2019年高考数学试卷（文科）（新课标3）答案解析

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学［页：.答卷前，考生务必将自己的姓名和推考证号填写在答题卡上..回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回铜E逐举题时，斗落案写在答题卡上，写在本试卷上无效..考阻铝束后，将本试卷和答题旨-并交回.一、选择本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项巾，只有一项是符合题目要求的.已知集合j={-1,0,1,2},5={x|x2<1),贝ij⑷B=()A{-1,0,1} B{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2}【答案】A【解析】【分析】先求出集合B再求出交集【详解】Qx2<1,..-1<x<1,.•.5={z|-l<x<l),贝"RI5={-1,0,1),故选A.【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题若z(l+i)=2i,则z=()A-1-i B-1-H C.1-i D1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可【详解】z=-=21(1-1)=1+1.故选D.1+1。+1)(1-1)【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养.采取运算法则法，利用方程思想解题.3两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是方.故选D.【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法，利用等价转化的思想解题.4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了1。。学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有9。位，闻读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》目闻读过《红楼梦》的学生共有6。位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70-100=07.故选C.【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想解题.5函数/（幻=20111一511121在[0,2”]的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】令/。）=0,得sinx=O或cosx=l,再根据'的取值范围可求得零点【详解】由/CO=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx（l-cosx）=0,得sinx=0或cosx=1,Qxe[0,2/r],x=0、"(x)在［0,24］的零点个数是3,故选B.【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养.采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题.6已知各项均为正数的等比数列｛%｝的前I项和为15,且飞=玄3+4,，则生=()A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于外,g的方程组，求出1,g,再利用通项公式即可求得色的值.【详解】设正数的等比数列⑷的公比为%则':■管:"=15,,以回=3a+4«］4=1解得，o>az—aiQ2故选C.<7=2【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.7,已知曲线y=ae*+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为1y=2x+b,则()A.fl=e,b=—1 b.Q=€,b=1 c.o—e~l,b=1d.a=e",8=-1【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得。，将点的坐标代入直线方程，求得3.【详解】详解：y'=aex+lnx+l,k=丫L-i=ae+1=2,a=e-1将a，I)代入y=2x+得2+b=1力=-1,故选D.【点睛】本题关键得到含有a,方的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.S如图，点曾为正方形加8的中心，为正三角形，平面£CD_L平面儿5CZ),M是线段期的中点，则()=酊，且直线BM,EN是相交直线BM*EN,且直线BM,EN是相交直线3舷=加，目直线配是异面直线BMhEN,且直线是异面直线【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.【详解】如图所示，作E。上CD于。,连接。"，过M作工0D于F.连BF,Q平面CDE_L平面抽8.&。_1_8,£。<=平面（7。&,..屈9_1_平面期（7。，初FJ■平面MCZ）,AMyB与AEON"均为直角三角形.设正方形边长为2,易知EO=J3,ON=1 EN=2,MF=-,BF=-,:.BM=>/7.：- 故选B.2 2【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角性.9.执行如图所示的程序框图，如果愉人的&为0.01,则愉出$的值等于（）

【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果【详解】输入的&为0.01,x=l.S=0+l,x=0.5<0.01?不满足条件；S=0+l+；,x=；<0.01?不满足条件；S=0+l+4+L+士，x=-5-=0.0078125<0.01?满足条件2 2， 128愉出£=1+5+...+^=20=2-声，故选C.【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析.10已知F是双曲线=l的一个焦点，点尸在C上，。为坐标原点，若|。尸|=|。尸则△<?尸尸的面积为（）TOC\o"1-5"\h\z3 5 7 9A.— B.— C.— D.—2 2 2 2【答案】B【解析】【分析】设产(x°Jo),因为I。尸1=1。尸I再结合双曲线方程可解出卬，再利用三角形面积公式可求出结果【详解】设点尸a。/。)，则M¥=i①.4 5又10H=|OF|=^T?=3,•-V+W=9②.由①®图7。2=1，y5即闯=1,Saopf=5pr|»o|=5乂3乂§=5,故选B.【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅.11记不等式组1：+'表示的平面区域为。，命题「年))692"%93命题2x-,y>0g：V(xj)eD,2x+y,12.给出了四个命题：①#vq；②r?vq；③P5：④量八9,这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①@ B.①@ C.②(§) D.(§X$)【答案】A【解析】【分析】根据题意可以出平面区域再结合命题可判断出真命题y=2x fx=2【详解】如图，平面区域D为阴影部分，由'厂得.、x+y=61y=4即A(2,4),直线2x+y=9与直线2x+y=12均过区域D,则P真q假，有予假F真，所以①<3真②®假.故选A.

【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值蛉证的方法进行判断.12设/(x)是定义域为R的偶函数，目在(0,")单调递减，则()【答案】C【答案】C【解析】【分析】由已知函数为偶函数，把了(/,何’伫,转化为同一个单调区间上，再比较大小.由已知函数为偶函数，把了(/,何’伫,转化为同一个单调区间上，再比较大小.【详解】Q/(x)【详解】Q/(x)是R的偶函数，二/(logs；2 3Qlog34>log33=LI=2°>2飞>log34>2-J>2-r>又了(X)在(0,+8)单调递减,

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、里调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量1=(2,2)%=(-8,6),则cosGX}=.【答案】一也10【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果【详解］2x(-8)+2x6yf2【详解］V22+2axJ(-8尸+62-10【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键.14记邑为等差数列{aJ的前万项和，若。3=5,劭=13,则凡=.【答案】100【解析】【分析】根据题意可求出首项和公差，进而求得结果【详解】＜%=%+2d=5a7=%+6d【详解】＜10x910x9/.Si。10x910x9/.Si。=lOojH---d=10x1h---x2=100.【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.15.设耳，居为椭圆0L+匕=1的两个焦点，M为C上一点目在第一象限.若耳玛为等腰三角形3620【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出|命/卜|峥设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.【详解】由已知可得/=36,/=20,二1=/一/=16…c=4,：.|A^|=|^^|=2c=8.：.\MF^=4.设点M的坐标为（丽，必））伉＞0,儿＞0）,则$皿玛=；|月月%=4%,又名附玛=|x4xV82-22=4后,：.4%=4厉，解得比=后，看卜邯）T，解得而=3（%=一3舍去），二”的坐标为卜，恒）.【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.16学生到工厂劳动实践，利用32打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥。-E9G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，瓦F,G,H分别为所在棱的中点，奶=3C=6cm,」44=4cm,3。打印所用原料密度为0.9g/,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为8.【答案】U8.8【解析】【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量

【详解】由题意得，$2=4x6-4x；x2x3=12c疗，四棱锥O-EFG的高3cm,:.―噌=1x12x3=12cw3.又长方体ABCD-44GA的体积为匕=4x6x6=144cm3,所以该模型体积为/=匕-彳=144-12=13勿加？，其质量为0.9x132=118.8g.【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解.三、解答题：其70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：17为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试蛤：将20。只小鼠随机分成A8两组，每组10。只，其中/组小鼠给服甲离子溶液，8组小鼠给服乙离子溶渣.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试蛉数据分别得到如下直方图：TOC\o"1-5"\h\z.处 .陋组距 痂___ Q0.30 1 05052110~♦・・05052110~♦・・OOOO0.200.15

b0.0502.53.54.55.56.57.58.5百分比甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到的估计值为0.70.1)求乙离子残留百分比直方图中外6的值；2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组卬的数据用该组区间的中点值为代表).【答案】(Da=0.35,5=0.10；(2)4.05,6【解析】【分析】(1)由产(C)=070及频率和为1可解得a和3的值,艮据公式求平均数

【详解】（1）由题得a+0.20+0.15=0.70,解得a=0.35,由0.05+3+0.15=1-产⑹=1-0.70,解得6=0.10.C)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.15x2+0.20x3+0.30x4+0,20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,乙离子残留百分比附1均值为0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题IS 的内角A8,C的对边分别为aj,c,已知asin”上=8sin力.2(1)求8;(2)若以3C为锐角三角形，且c=l,求面积的取值范围.【答案】⑴B档(2)(率李【解析】【分析】(1泳U用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据AB.C均为三角形内角解得E=^(2)1根据三角形面积公式九3=才smB,又根据正弦定理和c=1得到心的关于C的函数，由于上43c是锐角三角形，所以利用三个内角都小于5来计算C的定义域，最后求解%0c(C)的值域/+C A+C【详解】(14艮据题意《sin工一=6sin4,由正弦定理得sinj4sin——=sinBsinj4,因为0<工<4,故sin兑>0,消去sin&得sin—--=sin5.工+C A+CA+C0<8<*,0</，一"<"因为故',一「二§或者2+B=k,而根据题意R+B+C=/r,故TOC\o"1-5"\h\zA4-C n笠二+3=”不成立，所以笠二=3,又因为h+s+c：”,代入得38=",所以3=7(2)因为V，45c是锐角三角形，由(1)知E=g,4+B+C=*得到月+。=1兀，0<C<-故，，解得"c吟c/2/rcn6 2故，0<——一C<—2又应用正弦定理C=又应用正弦定理C=1,由三角形面积公式有:出sin—cosC-cos—smC 小2”1 2飞31出= = (sin cos—)= +—4 sinC 4 3tanC3 8tanC8又因二＜c

6<—,tanC>2包，故近2，+坦〈吏

3 8又因二＜c

6<—,tanC>2故$3c的取值范围是o2【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解)，最后考查SBC是锐角三角形这个条件的利用.考查的很全面，是一道很好的考题19.图1是由矩形血的,放A4BC和菱形EQC组成的一个平面图形，其中痣=15£=5F=2,NFBC=60。,将其沿盘,5。折起使得郎与质重合，连结DG,如图2.(1)证明图2中的HC,G,Z)四点共面，目平面A9C_L平面3CGE;(2)求图2中的四边形工CGD的面积.【答案】⑴见详解：(2)4.【解析】【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED,以\44BC和菱形BFGC内部的夹角，所以ADHBE,BFHCG依然成立，又因E和F粘在一起，所以得证因为AB是平面BCGE垂线,所以易证(2)欲求四边形ACGD的面积，需求出CG所对应的高，然后乘以CG即可.

【详解】（1）证：ADHBE,BFffCG,又因为£和尸粘在一起••ADIICG,A,C,G,D四点共面又Q58J_B£,H8_L3C...45_L平面BCGE,QHHu平面ABC,二平面ABC_L平面BCGE,得证（2眼CG的中点M,连结皿,D"因为加〃。后，仙_L平面BCGE,所以DE1平面BCGE,故DELCG,由已知，四边形BCGE是菱形，且N£8C=60°得3_LCG,故CG_L平面DEM.因此QM1CG.在RtZSDE〃中，DE=1,EM=®>故。”=2.所以四边形ACGD的面积为4【点睛】很新颖的立体几何考题.苜先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的.再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形ACGD的面积考查考生的空间想象能力20已知函数/。）=2/-苏+2.（1）讨论了（0的单调性；<2）当0<。<3时，记/W在区间［0,1］的最大值为最小值为切，求"-加的取值范围.O【答案】（1）见详解；（2）［—,2）.【解析】【分析】（1洗求/（x）的导数，再根据。的范围分情况讨论函数单调性；（2）讨论。的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得河-掰的取值范围

【详解】⑴对〃x)=2/-加+2求导得八X)=6--2ax=6x(x-1).所以有当时，(-8,9)区间上单调递增，(J,0)区间上单调递减，(Q田)区间上单调递增；3 3当a=0时，(-co,欣)区间上单调递增；当a>0时，SO)区间上单调递增，(0自区间上单调递减，令48)区间上单调递增(2)若0<aV2,的在区间(0,学单调递减，在区间停1)单调递熠，所以区间［0」上最小值为了专)而/(0)=2,7(1)=2-。+22/(0),故所以区间［0,1］上最大值为/(I).所以M—tn=f(y)-f(y)=(4-a)—［2(33—a(y)2+2］=》—a+2)设函数g(x)= —x+2>求导r2 O“3= 当0<xW2时g'(x)<o从而g(x)单调递减而0<aW2,所以二4二一&+2<2即9 2727o舷-加的取值范围是［万,2).若2“<3,小)在区间呜)单调递减，在区间停1)单调递熠，所以区间［0J上最小值为而/(0)=2./(l)=2-c+2</(0),故所以区间［0口上最大值为/(0).所以〃一次=/(0)-/(3)=2-［2(巴>一。(3)2+2］=e，而2<a<3,所以刍 即般一根的3 3 3 27 2727O取值范围是(苏,1)O综上得M-m的取值范围是［药,2).【点睛】(1就是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，由计算量补充.r2 121已知曲线C：J=L,。为直线,『一7上的动点，过D作c的两条切线，切点分别为4B2 2<1)证明：直线回过定点：<2)若以醺0,9为圆心的圆与直线相相切，目切点为线段力8的中点，求四边形4D8E的面积【答案】(1)见详解；(2)3或4应

【解析】【分析】（1）可设H（再,必），E（m，m），然后求出A,B两点处的切线方程，比如㈤：必+；=玉（再-f）,又因为BD也有类似的形式,从而求出带参数直线AB方程，最后求出它所过的定点.<2）由（1）得带参数的直线力8方程和抛物线方程联立，再通过M为线段月8的中点，戢，渣得出七的值，从而求出M坐标和|瓦图的值，4,dg分别为点。，后到直线幺8的距离，则4=〃+1,4=〃+1,d2= _结合弦长公式和韦达定理代人求解即可【详解】（而明：设网,一；）/（公，必）贝」必=!再：又因为，=，所以v=x则切线da的斜率为々,故M+J=X1（X1T），整理得2%-2乃+1=0.设8®,为），同理得2包-2%+1=0.451，M）,85,匕）都满足直线方程2枕-2^+1=0.于是直线2状-2y+1=0过点A,B,而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2/x-27+1=0.gp2/x+（-2/+l）=0,当2x=0「2_y+1=0时等式恒成立.所以直线AB恒过定点（0,；）.<2）由（D得直线的方程为y="+g.,1y=ix+2由（2 ,可得/一2次-1=0,Xy=一12于是公+/=2九五勺=-1,必+%="々+々）+1=2尸+1|AB|= g-勺1=J1+P/（々+叼）2-4工尼=2（/+1）.

2

S+1设4,d?分别为点。出到直线力8的距离，则&="??，d2=因此，四边形ADBE的面积S=2

S+1设M为线段AB的中点，则_*UJMU^»UU L、, / 2c\SUUM, , - 、一/ /“、・ f2c\ /X4/o .、由于&M_L工B,而£M=（次-2）, 与向蚩（口）平行，所以£+（£-2），=0,解得z=0或公土1.当£=0时，S=3；当f=±l时s=4近因此，四边形QBE的面积为3或4尤【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小.(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题申任选T作答，如果多做，则按所做的第一题i诊选修4Y：坐标系与参数方程.如图，在极坐标系&中，42,0),E“吟，争，a2,明弧轴，耽,电)所在圆的圆心分别是(L0),。令，(L叽曲线弧是弧淞，曲线的是弧死，曲线电是弧如.<1)分别写出龙\,电,破3的极坐标方程，(2)曲线附由可1，M2,可3构成，若点F在M上，旦|。尸|=的，求F的极坐标.【答案】⑴Q=2cos改ew[05D,Q=2sineq,手D,"=-2cos16e[牛,”D,(2)(戊今，函g),(的刍,(屈当.6J3 6【解析】【分析】(H与三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中。的取值范围(犷艮据条件p=3逐个方程代入求解，最后解出P点的极坐