家规定调休放假3天，甲、乙、丙三人端午节值班,每人值班一天，每天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为__________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意列出甲、乙、丙三人值班的全部情况，再列出甲在乙前面值班的情况，最后利用古典概型公式计算即可。【详解】甲、乙、丙三人每人值班一天，每天一人值班共有：（甲乙丙），（甲丙乙)，(乙甲丙），（乙丙甲），（丙甲乙），（丙乙甲）,6种情况.其中甲在乙前面值班共有：（甲乙丙),（甲丙乙），(丙甲乙)，3种情况.所以甲在乙前面值班的概率为。故答案为：【点睛】本题主要考查古典概型，同时考查学生分析问题的能力,属于简单题.7。中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠，次第每人多十七,要将第八数来言”．意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵，每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵的斤数为__________．【答案】184【解析】【分析】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成等差数列,若以第8个儿子分的绵得斤数为首项则公差d=-17，即可根据等差数列的和求出答案。【详解】由题意可知，各个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项,公差为d=—17的等差数列，其中n=8,S8=996，所以，解得a1=184，故答案为：184【点睛】本题主要考查了数学文化，考查等差数列的定义、求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题。8。在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线（a＞0）的左准线，则实数a的值是_______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可。【详解】因为抛物线y2＝4x的准线是双曲线(a＞0)的左准线,故，即，因为故解得a＝．故答案为:【点睛】本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题。9。竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之,三十六成一”。该术相当于给出圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式为。该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______.【答案】3【解析】【分析】首先求出圆锥体的体积,然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值.【详解】由题知圆锥体的体积,因为圆锥的底面周长为，所以圆锥的底面面积，所以圆锥体的体积，根据题意与近似公式对比发现，公式中取的近似值为。故答案为：。【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题。10.已知圆与圆外切，则ab的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】由圆心距等于半径之和得出的关系式,然后由基本不等式可得最值．【详解】圆心为，，两圆外切，则，∴，所以,所以，当且仅当时等号成立，故答案为：2．【点睛】本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式求最值，解题关键是掌握两圆位置关系的判断．11。《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为:今有直角三角形，勾（短直角边）长5步，股（长直角边）长12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长为多少？在如图所示中，求得正方形的边长后，可求得__________．【答案】【解析】【分析】首先设正方形的边长，利用相似比求出，再求出和，利用两角差正切公式计算即可.【详解】设正方形的边长，由题知：，解得.所以,.。故答案为：【点睛】本题主要以数学文化为背景，考查两角差的正切公式，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.12。已知在中,,，，P为平面OAB上一点，且，当OP最小时，向量与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】由得，因此有,这样作出图形后易知OP最小时点位置,从而得向量夹角．【详解】∵，∴,作，如图，则在上，易知最小时，，所以，所以向量与的夹角为．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的夹角,解题方法是几何法，通过向量线性运算的几何意义作出图形求解,减少了计算，结果一目了然．13。已知函数,若函数有三个零点，则实数k的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先作图，再求分界线对应k的值，结合图象确定取值范围.【详解】作与图象，由得由得,对应图中分界线①；由过点得，对应图中分界线②；当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③；因为函数有三个零点，所以实数k的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查根据图象交点求参数取值范围，考查数形结合思想方法,属中档题.14。在锐角中，角A，B，C的对边分别为a,b，c．若,且,则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】由已知应用两角和的正弦公式和诱导公式得,结合正弦定理可求得，从而可得,利用两角和的正切公式与基本不等式可得的最小值，从而得题设结论．【详解】由得，所以，所以，∴即，又为锐角，∴，所以，当且仅当时等号成立，解得,所以．故答案为：．【点睛】本题考查两角和的正弦公式、正切公式，考查诱导公式，正弦定理．三角函数问题中对角的认识尤其重要,观察已知角的未知角的关系,确定选用公式,才能寻找到正确的解题思路．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15.如图，在直三棱柱中，为中点，，．求证:

（1)平面;（2)平面平面．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设与交于，连接，利用中位线的性质得出,再利用线面平行的判定定理可证得结论；(2）证明出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可得出平面，最后利用面面垂直的判定定理可得出结论.【详解】（1）设与交于，连接，在平行四边形中，为中点,为中点，所以，平面,因平面，所以平面；（2）因为,为中点,所以．在直三棱柱中，平面，平面，所以．又，，所以平面．因为平面，所以，又，，所以平面．又平面,所以平面平面．【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力,属于中等题。16.在中，三角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,．（1）求的值；（2)若，求的面积．【答案】（1）3;（2）3【解析】【分析】（1）由同角关系求得，由诱导公式及两角和的正弦公式化为的关系，从而可求得；(2）由可得,,由已知得,再由正弦定理得，最后由面积公式得结论．【详解】解:在中，，，，因为，得①．(1)因为,所以．所以②．如果，则与③矛盾，所以．所以．（2）因为,由，得，则，．将（1)中②代入(1)中③解得：，．于是．将及（1）①代入正弦定理,，得．所以的面积．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理、三角形面积公式．解三角形中公式较多，掌握这些公式是解题基础，要善于从已知条件出发选用恰当地公式进行计算．本题属于中档题．17。在平面直角坐标系xOy中,椭圆左、右焦点分别为，,离心率为，两准线间距离为8,圆O的直径为,直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭圆C交于点N(N点在T点上方），且．（1）求椭圆C的标准方程；(2)求直线l的方程;（3）求直线l上满足到,距离之和为的所有点的坐标．【答案】（1）(2)．（3）和．【解析】【分析】(1）根据椭圆的性质、离心率和两准线间的距离，列出以下方程：①，②，③,然后求解即可.（2）法一：设切点，则⑤，利用和为核心参数，依次表示直线OT的斜率，直线的方程，以及N点的坐标，然后列方程求解即可求出和，进而即可求解.法二：设，，然后，以,,为核心参数，列出直线的方程，又因与相切，则列出圆心距的方程，最后根据（1)中的方程，联合求解即可.（3)因为到,距离之和为的所有点的集合为椭圆C，所以满足题意的点为直线l与椭圆C的公共点,联立④和⑨得:，然后求解即可。【详解】解：（1）设椭圆C的焦距为，因为离心率为①，两准线间距离为②，又③，由①②③解得,．则椭圆C的标准方程为④（2）法一：设切点,则⑤,因T在第四象限，所以，，直线OT的斜率，因为，所以直线的斜率，直线，由⑤得：⑥,令，得，因为,，所以，T为MN中点，所以，代入（1）中④得：,解得：，，代入⑥式得:直线l的方程为．法二:设，，则⑤，设直线⑦，因为切点T在第四象限,所以,，．因l与相切，则圆心距，⑧，因为，则，所以⑨，联立⑤⑨解得:，，因为，所以，,则,由⑧得,解得，．当时,，与矛盾．则，代入⑧，得,所以直线l方程为⑨．（3）因为到，距离之和为的所有点的集合为椭圆C,所以满足题意的点为直线l与椭圆C的公共点，联立④⑨得：，得,即或,所以满足条件的点的坐标为和．【点睛】本题考查椭圆的基本性质，离心率，准线的定义，以及如何利用核心参数根据椭圆的图像性质进行数形结合，进而列方程求解，难点在于列方程和运算,属于难题.18。镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像（如图1）,塑像总高度为12米，塑像由两部分组成，上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成(立柱上凸起部分忽略不计），下半部分由正四棱台的上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成，如图2所示．设计要求正棱台的水平横柱长度为4米，下底面边长为8米，设斜柱与地面的所成的角为．（1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求的取值范围？(2）若该塑像上半部分立柱的造价为千元/米（立柱上凸起部分忽略不计），下半部分横柱和斜柱的造价都为2千元/米,问当为何值时，塑像总造价最低?【答案】（1）米,的范围为．(2)当时，塑像总造价最低．【解析】【分析】（1）在平面AEGC内作，利用面面垂直性质定理可得平面EFGH,为斜柱与地面所成的角，由即可求解.(2）设总造价为y，则，利用导数即可求解.【详解】解:（1）由正四棱台定义，平面平面EFGH，在平面AEGC内作，交EG于M，平面平面,则平面EFGH，则为斜柱与地面所成的角，即．显然，A,M三点共线,在等腰梯形AEGC中,，,则，,立柱,因为，所以．答：塑像上半部分的高度米，的范围为．（2）,设总造价为y，则，，记，则,令，则，所以，列表：0减函数1增函数所以当时，有最小值．答：当时，塑像总造价最低．【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、利用导数求函数的最值，属于中档题.19.各项为正数的数列如果满足：存在实数，对任意正整数n，恒成立,且存在正整数n，使得或成立，则称数列为“紧密数列”,k称为“紧密数列”的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前n项和为，且对任意正整数n，（A,B，C为常数）恒成立．(1）当,，时,①求数列的通项公式;②证明数列是“紧密度"为3的“紧密数列”；(2）当时,已知数列和数列都为“紧密数列”,“紧密度”分别为,，且，，求实数B的取值范围．【答案】（1）①②见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用公式得到是以首项为1,公差为2的等差数列，得到通项公式；计算恒成立,得到证明。(2)根据递推公式得到是以首项，公比的等比数列,考虑和两种情况，计算得到，根据解得答案。【详解】（1）①当，,时，,当时，，相减得：，整理得：，因为，则，即有，当时，，则．则是以首项为1,公差为2的等差数列,则．②，得随着的增大而减小,则对任意正整数n，恒成立,且存在，使得．则数列是“紧密度”3的“紧密数列”．（2）当时，，,相减得：,若,则上式右端中，与矛盾；若，则上式左端，与矛盾,则，．则为常数，即是以首项，公比的等比数列．因数列为“紧密数列”,则,所以，又．当时，,对任意正整数恒成立,且存在正整数，使得，所以数列的“紧密度”为，又，即，此时，随的增大而减小,所以，对任意正整数恒成立，且当时，，所以数列的“紧密度”为，则,与矛盾，不成立;当时，，对任意正整数恒成立,且存在正整数，使得，则此时的“紧密度”为，即．而随着的增大而减小，则对任意正整数恒成立，且当时，，则的“紧密度"，即，故,即，解得．综上所述：实数的取值范围为．【点睛】本题考查了数列的新定义问题,求数列的通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，理解数列的新定义是解题的关键.20。已知