流体力学第七章课件

第7章不可压缩粘性流体的流动流体微团的运动形式与速度分解定理粘性流体的应力状态广义牛顿内摩擦定理（本构关系）Navier-Stokes主要讨论层流问题边界层理论1、流体微团运动的基本形式

流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。

流体微团的运动形式与速度分解定理平动转动线变形角变形2、速度分解定理德国物理学家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。

在速度为

在点处，速度为如果令：综合起来，有：对于y,z方向的速度分量，也可得到写成矢量形式：其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动引起的，第三项表示微团变形（线变形和角变形）引起的。定义如下：流体微团平动速度：流体微团线变形速度：

流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团旋转角速度：3、有旋运动与无旋运动流体质点的涡量定义为表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为零，定义无旋流动与有旋运动。4、变形率矩阵（或变形率张量，或应变率张量）在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的，其中称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团的粘性应力存在直接关系。

其中对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。粘性流体的应力状态

流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。1、理想流体和粘性流体作用面受力差别

由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为

y面的合应力表达式为

z面的合应力表达式为

如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即（2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即（3）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。§7-1微元体的表面力与本构方程如图，微元体每个面上有正应力和切应力。第一个角标指垂直于每轴的面，第二个角标指应力方向（坐标轴上的投影）共有9个量，构成二阶张量——应力张量：为研究粘性流体的运动，我们需要找到应力与应变率的关系——本构关系

广义牛顿内摩擦定理（本构关系）1、牛顿内摩擦定理启发

牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比。即：

如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有：说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。

因此，在静止状态下，流体的应力状态为

根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系数a只取决于流体的物理性质，可取：

由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量构成。即令：式中，为待定系数。将a、b代入，有：取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出：如果令称为流体压强。则本构关系为：上式即为广义牛顿内摩擦定理（亦为牛顿流体的本构方程，constructiveequation）用指标形式，上式可表示为对于不可压缩流体,有：如果用坐标系表示，有：粘性切应力：法向应力：根据斯托克斯假设，在粘性不可压流体中x,y,z三个法向应力的表达式为：将上述三式相加，并根据连续性方程得到：BACDEFGH§7-2N-S方程

如图微元体，每个面上正应力沿外法线方向，切应力沿坐标轴正向现分析z方向上表面力正应力切应力BACDEFGH质量力：不可压缩流体，由连续性方程得：基本方程组：

定解条件未知数：u,v,w,P四个，故方程组封闭，给定定解条件，理论上可求得唯一解。可是，由于是非线性、强耦合偏微分方程组，求解非常困难，通常根据实际问题进行简化后，可求一些简单问题的解。注：理想流体欧拉运动方程就是N-S方程的一种简化。

上述N-S方程和连续方程适用于不可压流动，对于可压缩流动，还需要加上状态方程和能量守恒方程才能封闭，再加上定解条件，数学上可以求解，但仅对层流有效；对于湍流，通常还需要建立湍流模型进行求解。

N-S方程的边界条件和初始条件

数学上，N-S方程是三个椭圆型二阶偏微分方程联立的方程组，其边界条件应是在一个封闭边界上的狄利克雷或诺伊曼条件。

从物理学方面讲，对于连续介质流体与固体的交界面，实验得到的粘性流动的边界条件是：流体与固体间无穿透且无相对滑动，即un=Un，ut=Utn和t分别表示法向和切向。

在流场无穷远处，流速为零或常数。需考虑流场中热效应时，热边界条件为：在边界处，温度T为常数或温度梯度∂T/∂n为常数。

在两种不同流体的分界面，若它们均为液体，则分界面两侧流体的速度、压强和温度都相等：u1=u2，p1=p2，T1=T2摩擦力和通过分界面的热传导量也相等：

若分界面两侧分别是液体和气体，例如液体自由表面，则其运动学条件为：在自由表面上的流体质点永远都处于自由表面上；动力学条件则为：交界面处的法向应力、切向应力连续。§7-3精确解

一、库塔流动（CouetteFlow）

如图，平板在水面上运动，假设：二维，定常不可压，层流，不计重力。对基本方程组根据问题性质做适当简化后，直接求出的解称精确解。至今大约有二十多个，它们是其他解法的重要基础。(1)简单库塔流动无压差流动，上板以u0运动其解为：压差流动(顺压梯度)其解为：(2)平面泊肃叶流动平面泊肃叶流动(3)其解为：为上述两种情形相加。(4)作业7-27-5§7-4边界层的概念工程中绝大多数流动都处于高Re区域，即惯性力>>粘性力，粘性力可忽略理想流体。

但固壁附近要满足无滑移条件，速度低，通常Re较小，粘性力不能忽略。普朗特（1904）提出边界层概念，边界层内为粘性流动，速度梯度较大，边界层外为理想流体势流运动。

边界层近似及其特征1、边界层概念的提出理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的达朗贝尔佯谬就是一个典型的例子。如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，在当时是一个阻碍流体力学发展的难题，1904年，普朗特（Prandtl）通过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundarylayer）。Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是:（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。边界层内，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。例：空气绕某一翼型的流动，整个流场可分为边界层、边界层脱离翼型物面以后形成的尾流、以及边界层和尾流以外的势流。图7-1翼型绕流实际流体绕意何形状物体的大雷诺数流动都会在物面附近形成边界层。

边界层流动可以是层流或湍流。实际中更一般地是混合边界层，即边界层前缘为层流，经过一过渡区(称为转捩区)后转变为湍流；在湍流区，紧挨物面附近还有一层流底层。图7-2所示为一均匀来流绕过平板一侧所形成的边界层流动。图7-2平板边界层流动2、边界层的流态

在湍流区，若平板表面粗糙度D大于层流底层的厚度dl，则称之为粗糙(表面)平板；否则称为光滑(表面)平板。当层流区的范围很小时，可近似地把整个边界层看成为湍流边界层。为了便于判断边界层的流态，通常假定由层流到湍流的转捩是在某一截面突变完成的，并称此截面为临界截面，它离边界层前缘的距离称为临界长度x*，临界截面边界层的厚度称为临界厚度d*。

以平板边界层为例边界层流态用临界雷诺数Re*来判断。

Re*有两种形式：

Rex*=U∞x*/v

Red*=U∞d*/v对于平板绕流，

Rex*=5105~3106，

Red*2800。

速度为V∞的来流进入前缘后，由于物体的粘附作用，低层流体的速度变为0。随着x的增加受阻滞的流体在y方向上逐渐扩大，以致行成一个有明显速度变化的区域，通常称为速度边界层。3、边界层的定义与特征

（1）边界层定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用表示。注意：边界层的外边界不是流线；流线可以穿越边界层外边界进入边界层内。（2）边界层的有涡性

粘性流体运动总伴随涡旋的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明。此时，物面上的涡源强度为：

对于不可压缩流体，二维流动的涡量输运方程为：

上式表明，由于粘性的影响，物面上的涡量一方面沿垂直流线方向扩散，另一方面，涡量沿主流方向迁移，并随之而逐渐衰减。涡量的扩散速度与粘性有关，涡量的迁移速度取决于流动速度。（3）边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为δ。

惯性力：粘性力：

由惯性力与粘性力同量级得到由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。（4）边界层各种厚度定义

a.边界层排移厚度在边界层内，理想流体的质量流量为：

其中，U为边界层外缘速度。由于粘性的存在，实际流体通过的质量流量为：上述两项之差表示粘性存在而损失的流量，这部分流量被排挤到主流场中，相当于主流区增加了一层流体。主流区所增加的厚度称为排移厚度：图7-3边界层位移厚度①

代表整个边界层内亏损质量流量与无粘性流动时单位厚度的质量流量之比，越大表明边界层引起的质量流量亏损越大。②

为了保持有粘性与无粘性流动的质量相等，在用无粘性理论设计管道时应将管壁向外扩大③

根据边界层速度分布渐近的概念可以导出：b.边界层动量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为：由于粘性的存在，实际流体通过的动量为：上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失用外流流速U（理想流体）折算的动量损失厚度为：c.边界层能量损失厚度在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外流速度（理想流体）通过的动能为：由于粘性的存在，实际流体通过的动能为：上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失用主流流速U（理想流体）折算的动能损失厚度为:

上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体而言，变为:

一般有：

浓度边界层：当某种流体流经一可溶（或含有可溶物）的固体表面，或两种不太相混流体相互流过时，在它们界面附近往往会出现对流传质或扩散现象，即在界面处存在一很薄和浓度很大的区域，通常称为浓度边界层，浓度厚度为：

①

②

焓厚度：hw：壁温下的流体焓值。焓厚度表示边界层内实际焓流量与当边界层内焓值处于来流焓值时的焓流量之差。③

其它边界层厚度一般有：§7-5边界层微分方程假设：不可压平面流动，不计质量力，边界层内，选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。（2）法向速度远远小于纵向速度。（3）边界层内的压强与外流速度的平方成正比。将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到

无量纲化与数量级分析

比较各项后的量级后得：可见，P与y无关，即沿y均匀，可取：对于边界层问题，是已知函数,可由外部势流解得到：对定常流动，由伯努利方程得到：还原方程后得边界层方程组：定解条件：

仍然是非线性方程，只有一些特别情况可以得到解析解。

平板层流边界层的相似解1908年，Prandtl学生Blasius利用边界层速度分布的相似性求解了平板层流边界层方程。对于零压梯度、定常、不可压缩流体平板层流绕流，边界层方程为:相应的边界条件为:Blasius假设，在平板上边界层内的速度分布具有相似性特征。即:根据量级比较，边界层厚度的量级为:

η称为相似性变量。引入流函数，可消掉一个连续方程:

由此得到:代入方程中，得到:化简后变为:边界条件为:Blasius用无穷级数进行了求解。假设：其中，为待定系数。

由边界条件，可得:（1）边界层厚度（）（2）边界层排移厚度（3）边界层动量损失厚度（4）壁面切应力:（5）壁面摩擦阻力系数（6）平均壁面摩擦总阻力系数

郭永怀（1953年）对平板前缘点的修正，得到适用范围：

平板边界层方程为三阶非线性常微分方程，无解析解，布拉修斯最早给出了级数解，后来霍华斯等人用龙格—库塔法得到了数值积分解。平板层流边界层精确解数值表图7-4平板边界层速度剖面

边界层问题评述

边界层问题求解十分麻烦，上面只是最简单的一种情形。此问题因存在相似性解（指无量纲的速度分布相同），故可采用相似变量置换，将方程组化为常微分方程。类似问题还有轴对称层流边界层。更多问题不存在相似性解（如）此时可采用:1）级数近似解法；

2）动量积分近似解法；

3）纯数值解法。湍流边界层更为复杂，只能采用:1）半经验理论；

2）数值解。

流体绕物体的流动可分为成势流区和边界层区域，而势流区可以使用位势理论求解，而求解边界层则较困难。描述边界层粘性流动的是纳维-斯托克斯方程（N-S方程）连续性方程：

§7.6边界层动量积分方程

对于任意初始条件和边界条件，求层流边界层方程的分析解是相当困难的，许多问题可以通过计算机获得满意的结果。

在工程中许多近似解法有很大的实用价值，其中动量积分方程是最简单而又最实用的一种方法(冯.卡门，1921)。CD流出的动量：AB流入的动量：AC流入的动量：∴控制ABCD内流体的动量变化率（物质导数）为:经AC流入控制体的质量=CD-AB（质量流量）x方向控制体的受力情况：

AB面上受力：CD面上受力：

壁面BD上的剪切应力：x方向上的总的受力：（略去高阶小量）应用动量定理，得动量积分关系式：上式中压力梯度一项可以按主流为势流，利用欧拉方程来计算，不考虑质量力时（x方向）：即AC面上的分量：（粘性切应力可忽略）又因为:得动量积分关系式：变形后得另一种形式的动量积分关系式：利用排挤厚度和动量损失厚度的定义，得动量积分方程的一般形式：上式适用于稳定流动，不可压缩流体层流或湍流时的动量方程，根据它可以计算附面边界层的厚度和流动阻力。

方程式中有,为此还需要两个补充条件：边界层内的速度分布：与速度分布有关的与δ的关系:动量积分关系不仅实用于层流，对湍流也实用。例题：密度为ρ的均质不可压缩流体以速度V∞流向板面与速度方向平行的平板，设流动定常，壁面附近速度为线性分布，不计质量力，板宽为D，求流体作用在板上的切向力。

解：前缘流进控制体的动量：后缘流出的动量：由y=δ流出控制体的动量流量是：上缘流出质量流量为：∴流体作用平板的总切应力为：§7.7平板边界层的近似解对于平板问题，主流为均匀流，即：故动量积分方程式简化为：要求解上式可以先假设u和τ0的表达式，再求出δ(x)的表达式，u和τ0的近似表达式越接近于实际，δ(x)越精确。一.层流边界层

平板边界层上的速度分布可以近似地用高次抛物线表示：壁面切应力为：多项式系数应满足一定的条件：

①在壁面上：

，∴②在外边界：

∴③在外边界：

∴上，，，④边界层的微分方程为：时

得：⑤在外边界

∴即：解得的5个系数是：于是层流边界层的速度表达式：根据动量厚度定义：代入：得：利用x=0，δ=0的边界条件，积分得排移厚度：

动量损失厚度：

壁面的切应力：长度L，单位宽度平板的摩擦力：

二、湍流边界层（自学）采用速度分布代入动量积分方程后求得：要比层流时发展得快实验拟合式：三.层流与湍流混和边界层在前面的讨论中总是假定形成单一的层流或湍流边界层，实际上绕物体的流动是个组合边界层。差异分析：①名义厚度：层流,湍流②速度：层流对y缓慢增加，湍流急剧增加.③剪切应力：层流,湍流

转捩临界雷诺数：根据不同Re范围，混合边界层阻力系数：

在这些差别中最重要的是壁面剪切应力，因为它是物体壁面所受的摩擦力，两种常用的方法是普朗特和朱考斯卡斯法，前者认为组合边界层的摩擦力等于全程湍流边界层的摩擦力减前端湍流边界层摩擦力再加上层流边界层的摩擦力。后者认为假设边界层中的湍流部分存在一虚构的原点，并以此为分界点，前后分别是层流和湍流边界层，湍流边界层阻力表达式从该虚构原点起计算。§7-8曲面边界层

平板边界层是无压强梯度的边界层，而曲面边界层内外缘的速度和压力均有变化，这种压强梯度的存在会影响边界层内的流动，最重要的就是在一定条件上会造成边界层的分离。

边界层的分离现象

边界层中的流体质点受惯性力、粘性力和压力的作用。粘性力的作用始终是阻滞流体质点运动，使流体质点减速，失去动能；压力的作用取决于绕流物体的形状和流道形状，顺压梯度有助于流体加速前进，而逆压梯度阻碍流体运动。以圆柱绕流为例说明边界层的分离现象。

对于理想流体，流体微团绕过圆柱时，在前驻点O点压强最大，在M点压强最小，压降有利于流动，使流动逐渐加速，OM区称为顺流区，压能转化为动能；从M到F压强增加，速度逐渐减小，不利于流动，MF称逆流区。

对于粘性流体，在上述能量的转化过程中，由于粘性的作用，边界层内的流体质点将要克服粘性力作功而消耗机械能。因此微团在逆压区，不可能到达F点，而是在MF段中的某点S处微团速度降为零，以后来的质点将改道进入主流中，使来流边界层与壁面分离。在分离点下游的区域，受逆压梯度的作用而发生倒流。分离点定义为紧邻壁面顺流区与倒流区的分界点。在分离点附近和分离区，由于边界层厚度大大增加，边界层假设不再成立。边界层分离的必要条件是：逆压梯度和物面粘性的阻滞作用结果。仅有粘性的阻滞作用而无逆压梯度，不会发生边界层的分离，因为无反推力使边界层流体进入到外流区。这说明，顺压梯度的流动不可能发生边界层分离。只有逆压梯度而无粘性的阻滞作用，同样也不会发生分离现象，因为无阻滞作用，运动流体不可能消耗动能而滞止下来。气流绕翼型的流动