2019年数学教师资格考试数学学科知识与教学能力资料

2019年11月教师资格考试数学学科知识与教学能力学习数学某个方面必要性：科技发展，行业应用，基本素质，时代要求。学习数学某个方面可能性：已具有运算知识，生活相关，计算机不陌生，具有一定分析/推理等能力。初中数学常用的数学思想：划归与转化思想（乘法转化为加法，复杂问题转换为简单，逆运算，已知ab和a+b,求三+三=要）；分类思想（一个标准）；数形结合思想；特殊与一般bbba思想（类比，归纳，演绎）；有限与无限思想；随机与必然思想；函数与方程思想。推理方法：演绎（一般到特殊。由已知定理，性质推出特殊的事物），归纳（个别到一般）,类比（特殊到特殊，由两个事物的某些相同属性推理出其他属性也相同）推理能力：通过观察实脸类比等获得数学信息，进一步寻求证据，给出证明或者反例，能清晰逻辑的表达自己的思考过程，言之有理；交流时能用数学语言合乎逻辑的讨论和质疑。综合证明法：已知定理调节，推断结论P-Q1-Q2例如证明a和b平方和大于2abo尺规作图要求：直尺和圆规与现实并非完全相同，带有想象性质。直尺没有限度，无限长,没有刻度，只能连接两个点。圆规可以展开无限宽，没有刻度，只可以构造之前构造的长度。几何研究方法：综合几何方法，解析几何方法，向量几何方法，函数方法。综合几何方法：利用已知基本图形性质研究复杂图形性质，基本图形的转化，平移，对称的手段。解析几何：笛卡尔、费马。由代数方法研究几何对象关系和性质，坐标几何。向量几何：用向量来讨论空间平面和几何问题古希腊三大问题，19世纪被证明是不可能用尺规完成的。立方倍积问题：求做立方体的体积是已知立方体两倍的边长。化圆为方问题：圆面积=方面积，画方3)三等分南50m围长方形，面积最大的。讲解的层次。1)理解题目，提出策略，进行画图2)列举满足条件的特殊值，列表排序找规律给予验证鼓励发现和提出一般性问题，例如长宽变化不限于整数命题引入方式1)观察实验2)观察归纳3)实际需要4)矛盾5)加强或者削弱条件引入数学题目函数单调性：a>b,f(a)>f(b);或者使用导数是否大于0;函数奇偶性在X。导数的意义：斜率，对应的切线方程y-yo=f'(xo)X(x-xo)S=£an收敛半径r=|a(n+1)/a(n)I,a(n)不是1/n形式都收敛常见函数导数:(Xn)'=nX"'(a*)'=a*Ina(fg)'=fg'+f'g洛必达法则：分子分母的值趋于无穷大或者。，则极限怒=需鬻求最大值，则找导数为。的。柯西不等式:(ax+by)2>(a2+b2)(x2+y2)(x+y)2>2xy连续：对于任意8>0,存在£>0,x-xo<£,存在fx-fx0<6离散事件，a1,a2,an.每次事件等于ai的榻率pi。数学期望E。离散事件，a1,a2,差为：2；=o(ai_E)2pi连续：既证明千(x)=f(xO)在x趋向xo。既相减绝对值为0可导：首先证明存在，第二x趋向X。正和负的时候，分别导数等于xo导数拉格朗日中值定理：ab区间连续可到，f(a)=f(b)中间一定有一个点导数为0利用拉格朗日中值定理解题：构造函数g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)。g(a)=g(b)=0罗尔定律：函数连续可导，有两个x的值相等，这两个x中间有一个点导数为0证明导数=某个值的都可以使用这个变换的定律完成证明f(x)在某个域可导连续。f(1)=f(0)+2,证明存在f(x)导数=2取F(取=f(x)—2x,连续可导。则F(O)=f(O)。F(1)=F(1)-2=f(0)=F(0)根据罗尔定律存在F(x)的导数为0拉格朗日微分中值定理4)函数在闭区间连续，开区间可导，则存在ab区间的数使期导数等于v=f(b)-f(a)/(b—a)5)利用罗尔定理证明。定义g()=f—f(a)—v(x-a)同样可以利用fx为F(x)的导数，找到和题目形式为f(x),对应的F(x),证明出F有两个不同的x值的y值相等，则f(x)=0肯定有根F(x,y)是线性空间的证明1)唯一性：f(x,y)唯一2)封闭性：交换律，存在零元素X+Q=X;负元素T-T=Q,这里Q可以表示任意符合f(x,y)中的东西，例如1/X;结合律；恒等率，找到一个“1”的表达式使“1”*f(x,y)=f(x,y)等比娄攵列才口Sn=a1(a-qn)/(1-q)空间站点到面Ax+By+Cz+D=O的距离|AxO+ByO+CzO+D|4-J(AA+BB+CC)F(x,y)在Ax+b变换下的方程。[yJ]=A[y]+b»解除x1与x的关系式将X=g(x1)带入f(xy)求出变换方程工不收敛。S(2n)-S(n)的极限是0.5不是0k=0nX1+ax2+bx3+dx4=0通解列矩阵，化为最小秩矩阵

列方程，取值解除基础解系a1,a2通解x=k1a1+K2a2选择合适的方式变异系数：便准差/均值。哪个越小，分布约集中。便准差等于方差开根号。38分钟内送到，选一个。哪个概率高选哪一个。正态分布P(t<38)=P正态分布P(t<38)=P(霏<竽箸)=。0标准差标，隹差38一期望标准差•)o这个值越大，概率越高.0为标准正态分布函数离散分布：方差D=ss=ZPi(xi-E)2„期望E=ZPiXi/n。s为标准差AB不相关。P(AB既两个都发生的概率)=P(A)P(B)

120[121]=A求Aa属于r3的正交基341初等变换看秩是几，就选几个不同的a。这里是2A1=[1,1,3]TA2=[2,2,4]T施密特正交化:5)B1=A16)B26)B2=A2Bl7)如果有B3=A3(A3.B1)di7)如果有B3=A3D■! D乙(B1.B1) (B2.B2)甲乙两个队，甲3个红色球，乙6个球，三红三绿，乙里面随便拿三个与甲组成丙，从丙里选三个球，第一个是绿色的概率是多少？第一：乙选3个可能有绿色1,2,3概率分别为绿色1个：警福绿色2个:管与绿色3个:］得第二：混合后里面分别可能有1,2,3个绿。第一个是绿的概率分别混合后有一个，第一个为绿：-6混合后有2个，第一个为绿：-6混合后有3个，第一个为绿：-6第三：最终概率：福+箱子里20个，含0,1,2残次品概,率0.8,0.1,.0.095.顾客随便抽四个，没有残次品就买下。买下箱子的概率。买下后无残次品概率。买下概率：无残次品买下。0.8.有一个没有抽到买下：0.1X为o

c)有2个没有抽到买下：0.095X乐则买下概率为上面三个加起来。0.94买下后无残次品概率极为第一种情况。那么就是0.84/0.942-).o峰值就是均数量。对正态分布也叫高斯分布。标准正态分布，平均数为0,标准差为1.可2-).o峰值就是均数量。对X(x-u)。来变换为正态分布。其概率密度函数为：f=N=eJ2noP(|x-u|<o)=20(1)-1P(|x-u|<2a)=20(2)-1a>0:P(x_u<a)二。(a/o);P(x-u>a)二1一。(a/a)a<0:P(x-u<a)=1-0(|a/o|);P(x-u>a)=$(|a/a|)f(x)密度图:f(x)密度图:概率密度图。其积分为。(X),为概率。。(X)=£0f(x)dx标准正态分布全部积分为1.知道三点abc求面：面方程Ax+By+Cz+D=0带入求。Ab向量=ai+bj+ckAc向量=oi+mj+nk1Jk面法向向量：AbXAc=|abc|=si+rj+tkomn面方程s(x-xO)+r(y-yO)+t(z-zo)=0Sin(a+b)=sinaXcosb+cosaXsinbCos(a+b)=cosaXcosb-sinaXsinb正弦定理：a/sina=b/sinb=c/sinc=2R外接圆半径三角形中：abc变成的关系和对应的sin角度关系对应，例如sinA=sinB*sinCo对应a=bc余弦定理：aa=bb+cc-2sinAbca.b=|a||b|cos<a,b>=xa*xb+ya*yb点乘是余弦，是一个教|aXb|二|a||b|sin<a,b>X乘是正弦，ab组成的平行四边形面积，方向为从a到b的右手螺旋，是一个矢量Ab向量平行，则xa*yb+ya*xb=0,两个斜率相等，垂直xa*xb+ya*yb=0,斜率相乘二T点到线的距离d=|Axo+Byo+C|/，AA+BB,点（xo,yo）面Ax+BY+C=0椭圆:aa=bb+cc,离心率e=c/a小于1双曲线：cc=aa+bb,离心率大于1,渐近线：y=bx/a抛物线yy=2px,焦点（p/2,0）准线x=-p/2抛物线点到焦点和准线距离相等二x+p/2过抛物线焦点弦长：x1+X2+p证明平行方法：三角形中位线，平行四边彩。证明平面平行：面内对应两个交线平行证明直线与面垂直：直线与面内俩交线垂直圆锥侧面积：n”，r为底面半径，I为斜边球体体积4Flrrr/3面积4nrr循环小数化分数0.31,其中31循环0.3iX100=31.3i31.31-0.31=31=99X0.31泰勒展开y2y3v4 ynex=1+x+-+-+-+ 々+oX)TOC\o"1-5"\h\zv2v3v4 vn+lln(1+x)=X-y+y-^-+ +(-l)n^-+o(xn+1)X趋向与0,ln(1+x)的极限=xI r——=1+x+X2 +xn4-o(xn)l-x(1+X)"=1 + n(n-l＞：(n-m+l)xm +。州)v3v5„7 v2n+l --sinx=X-+--- +(-l)n--+o(x2n+2)X趋向与0,sinx的极限=x3! 5! 7! ' '2n+l! ' 'cosx=1-+--- +(-l)n—+o(x2n+1)2! 4!6! ' '2n! ' 1矩阵相似：所有特征值相同A=（T'BC矩阵合同：A=CtBCo等秩，正负惯性指数相同（特征值正负的个数）X2/a2+Y7b2+z7c2=1:椭球X7a2+Y7b2-z7c2=1：单叶双曲线X2/a2-Y7b2-z7c2=1双叶双曲线图形与几何的九条基本事实1)两点之间直线最短两点确定一条直线过一点有且只有一条直线与这条直线垂直过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，平行两边及两夹角相等的三角形全等7)两角及夹角边相等的三角形全等8)三边相等的三角形全等9)两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例基a1,a2,a3,a4到基b1,b2,b3,b4的过渡矩阵。A=[a1,a2,a3,a4]A=QB,可求出A过渡矩阵。一组基X在后一组基丫的坐标：X=AY«进一步求出丫=A(T)X的表达式，就是坐标。两个基相同坐标向量，那么丫=X=A(-1)X,可解得X的特殊值x1,x2,x3,x4前面成立则后面一定成立是充分条件；后面成立前面一定成立是必要条件。初中数学代数知识点总览：数的分类；数轴；绝对值；几个非负数；整数指数幕；一元一次方程；一元二次方程；分式方程；二元一次方程组。一、数的分类其中：有理数(即可比数)即有限小数或无限循环小数；无理数即无限不循环小数。二、数轴(1)三要素：原点、正方向、单位长度。(2)实数数轴上的点。(3)利用数轴可比较数的大小，理解实数及其相反数、绝对值等概念。三、绝对值(1)几何定义：数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做。⑵代数定义：=四、相反数、倒数(1)a,b互为相反数a+b=O(或a=-b);(2)a、b互为倒数a•b=1(或a=).五、几个非负数NO;a》0；(3)20(a》0)。(4)若几个非负数之和为0,则这几个非负数也分别为0.(1)an叫做a的n次幕，其中，a叫底数，n叫指数。⑵若x=a(a'O),则x叫做a的平方根，记做土；算术平方根记做。(3)若x=a,则x叫做a的立方根，记做。因此=a(4)算术平方根性质:①（）=a（a>0）;③（a20,b>0）;④（a，0,b>0）.八、运算顺序:.不同级：高T低(先乘方和开方，再乘除，最后加减).有括号：里T外(先去小括号、再去中括号、最后去大括号)九、运算律:十一、a>0①(-a)2n+1=-a2n+1②(-a)2n=a2n十二、有理式（1）有理式（2）乘法公式平方差：(a+b)(a—b)=a2-b2完全平方：(a±b)2=a2±2ab+b2⑶分式的基本性质:=（用于通分）二（用于约分）（m丰0）十三、整数指数森（1）零指数标a0=1（aW0）;负指数赛a-n=（a#=0,n为正整数）；（2）幕的乘方：①aman=am+n（a>0,m、n为整数）；②(am)n=amn(a>0,m、n为整数)；③(ab)n=anbn(a>0,b>0,n为整数)。第二章方程与不等式一、一元一次方程(1)一元一次方程：变形后可化为ax=b(a*O)的形式，它的解为x=。(2)解一次方程的一般步骤：①去分母;②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为二、一元二次方程(1)一元二次方程：变形后可化为ax2+bx+c=0(a=#0)的形式,它的根为x=