机械工程控制基础-系统的时间响应

第3章系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法之一。2.典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。

典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的时间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。

因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓系统的时间响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；本章主要内容∶首先来分析最简单的振动系统，即无阻尼的单自由度系统。如图3.1.1所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统在外力Fcost的作用下，系统的动力学方程为3.1.1:图3.1.1单自由度的m-k系统（3.1.1）3.1时间响应及其组成这一非齐次常微分方程的完全解由两部分组成：式中，是齐次微分方程的通解；是其一个特解。由理论力学与微分方程中解的理论知：式中，，为系统的无阻尼固有频率。将式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有化简得，式中于是，式（3.1.1）的完全解为（3.1.2）（3.1.3）（3.1.4）（3.1.5）（3.1.6）求解常数A与B：将上式对t求导，有设时，，代入式（3.1.6）与（3.1.7），联立解得：代入式（3.1.6），整理得通解：

第一、二项:初始条件（初始状态）引起自由响应，第三项:作用力引起的自由响应，其振动频率均为

，幅值受到F的影响。第四项:作用力引起的强迫响应，其振动频率为作用力频率.（3.1.7）（3.1.8）自由响应强迫响应零输入响应零状态响应零输入响应（“初态”引起的自由响应）是输入信号为零，仅由系统的起始状态作用所引起的响应.为齐次方程零状态响应（仅由输入引起的响应）是系统的起始状态为零，即系统的起始贮能为零时，仅由激励信号作用所引起的响应.

为非齐次方程控制工程主要研究:零状态响。系统的时间响应分类:振动性质分类:自由响应强迫响应振动来源分类:零输入响应零状态响应一般的情况，设系统的动力学方程为：方程的解（时间响应）为通解（即自由响应）与特解（即强迫响应）所组成，若式（3.1.9）的齐次方程的特征根各相同，则而又分为两部分，即

第一项:初态引起的自由响应；第二项:输入x(t)引起的自由响应，（3.1.9）（3.1.10）（3.1.11）全解:其中:n和si只取决于系统的结构与参数。当输入函数有导数项:方程为：利用线性原理:利用方程(3.1.9)的解(3.1.12),可分别求出作用时的响应函数，然后叠加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系统的响应函数。传递函数(初态为零)求解:Laplace逆变换就是系统的零状态响应。（3.1.12）（3.1.13）自由响应强迫响应零输入响应零状态响应若所有的，自由响应随着时间逐渐衰减,当时自由响应则趋于零,系统稳定,自由响应称为瞬态响应.

反之，只要有一个，即传递函数的相应极点在复数[s]平面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当时，自由响应也趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。

瞬态响应稳态响应:指强迫响应。稳态响应稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。

的正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定；

为负时,其绝对值的大小:决定自由响应衰减速度，及系统响应趋于稳态响应的速度；

:决定自由响应的振荡情况，决定系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，影响响应的准确性。系统稳定性、响应快速性、响应准确性确定性信号号：变量和自变变量之间的的关系能够够用一确定定性函数描描述。非确定性信信号则反之，变变量与自变变量之间的的关系是随随机的，只只服从某些些统计规律律。分析和设计计系统:采用典型输输入信号，，比较其时时间响应。。任意输入信信号的时间间响应:利用系统对对典型输入入信号的响响应，由关关系式或（（*表表卷积），，就能求出出。3.2典型输入信信号确定性信号和非确定性信号:输入信号：：正常工作输输入信号；；外加测试试信号;单位脉冲函函数、单位位阶跃函数数、单位斜斜坡函数、、单位抛物物线函数、、正弦函数数和某些随随机函数。。a单位脉冲函函数b单位阶跃函函数c单位斜坡函函数d单位抛物线线函数e正弦函数f随机函数图3.2.1典型输入信信号单位阶跃函函数:其导数为零零，对控制制系统只给给出了位置置，故称位位置输入信信号；单位斜坡函函数:其导数为常常数，一般般称为恒速速输入信号号或速度输输入信号；；单位抛物线线函数:其二次导数数为常数，，称为加速速度输入信信号。下面分析一一阶与二阶阶系统对单单位脉冲与与单位阶跃跃函数的时时间响应一阶微分方方程描述的的系统称为为一阶系统统，其微分分方程和传传递函数的的一般形式式为：T称为一阶系系统的时间间常数，它它表达了一一阶系统本本身的与外外界作用无无关的固有有特性，亦亦称一阶系系统的特征征参数。3.3一阶系统输入信号是是理理想的单位位脉冲函数数时时，，系统输出出称称为单位脉脉冲响应函函数或简称称为单位脉脉冲响应，，记为而所以单位脉冲响响应函数:系统传递函函数的Laplace逆变换，即即所以（3.3.1）3.3.1一阶系统的的单位脉冲冲响应w(t)只有瞬态项项，而B(t)为零。由式式(3.3.1)可得表3.3.1

t

0

T

2T

4T

0

0表3.3.1一阶系统的的单位脉冲冲响应函数数是一个单单调下降的的指数曲线线。过渡过程：：将指数曲衰衰减到初值值的2%之前的过程程定义为过过渡过程，，相应的时时间为4T。称此时间间为过渡过过程时间或或调整时间间，记为ts。系统的时间间常数T愈小,愈短,系统的惯性性愈小，反反应的快速速性能愈好好。脉冲响应形形式类似与与零输入响响应。实际脉冲信信号:具有一定的的脉冲宽度度和有限的的幅度的来来代替理想想的脉冲信信号,脉冲宽度与与系统的时时间常数T比，一般为为:输入信号为为单位阶跃跃函数时，，即响应函数的的Laplace变换式为：：其时间响应应函数[记为]为：由式（3.3.2）和式（3.1.12）可知，中中是是瞬瞬态项，1是稳态项B(t)（3.3.2）3.3.2一阶系统的的单位阶跃跃响应

t

0

0

T

0.632

2T

0.865

4T

0.982

1

0由式（3.3.2）可得表3.3.2和图3.3.2表3.3.2如图3.3.2所示，式（（3.3.2）表示的一一阶系统的的单位阶跃跃响应是一一条单调上上升指数曲曲线，稳态态值为。。曲曲线有两个个重要的特特征点。A点：其对应的时时间t=T时，系统的的响应达达到了稳稳态值的63.2%；零点：其对应的t=0时，的的切线斜斜率（响应应速度）等等于1/T。指数曲线的的斜率，即速率是是随时间间t的增大而单单调减小的的，当t为时时，其响响应速度为为零；当时时，，响应已达达到稳态值值的98%以上，过渡渡过程时间间时间常数T反映了固有有特性，其值愈小小，系统的的惯性就愈愈小，系统统的响应也也就愈快。。输入单位阶阶跃信号，，并测出它它的响应曲曲线，及稳稳态值；；从响应曲线线上找出0.632（即特征点点A）所对应的的时间t,或t=0点的切线斜斜率;参考式（3.3.1）求出，，或或者，由单单位阶跃响响应，，根根据关系；；求得；；由求求得得。。实验法求一一阶系统的的传递函数数1234式中，为为无阻阻尼固有频频率；为阻阻尼比。显显然与与是是二阶系系统的特征征参数，表表明了二阶阶系统本身身与外界无无关的特性性。由式（3.4.2）可见，随随着阻尼比比ξ取值的不同同，二阶系系统的特征征根也不同同。（3.4.1）（3.4.2）3.4二阶系统二阶微分方方程描述的的系统称为为二阶系统统：二阶系统的的特征方程程：由此得两个个特征根为为（1）当0<ξ<1时，特征根为为共轭复数数一对位于复复数[s]平面的左半半平面内的的共轭复数数极点，系系统为欠阻阻尼系统。。（2）当ξ=0时，两特征根根为共轭纯纯虚根，即即系统为无阻阻尼系统。。（3）当ξ=1时，特征方程程有两个相相等的负实实根，即系统为临界界阻尼系统统。（4）当ξ>1时，特征方程程有两个不不等的负实实根系统为过阻阻尼系统。。过阻尼二阶阶系统：传递函数可可分解为两两个一阶惯惯性环节相相加或相乘乘,因此可视为为两个一阶阶环节的并并联，也可可视为两个个一阶环节节的串联。。临界阻尼的的二阶系统统：传递函数可可分解为两两个相同的的一阶惯性性环节相乘乘,但考虑负载载效应,是不能等价价为两个相相同的一阶阶惯性环节节串、并联联。特殊情情况下，有有可能等价价为两个不不同的一阶阶惯性环节节串联。输入信号是是理想的单单位脉冲函函数时时，，系统的输输出称称为单单位脉冲响响应函数，，特别记为为。。对于二阶阶系统，因因为而所以同样有：记，，称称为为二阶阶系统的有有阻尼固有有频率。(3.4.3)3.4.1二阶系统的的单位脉冲冲响应（1）当0<ξ<1，欠欠阻阻尼尼系系统统时时，，由由式式（（3.4.3）可可得得（2）当ξ=0，系系统统为为无无阻阻尼尼系系统统时时，，由由式式（（3.4.3）可可得得（3）当ξ=1，系系统统为为临临界界阻阻尼尼系系统统时时，，由由式式（（3.4.3）可可得得(3.4.4)(3.4.5)(3.4.6)（4）当ξ>1，系系统统为为过过阻阻尼尼系系统统时时，，由由式式（（3.4.3）可可得得由式式（（3.4.7）可可知知，，过过阻阻尼尼系系统统w(t)可视视为为两两个个并并联联的的一一阶阶系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应函函数数的的叠叠加加。。当取取不不同同值值时时，，二二阶阶欠欠阻阻尼尼系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应如如图图3.4.2所示示。。(3.4.7)欠阻阻尼尼系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应曲曲线线:减幅幅的的正正弦弦振振荡荡曲曲线线。。ξ愈小小，，衰衰减减愈愈慢慢，，振振荡荡频频率率愈愈大大。。故故欠欠阻阻尼尼系系统统又又称称为为二二阶阶振振荡荡系系统统，，其其幅幅值值衰衰减减的的快快慢慢取取决决于于称称为为时时间间衰衰减减函函数数，，记记为为σ。3.4.2二阶系统统的单位位阶跃响响应若系统的的输入信信号为单单位阶跃跃函数，，即则二阶系系统的阶阶跃路应应函数的的Laplace变换式为为：（1）当0<ξ<1，系统为欠欠阻尼系系统时，，由式（（3.4.8）有或式（3.4.10）中的第第二项是是瞬态项项，是减减幅正弦弦振荡函函数，它它的振幅幅随时间间t的增加而而减小。。（3.4.10）其响应函函数讨论论如下：：（2）当ξ=0，系统为无无阻尼系系统时，，由式(3.4.9)可知（3）当ξ=1，系统为临临界阻尼尼系统时时，由式式（3.4.8），有其响应的的变化速速度为：：由此式可可知：当当t=0时，时时，，，，，，这这说明过过渡过程程在开始始时刻和和最终时时刻的变变化速度度为零，，过渡过过程是单单调上升升的。(3.4.12)（4）当ξ>1，系统为过过阻尼系系统时，，由式（（3.4.8）有式中，(3.4.13)计算表明明，当ξ>1.5时，在式式（3.4.13）的两个个衰减的的指数项项中，的的衰衰减比的的要快得得多，因因此，过过渡过程程的变化化以项项其主要要作用。。从S平面看，，愈靠近近虚轴的的根，衰衰减越慢慢，对过过渡过程程影响愈愈大，起起主导作作用。式（3.4.10）～式（（3.4.13）所描述述的单位位阶跃响响应函数数如图3.4.3所示。二阶系统统的单位位阶跃响响应函数数过渡过过程特性性0<ξ<1:为衰减振振荡，随随着阻尼尼的减小小，振荡荡愈加强强烈；ξ=0:等幅振荡荡；ξ=1和ξ>1时:单调上升升。过渡过程程的持续续时间：：无振荡单单调上升升的曲线线：ξ=1时的时间间t最短；在欠阻尼尼系统中中，当ξ=0.4~0.8时，时间间比ξ=1时的更短短，而且且振荡不不太严重重。设计：二阶系统统一般工工作在ξ=0.4~0.8的欠阻尼尼状态。。保证振振荡适度度、持续续时间较较短。特征参数数与与ξ值决定定瞬态态响应决决定定过渡渡过程。。在根据给给定的性性能指标标设计系系统时，，将一阶阶系统与与二阶系系统相比比，通常常选择二二阶系统统，这是是因为二二阶系统统容易得得到较短短的过渡渡过程时时间，并并且也能能同时满满足对振振荡性能能的要求求。3.4.3二阶系统统响应的的性能指指标考虑：①产生阶阶跃输入入比较容容易，而而且从单单位阶跃跃响应也也较容易易求得任任何其它它输入的的响应；；②在实实际中，，许多输输入与阶阶跃输入入相似，，而且阶阶跃输入入又往往往是实际际中最不不利的输输入情况况。因此:性能指标标以系统统对单位位阶跃输输入的时时域响应应量值给给出。因为：无振荡的的单调过过程的过过渡时间间太长，，故除了了那些不不允许产产生振荡荡的系统统外，通通常都允允许系统统有适度度的振荡荡，以获获得较短短的过渡渡过程时时间。所以：在设计二二阶系统统时，常常使系统统在欠阻阻尼（通通常取））状态态下工作作。有关二阶阶系统响响应的性性能指标标的定义义及计算算公式除除特别说说明者外外，都是是针对欠阻尼二二阶系统统而言的；；更确切地地说，是是针对欠阻尼二二阶系统统的单位位阶跃响响应的过渡过过程而言言的。欠阻尼二二阶系统统的单位阶阶响应的的过渡过过程的特特性，通通常采用用下列性性能指标标（见图图3.4.4）描述:（1）上升时时间（2）峰值时时间（3）最大超超调量（4）调整时时间（5）振荡次次数N响应曲线线从原工工作状态态出发，，第一次次达到输输出稳态态值所需需的时间间定义为为上升时时间（对对于过阻阻尼系统统，一般般将响应应曲线从从稳态值值的10%上升到90%所需的时时间称为为上升时时间）。。欠阻尼二二阶系统统（）），阶跃跃响应为为：根据定义义，时时，由由式（（3.4.9），得考虑故有令得得(3.4.9)1.上升时间tr因为上升升时间是是第第一次次到达输输出稳态态值的时时间，故故取即由关系式式，，当增增大，，就就增大。。(3.4.14)2.峰值时间tp响应曲线线达到第第一个峰峰值所需需的时间间定义为为峰值时时间，将将式（3.4.9）对时间间t求导数，，并令其其为零，，便可求求得峰值值时间即即由整理得因此(3.4.15)由定义取取因此因为最大大超调量量发生在在峰值时时间，时时，，故将式式（3.4.9）与代代入入式（3.4.16），可求求得：可见峰值值时间是是有阻尼尼振荡周周期的的一半半，另外外，由关关系式及式（3.4.15）可知:当ξ一定时，，增增大，就就减小小;当一一定时时，ξ增大，就就增大大，此情情况与的的相相同。3.最大超调量Mp最大超调调量定义义，即(3.4.16)式中，为为指定定微小量量，一般般取。。式式(3.4.18)表明,在之之后，系系统的输输出不会会超过下下述允许许范围：：超调量只只与与阻尼比比ξ有关，而而与无阻阻尼固有有频率无无关。。所以，，的的大小小说明系系统的阻阻尼特性性。当系系统阻尼尼比ξ确定后,即可求得得与其相相对的超超调量；；反反之,如果给出出了系统统所要求求的，，也也可由此此确定相相应的阻阻尼比.当ξ=0.4～0.8时,相应的超超调量。。4.调整时间ts在过渡过过程中，，取取的值值满足下下面不等等式时所所需的时时间，定定义为调调整时间间。。不等式为为(3.4.18)由于所所表示示的曲线线是式（（3.4.20）所描述述的减幅幅正弦曲曲线的包包络线，，因此，，可将由由式（3.4.20）所表达达的条件件改为：：解得将式（3.4.10）代入式式（3.4.19），得又因此时时因此(3.4.19)(3.4.20)(3.4.21)若取得得若取得得当时时，，可分别别将式（（3.4.22）和式（（3.4.23）近似取取为：与ξ之间的精精确关系系，可由由式（3.4.20）求得，，为为最小小；当为为最小，，在设计计二阶系系统时,一般取作作为为最佳阻阻尼比。。此时不不仅小小，，而且起起调量也也不大大，取的的另另一理由由将在4.2节中说明明。（3.4.22）（3.4.23）具体设计计：根据最大大超调量量的的要求求，确定定阻尼ξ，所以调调整时间间主主要是根根据系统统的来来确定的的。由此可见见，二阶阶系统的的特征参参数决决定系系统的调调整时间间和和最大大超调量量；；反过来来，根据据对的的要要求，也也能确定定二阶系系统的特特征参数数。。在过渡过过程时间间内内，，穿穿越越其稳态态值的的次数数的一半半定义为为振荡次次数，从从式（3.4.10）可知，系系统的振荡荡周期是所所以其振荡荡次数为：：因此，当时时，由与与，，得当时时，由与与，，得从式（3.4.25）和式（3.4.26）可以看出出，振荡次次数N随着ξ的增大而减小，它的的大小直接接反映了系系统的阻尼尼特性。（3.4.24）（3.4.25）4.振荡次数N（3.4.26）（1）要使二阶阶系统具有有满意的动动态性能指指标，必须须选择合适适的阻尼比比ξ和无阻尼固固有频率。。提高，，可以提提高二阶系系统的响应应速度，减减少上升时时间、、峰峰值时间和和调整时间间；；增大大ξ，可以减弱弱系统的振振荡性能，，降低，，减小N，但增加上上升时间和和峰值时间间。。一般情况下下，系统在在欠阻尼状状态下下工作作，通常根根据允许的的超调量来来选择阻尼尼比ξ.（2）系统的响响应速度与与振荡性能能（稳定性性）之间是是存在矛盾盾的。要兼兼顾系统的的振荡性能能和响应速速度，就要要选取合适适的ξ和值值。由以上讨论论，可得如如下结论：：【例1】设系统的方方框图为图图3.4.5，其中，，。。当有一一单位阶跃跃信号作用用于系统时时，求其性性能指标和和。。3.4.4二阶系统计计算举例解（1）求。。故由式（3.4.15），得（2）求。。由式（3.4.17）得（3）求。。由式式（3.4.22）与式（3.4.23）的近似式式，得图3.4.5例1框图解由图3.4.6(a)可知，是是阶跃力输输入，＝＝8.9N，是是输出位位移。由图图3.4.6(b)可知系统的的稳态输出出＝＝0.03m，＝＝0.0029m，，，此此系统的传传递函数显显然为：【例2】如图3.4.6(a)所示的机械械系统,在质量为m的质块上施施加的的阶跃力后后，质块的的时间响应应如如图3.4.6(b)所示，试求求系统的m、k和c值。式中：（1）求k。由Laplace变换的终值值定理可知知：而＝＝0.03m，因此k＝297N/m.。其实，根据据Hooker定律很容易易直接计算算k。因为即即为静变形形，即即可视视为静载荷荷，从而有有即得（3）求c。由，，求得（2）求m。由式（3.4.16）得又由式（3.4.17）求得。。将代代入中中，，得。。再由求求得m＝77.3kg。【例3】有一位置随随动系统，，其方框图图为图3.4.7(a)。当系统输输入单位阶阶跃函数时时，。。

（1）校核该系系统的各参参数是否满满足要求；；

（2）在原系统统中增加一一微分负反反馈，如图图3.4.7(b)所示，求微微分反馈的的时间常数数。。解(1)将系统的闭闭环传递函函数写成如如式（3.4.1）所示的标标准型式：：对照式（3.4.1），可知此此二阶系统统的和和。。将将ξ值代入式（（3.4.17）得但但，，故不能能满足本题题要求。(2)图3.4.7（b）所示系统统的闭环传传递函数为为：为了满足条条件：，，由由式（3.4.17）算得。。现因，，而而，，从而而求得。。从此题可以以看出，如如第二章所所讲，当系系统加入微微分负反馈馈时，相当当于增加了了系统的阻阻尼比ξ，改善了系系统振荡性性能，即减减小了，，但并没有有改变无阻阻尼固有频频率。。实际上，大大量的系统统，特别是是机械系统统，都可以以用高阶微微分方程来来描述。这这种系统叫叫做高阶系系统。对高阶系统统的研究和和分析，一一般是比较较复杂的。。在分析高高阶系统时时，要抓住住主要矛盾盾，忽略次次要因素，，使问题简简化为零阶阶、一阶与与二阶环节节等的组合合，而且也也可包含延延时环节，，而一般所所关注的，，往往是高高阶系统中中的二阶振振荡环节的的特性。因此，本节节将着重阐阐明高阶系系统过渡过过程的闭环环主导极点点的概念，，并利用这这一概念，，将高阶系系统简化为为二阶振荡荡系统。3.5高阶系统高阶系统传传递函数的的普遍形式式可表示为为：（3.5.1）系统的特征征方程式为为：特征有n个特征根，，设其中n1个为实数根根，n2对为共轭虚虚根，应有有n=n1+2n2，由此，特特征方程可可以分解为为n1个一次因式式及n2个二次因式式的乘积。也也就是说，，系统的传传递函数有有n1个实极点-pj及n2对共轭复数数极点设系统传递递函数的m个零点为-zi（i=1,2，…，m），那么系系统的传递递函数可写写为在单位阶跃跃输入Xi(s)=1/s的作用下，，输出为对上式按部部分分式展展开，得（3.5.2）（3.5.3）（3.5.4）由以上分析析可知，在在系统的传传递函数的的极点中，，如果距虚虚轴最近的的一对共轭轭复数极点点的附近没没有零点，，而其他的的极点距虚虚轴的距离离都在这对对极点距虚虚距离的五五倍数上时时，则系统统的过渡过过程的形式式及其性能能指标主要要取决于距距虚轴最近近的这对共共轭复数极极点。这种种距虚轴最最近的极点点称为“主主导极点””，它们经经常以共轭轭复数的形形式成对出出现。应用主导极极点分析高高阶系统统的过渡过过程，实质质上就是把把高阶系统统近似作为为二创振荡荡系统来处处理，这样样就大大简简化了系统统的分析和和综合工作作，但在应应用这种方方法时一定定要注意条条件，同时时还要注意意，在精确确分析中，，其他极点点与零点对对系统过渡渡的影响不不能忽视。。“准确”是是对控制系系统提出的的一个重要要性能要求求。实际系统：：输出量不能能绝对精确确地达到所所期望的数数值，期望望的数值与与实际输出出的差就是是所谓的误误差。1.存在随机干干扰作用时时，可能带带来随机误误差；2.元件的性能能不完善、、变质或者者存在诸如如干摩擦、、间隙、死死区等非线线性时，也也可能带来来误差。本节讨论在在没有随机机干扰作用用，元件也也是理想的的线性元件件的情况下下，系统的的误差。3.6系统误差分分析与计算算稳定的自动动控制系统统，在某一一典型输入入作用下，，系统的运运动大致可可以分为两两个阶段：：过渡过程或或瞬态；某某种新的平平衡状态或或稳态。系统的输出出量:瞬态分量(或自由响应应);稳态分量(或强迫响应应)系统的误差差:瞬态误差;稳态误差瞬态误差随随过渡过程程逐渐衰减减，稳态误误差最后成成为误差的的主要部分分。这一误误差与系统统的输入、、系统的结结构和参数数有关。对不稳定系统统根本谈不上上误差问题题。3.6.1系统的误差差与偏差控制系统的的误差：以系统输出出端为基准准来定义的的。设是是控控制系统所所希望的输输出，是是其其实际的输输出，则误误差定义为为：其Laplace变换记为（（为为避免与偏偏差E(s)混淆，用下下标1区别），控制系统的的偏差：以系统的输输入端为基基准来定义义的,记为：其Laplace变换为：：式中，H(s)为反馈回路路的传递函函数；(3.6.1)(3.6.2)偏差之之间间存在关系系：闭环控制系系统之所以以能对输出出Xo(s)起自动控制制作用，就就在于运用用偏差进进行控制制。当时时，由于于E(s)≠0，就就起起控制作用用，力图将将Xo(s)值调节到Xor(s)值;反之时时，应有E(s)＝0,而使不不再对Xo(s)进行调节。。当时时:故或(3.6.3)由式(3.6.1)、式(3.6.2)和式(3.6.3)可求得一般般情况下系系统的误差差与偏差之之间的关系系为：或偏差：在实际系统统中是可以以测量的,因而具有一一定的物理理意义；误差：在实际系统统中无法测测量，因而而一般只具具有数学意意义，在性性能指标中中经常使用用。在后面叙述述中，均采采用偏差进进行计算与与分析。如如果需要计计算误差，，求出偏差差后依据(3.6.4)式可求出。。对单位位反馈馈系统统来说说来说说，，故偏偏差与与误差差e(t)相同。。上述述关系系如图图3.6.1所示。。(3.6.4)3.6.2误差的的一般般计算算一般情情况下下分析析、计计算系系统的的误差差e(t)：设输输入与与干干扰N(s)同时作作用于于系统统，如如图3.6.2所示.现可求求得在在图示示情况况下的的Xo(s)，即式中，，为为输入入与输输出之之间的的传递递函数数为干扰扰与输输出之之间的的传递递函数数将式（（3.6.3）、式式（3.6.5）代入入式（（3.6.1）得：：（3.6.5）式中，，为无干干扰n(t)时误差差e(t)对于输输入xi(t)的传递递函数数，为为无输输入xi(t)时误差差e(t)对于干干扰n(t)的传递递函数数。与与总总称为为误差差传递递函数数，反反映了了系统统的结结构与与参数数对误误差的的影响响。（3.6.6）3.6.3系统的的稳态态误差差与稳稳态偏偏差系统的的稳态态误差差：稳定的的系统统进入入稳态态后的的误差差,因此,稳态误误差的的定义义为：：为了计计算稳稳态误误差，，可先先求出出系统统的误误差信信号的的Laplace变换式式，再再用终终值定定理求求解同理，，系统的的稳态态偏差差（3.6.7）（3.6.8）（3.6.9）3.6.4与输入入有关关的稳稳态偏偏差现分析析如图图3.6.3所示的的系统统的稳稳态偏偏差。。由图图3.6.3可知故（3.6.10）（3.6.11）由终值值定理理得稳稳态偏偏差为为即稳态偏偏差不不仅与与系统统特性性（结结构与与参数数）有有关，，而且且与输输入信信号特特性有有关关。设系统统的开开环传传递函函数Gk(s)为式中，，n,m分别为为GK(s)的分母母，分分子阶阶数，，k是系统统的开开环增增益,v为串联联积分分环节节的个个数，，或称称系统统的无无差度度，它它表征征了系系统的的结构构特征征。（3.6.12）若记显然则将系系统的的开环环传递递函数数表达达为（3.6.13）v=0,1,2时分分别称称为0型,I型和II型系统统。v愈高,稳态精精度愈愈高,但稳定性愈愈差,因此,一般系系统不不超过过III型。工程上上一般般规定定：（1）当输输入为为阶跃跃信号号（位位置输输入信信号））时时，，系统统的的稳态态偏差差为式中，，称为为位位置无无偏系系数。。表示单单位阶阶跃输输入时时的稳稳态偏偏差，，称稳稳态位位置偏偏差对于0型系统统，，，，，为有有差系系统，，且K愈大愈小。。对于I、II型系统统，，，，，为位位置无无差系系统。。（3.6.14）（3.6.15）可见，，当系系统开开环传传递函函数中中有积积分环环节存存在时时，系系统阶阶跃响响应的的稳态态值将将是无无差的的。而而没有有积分分环节节时，，稳态态是有有差的的。为为了减减少误误差，，应当当适当当提高高放大大倍数数。但但过大大的K值，将将影响响系统统的相相对稳稳定性性。（2）当输输入为为单位位斜坡坡信号号（速速度输输入））时，，系统统的稳稳态偏偏差称为为速度度无偏偏系数数，对于0型系统统，对于I型系统统，对于II型系统统，表示单单位斜斜坡输输入时时的稳稳态偏偏差，，称稳稳态速速度偏偏差。。单位斜斜坡信信号式中（3.6.16）（3.6.17）上述分分析说说明，，0型系统统不能能适应应斜坡坡输入入，因因为其其稳态态偏差差为；；I型系统统能跟跟踪斜斜坡输输入，，但存存在稳稳态偏偏差，，同样样可以以增大大K值来减减少偏偏差；；对于于II型或高高于II型的系系统，，对斜斜坡输输入响响应的的稳态态是无无差的的。用用三角角波模模拟I型系统统斜坡坡输入入时的的输出出波形形如图图3.6.4所示。。（3）当输输入为为加速速度信信号（（抛物物线信信号））输入入时，，系统统的稳稳态偏偏差式中称为为加速速度无无偏系系数。。对于0、I型系统统，对于II型系统统，加速度度信号号（3.6.18）（3.6.19）可见，，当输输入为为加速速度信信号时时，0、I型系统统不能能跟随随，Ⅱ型为有有差，，要无无差则则应采采用Ⅲ型或高高于Ⅲ型的系系统。。Ⅱ型系统统加速速度信信号输输入时时，输输入输输出波波形如如图3.6.5所示。。上述述讨论论的稳稳态偏偏差根根据式式(3.6.4)可以换换算为为稳态态误差差。综上所所述，，在不不同输输入时时不同同类型型系统统中的的稳态态偏差差可以以列成成表3.6.1。单位阶跃输入单位恒速输入单位恒加速度输入

0型系统

I型系统

0

II型系统

0

0系统的的输入入系统的的开环环(1)无偏系系数的的物理理意义义：稳态偏偏差与与输入入信号号的形形式有有关，，在随随动系系统中中一般般称阶跃信信号为为位置置信号号，斜斜坡信信号为为速度度信号号，抛抛物线线信号号为加加速度度信号号。由输入入“某种””信号号而引引起的的稳态态偏差差用一一个系系数来来表示示，就就叫““某种种”无无偏系系数，，如位位置无无偏系系数，，它表表示了了稳态态的精精度。。“某某种””无偏偏系数数愈大大，精精度愈愈高；；当无无偏系系数为为零时时即稳稳态偏偏差，，表表示不不能跟跟随输输出；；无偏偏系数数为，，则稳稳态无无差。。根据上上面的的讨论论，可可归纳纳出如如下几几点：：(2)增加系系统的的型别别时，，系统统的准准确度度将提提高，，然而当当系统统采用用增加加开环环传递递函数数中积积分环环节的的数目目的办办法来来增高高系统统的型型别时时，系系统的的稳定定性将将变差差，开环传传递函函数中中包含含两个个以上上积分分环节节时，，要保保证系系统的的稳定定性是是比较较困难难的，，因此此Ⅲ型或更更高型型的系系统实实现起起来是是不容容易的的，实实际上上也是是极少少采用用的。。增大K也可以以有效效地提提高系系统的的准确确度，，然而也也会使使系统统的稳稳定性性变差差。因因此，，稳定定与准准确是是有矛矛盾的的，需需要统统筹兼兼顾。。为了了减小小误差差，是增大大系统统的开开环放放大倍倍数K还是提提高系系统的的型别别也需需要根根据具具体情情况作作全面面的考考虑。。(3)根据线线性系系统的的叠加加原理理，可可知当当输入入控制制信号号是上上述典典型信信号的的线性性组合合时，，即输出出量量的的稳稳态态偏偏差差应应是是它它们们分分别别作作用用时时稳稳态态偏偏差差之之和和，，即即(4)对于于单单位位反反馈馈系系统统，，稳稳态态偏偏差差等等于于稳稳态态误误差差。。对对于于非非单单位位反反馈馈系系统统，，可可由由式式(3.6.4)将稳稳态态偏偏差差换换算算为为稳稳态态误误差差。。必须须注注意意，，不不能能将将系系统统化化为为单单位位反反馈馈系系统统，，再再由由计计算算偏偏差差得得到到误误差差，，因因为为两两者者计计算算出出的的偏偏差差和和误误差差是是不不同同的的。。3.6.5与干干扰扰有有关关的的稳稳态态偏偏差差对系系统统除除应应考考虑虑控控制制的的输输入入作作用用外外，，还还应应考考虑虑各各种种扰扰动动的的输输入入作作用用。。系统统在在扰扰动动作作用用下下的的稳稳态态偏偏差差反反映映了了系系统统的的抗抗干干扰扰能能力力，，对如如图图3.6.2所示示系系统统,在考考虑虑干干扰扰的的影影响响时时,可以以不不考考虑虑输输入入，，即即令令，，此此时时，，由干干扰扰引引起起的的误误差差，，即即为为干干扰扰所所引引起起的的输输出出。。由干干扰扰引引起起的的稳稳态态偏偏差差可可由由下下式式算算出出（3.6.20）（3.6.21）（3.6.22）（3.6.23）类似似给给定定输输入入作作用用偏偏差差的的分分析析，，把把G1(s)写成成K1G10(s)/sv1，把把G2(s)写成成K2G20(s)/sv2，当当s→0时，，G10(s)及G20(s)均趋趋于于1.不失失一一般般性性,考虑虑单单位位反反馈馈系系统统H(s)=1并考考虑虑阶阶跃跃干干扰扰的的形形式式,N(s)=1/s。（1）当当G1(s)及G2(s)都不不含含积积分分环环节节时时，，即即v1=v2=0，有有（3.6.24）可见见，，放放大大系系数数K1、K2对稳稳态态偏偏差差的的影影响响是是相相反反的的，，增增加加K1，则则偏偏差差减减小小，，而而增增加加K2，则则偏偏差差更更大大。。但但是是当当K1比较较大大时时，，K2对稳稳态态偏偏差差的的影影响响是是不不太太显显著著的的，，这这时时可可以以写写成成下下列列近近似似的的式式子子：：（2）当当G1(s)中有有一一积积分分环环节节，，而而G2(s)中无无积积分分环环节节时时，，即即v1=1，v2=0，有有（3.6.25）（3）当当G1(s)中无无积积分分环环节节，，而而G2(s)中有有一一积积分分环环节节时时，，即即v1=0，v2=1，有有（3.6.26）即此此时时的的稳稳态态偏偏差差与与K1成反反比比，，而而不不是是像像式式(3.6.25)那样样为为零零值值。。综上上所所述述，，为为了了提提高高系系统统的的准准确确度度，，增增加加系系统统的的抗抗干干扰扰能能力力，，必必须须增增大大干干扰扰作作用用点点之之前前的的回回路路的的放放大大倍倍数数K1以及及增增加加这这一一段段回回路路中中积积分分环环节节的的数数目目。。而而增增加加干干扰扰作作用用点点之之后后到到输输出出量量之之间间的的这这一一段段回回路路的的放放大大系系数数K2或增增多多这这一一段段回回路路中中积积分分环环节节的的数数目目，，对对减减少少干干扰扰引引起起的的误误差差是是没没有有好好处处的的。。3.7函数数在在时时间间响响应应中中的的作作用用单位位脉脉冲冲函函数数及及单单位位脉脉冲冲响响应应函函数数十十分分重重要要，，有有必必要要较较深深入入讨讨论论与与的的含含义义、、物物理理背背景景及及作作用用。。单位位脉脉冲冲函函数数的的定定义义如如下下：：而是是在在时时的的特特例例。。如图图3.7.1所示示，，在在工工程程上上常常用用长长度度等等于于1的有有向向线线段段来来表表示示在在区区间间的的积积分分面面积积，，线线段段的的长长度度称称为为脉脉冲冲强强度度。。(3.7.1)图3.7.1单位位脉脉冲冲信信号号若对对系系统统输输入入一一单单位位脉脉冲冲函函数数,则系系统统的的单单位位脉脉冲冲的的响响应应函函数数为为：：因此此，，根据式式（3.7.2），得得可见，，系统统的传传递函函数的的Laplace逆变换换是系系统输输入单单位脉脉冲函函数时时的零零初态态响应应或单单位脉脉冲响响应。。（3.7.2）由于系系统的的单位位脉冲冲响应应函数数是是对系系统输输入单单位脉脉冲（（即脉脉冲强强度为为1）时响响应，，因此此，利利用线线性叠叠加原原理，，可以以通过过求求出出系统统在任任意输输入的的响应应。当线性性系统统输入入任一一时间间函数数xi(t)时,可将在在时刻刻0~t的连续续信号号分割割为N段，每每段时时间。。当当N→∞时时,。因此此，xi(t)可近似似看做做是由由N个脉冲冲信号号组成成的,如图3.7.2(a)所示。。那么么,对于系系统输输入xi(t),就相当当于在在N个不同同时刻刻对系系统输输入N个脉