平面向量位置关系问题的解法

平面向量位置关系问的解法【知识要点】一、向量的关系平行向量（共线向量向相等或相反的向量，叫平行向量.由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向.共线向量不一定在一条直线.相等向量的定义：长度相等方向相同的向量叫做相等向.相反向量的定义：长度相等方向相反的向量叫做相反向.二、向量的数乘（1）定义：求实数与向量

r

的乘积的运算叫向量的数乘，记作

r

.（2）向量的数乘结果还是一个.rr当时，与的向相同，且

rr

；当

时，

r

与

r

的方向相反，且

rr

.rrr三、向量共线定理:如向量为零的向量，那么向量b与向a共有且只有一个实数，得rrrrb0)；四、两个向量平行（共线）的充要条件rrrr（1）如果，Pb的要条件是有且只有一个实，得

rrb

（没有坐标背景.（2）如果

ra

=

,y11

,

rb

=

x,)2

，则

||

的充要条件是

xyy01

(坐背景如

rrrOA(,则AB1212

三点共线.反来，该结论也成.(注rrrOA

的起点必须相同五、两个向量垂直的充要条件rrrr（1）aag没有坐标背景）rrrr（2）设a=(x,y,=(x,，xy1122

（(坐标背景.【方法讲评】方法一使用情景

利用两个向量平行或垂直的充要条件（没有坐标背景）已知条件没有涉及坐.解题步骤

直接证明

rrrrrrb(a或agb【例1】设非零向量和b不线，如果＝＋b，＝3（－b

，求证：

、、

三点共.【点评】向量里证明A,B

三点共线一般分两步证明）证明

rr

(或

r

)；(2)说明两个向量有公共点

.其中第二步是不能省略的，因

rr

只能说明AB

平行或重合所必须加上第2步能明它们三点共.【反馈检测1】设

、

是两个不共线的非零向量（

tR

）（1）记OAaOBtb,

a),

那么当实数t为值时，

、

三点共线？（2）若

|b|a夹角么实数

为何值时

的值最小？【例2】已知PQ过角形OAB重心G，且P、Q别在、OB上设rrrr,mOB,

1则的为.mrrr【点评如点G是角形OAB的心，O

.这个论大家可以自己证明并把1它记下来，在客观题题中熟练运.（2要求G、Q三点共线可以找到等.学.

的值，要从已知条件中寻找等式，本题中从图形P、【反馈检测2】如图，在平行四形中，M、分是ABAD上的点，且rrAM,AD,

r连接、MN交于点点若APAC，则的为（）A

633D13方法二使用情景

利用两个向量平行或垂直的充要条件（坐标背景）已知条件涉及坐.解题步骤

直接证明

xyy0或y0112

.【例3】已

r

,

,当

为何值时，（1）

rrka

与

rrab

垂直？（2）

rrb与b

平行？平行时它们是同向还是反向？rr【点评果=(x,y,b=x)则||11

rrxyy0和bxy121是判定平面向量位置关系的两个重要结.（2如果

rra，当时两个向量同，当，两个向量方向相.rrr【反馈检测3】已知向量(3,OC,))

.(1)若点

、、

不能构成三角形，求实数

应满足的条件；(2)若

为直角三角形，求实数

的值．参考答案【反馈检测1答）明见后面解析

时axb最小值

【反馈检测2答】rr【反馈检测2详解析】QAP)AMAN)因为

P、

三点共线，所以

3选2【反馈检测3答）m

5；）m或或.2【反馈检测3详解析】(1)已知量

rOAOC(5,))

.若点

、、

不能构成三角形，则这三点共线，∵

rAB

，

r(2)

，故知3(1)2

，∴实数

时，满足条件．(2)由题意，

ABC

为直角三角形，①若A

为直角，则

rrABAC

，∴3(2)(1)

，解得

m

.②若

为直角，