机械工程控制基础-系统的稳定性概述

5系统的稳定性机械工程控制基础5.1系统稳定性的初步概念5.2Routh（劳斯）稳定判据5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据5.4Bode（伯德）稳定判据5.5系统的相对稳定性

5.1系统稳定性的初步概念1稳定性的概念

稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。2稳定的充要条件

系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，

或所有闭环特征根均位于左半s平面。根据系统稳定的定义，若,则系统是稳定的。

必要性：充分性：

5.1系统稳定性的初步概念

5.2Routh（劳斯）稳定判据避免直接求解特征根，讨论特征根的分布(1)必要条件说明：例1不稳定不稳定可能稳定

5.2Routh（劳斯）稳定判据(2)劳斯（Routh）判据劳斯表劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数

5.2Routh（劳斯）稳定判据s4s3s2s1s0解.列劳斯表171052劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定

1010

例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0

5.2Routh（劳斯）稳定判据s3s2s1s0解.列劳斯表1-3

e2劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定。

0

例3：D(s)=s3-3s+2=0

判定在右半平面的极点数。

(3)劳斯判据特殊情况处理某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时:将此0改为e

，继续运算。

5.2Routh（劳斯）稳定判据解.

列劳斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

0

0

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25

5.2Routh（劳斯）稳定判据出现全零行时：用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。列辅助方程：

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0

5.2Routh（劳斯）稳定判据解.列劳斯表1123532025s5s4s3s2s1s05

25

0

0

1025

0

例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=05.2Routh（劳劳斯斯））稳稳定定判判据据例4D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0D(s)=(s+j5)(s-j5)(s+1)(s+1+j2)(s+1-j2)=0计算算劳劳斯斯表表时时,某一一行行各各项项全全为为零零。。这这表表明明特特征征方方程程具具有有对对称称于于原原点点的的根根:系统统可可能能出出现现一一对对共共轭轭虚虚根根；；或或一一对对符符号号相反反的的实实根根；；或或两两对对实实部部符符号号相相异异、、虚虚部部相相同同的的复复根根。。其根根的的数数目目总总是是偶偶数数的的这些些对对称称于于原原点点的的根根可可由由令令辅助助多多项项式式等等于于零零构成成的的辅助助方方程程求得得列辅辅助助方方程程：：S=±j5解.列劳斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00-216/e08-20列辅辅助助方方程程：：例5D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一一列列元元素素变变号号一一次次，，有有一一个个正正根根，，系系统统不不稳稳定定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j5)(s-j5)5.2Routh（劳斯））稳定判判据(4)劳斯判据据的应用用例6某单位反反馈系统统的开环环零、极极点分布布如图所所示，判判定系统统能否稳定定，若能能稳定，，试确定定相应开开环增益益K的范围。。解依依题意有有系统闭环环稳定与与开环稳稳定之间间没有直直接关系系5.2Routh（劳斯））稳定判判据例7系统结构构图如右右，(1)确定使系系统稳定定的参数数(K,x)的范围;(2)当x=2时，确定定使全部部极点均均位于s=-1之左的K值范围。。解.(1)5.2Routh（劳斯））稳定判判据(2)当x=2时，确定定使全部部极点均均位于s=-1之左的K值范围。。当x=2时，进行平移变换：5.2Routh（劳斯））稳定判判据问题讨论论：(1)系统的稳稳定性是是其自身身的属性性，与输输入类型型，形式式无关。。(2)闭环稳定定与否，，只取决决于闭环环极点，，与闭环环零点无无关。闭环零点点影响系系数Ci，只会改改变动态态性能。。闭环极点点决定稳稳定性，，也决定定模态，，同时影影响稳定定性和动动态性能能。(3)闭环系统统的稳定定性与开开环系统统稳定与与否无直直接关系系。5.2Routh（劳斯））稳定判判据5.3Nyquist（乃奎斯斯特）稳稳定判据据系统稳定定的充要要条件—全部闭环环极点均均具有负负的实部部由闭环特特征多项项式系数数（不解解根）判判定系统统稳定性性不能用于于研究如如何调整整系统结结构参数数来改善善系统稳稳定性及及性能的的问题代数稳定判据

—

Ruoth判据

由开环频频率特性性直接判判定闭环环系统的的稳定性性可研究如何何调整系统统结构参数数改善系统统稳定性及及性能问题题频域稳定判据

—

Nyquist

判据

对数稳定判据

5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据1、Nyquist稳定判据的的基本原理理（1）映射原理Nyquist判据依据复复变函数中中的映射原理。设有复变变函数S平面上的点点,将按式映射射到F(S)平面上的相相应点;零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原原点外的有限值点。5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据映射原理：设C为s平面上不经经过F(s)的任何极点点的封闭曲曲线，C中包含了F(s)的p个极点和z个零点，则则当动点s顺时针在C上围绕一周周时,映射到F(s)平面上的闭闭曲线将顺时针围围绕坐标原原点N次，且有N=z-p5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据（2）特征函数数F(s)与G(S)H(S)的关系系统结构图图如图所示示设令F(s)的特点极点pi:开环极点零点li:闭环极点个数相同5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据F(s)的零点就是是闭环传递递函数的极极点。F(s)的极点就是是开环传递递函数的极极点;设F(s)在右半s平面有P个极点(开环极点)Z个零点(闭环极点)Z=2P=1s绕包围整个个右半平面面的奈氏路路径顺时针针转过一周周，F(jw)绕[F]平面原点转转过的角度度jF(w)为5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据s绕奈氏路径径一周时，，F(jw)包围[F]平面(0,j0)点的圈数，，既是开环环幅相曲线线GH(jw)包围[G]平面(-1,j0)点的圈数。。2、Nyquist稳定性判据据(一)当系统开环环传递函数数G(s)H(s)在s平面的原点点及虚轴上上没有极点点时(例如0型系统)a)开环系统稳稳定时,即p=0,如果从-+时Nyquist曲线G(j)H(j)不包围(-1,0j)点,N等于零,则z=0,闭环系统稳稳定;否则不稳定定b)开环系统不不稳定时,即p≥1。如果从-+时Nyquist曲线G(j)H(j)逆时针包围(-1,0j)点N次(N<0),且N=-p,则z=N+p=0,系统稳定。。否则系统统不稳定。。c)当Nyquist曲线G(j)H(j)通过(-l,0j)点时,表明在s平面虚轴上上有闭环极极点,系统处于临临界稳定状状态，属于于不稳定。*z≥≥0,p≥05.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据Nyquist稳定性判据据(二)当系统开环环传递函数数中有极点点位于S平面虚轴上上时(如I型及以上系系统),如系统开环环频率特性性G(j)H(j)在从-+变化逆时针针包围(-1,j0)点的次数N等于G(s)H(s)位于s右半平面的的极点数p,系统闭环极极点数z=N+p=0,则闭环系统统稳定。否否则系统不不稳定。5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据3、Nyquist轨迹例1设不稳定不稳定5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据例2已知单位反反馈系统开开环传递函函数,分析系统稳稳定性。解依题有有(不稳定)(稳定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据ω应为-∞~∞例3已知单位反反馈系统开开环传递函函数,分析析系系统统稳稳定定性性。解依依题题有有(稳定定)(不稳稳定定)5.3Nyquist（乃乃奎奎斯斯特特））稳稳定定判判据据5.3Nyquist（乃乃奎奎斯斯特特））稳稳定定判判据据含有有位位于于上极极点点和和/或零零点点的的特特殊殊情情况况变量量沿着着轴从从运动动到到，从到，变量沿着半径为为）的半圆运运动，再沿沿着正轴从运动到（5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据即按常规方方法作出ω由0+→∞∞变化时时的Nyquist曲线后，从从G(j0)开始，以∞∞的半径顺顺时针补画画v90°°的圆弧(辅辅助线)得得到完整的的Nyquist曲线。显然然，对于最最小相位系系统，其辅辅助线的起起始点始终终在无穷远远的正实轴轴上。例4已知单位反反馈系统开开环传递函函数,分析系统稳稳定性。解依题有有(稳定)(不稳定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据例5已知单位反反馈系统开开环传递函函数,分析系统稳稳定性。解依题有有(稳定)(不稳定)5.3Nyquist（乃奎斯特特）稳定判判据例6已知单位反反馈系统开开环传递函函数,分析系统稳稳定性。(稳定)(不稳定)对数稳定判判据5.4Bode（伯德）稳稳定判据5.4Bode（伯德）稳稳定判据例7已知单位反反馈系统开开环传递函函数,分析系统稳稳定性。(不稳定)(稳定)(不稳定)注意问题闭环系统不不稳定闭环系统稳稳定计算错！2.ω应为-∞~∞，按ω=0~∞图型取得的的N应乘2，此时N的最小单位位为二分之之一当[s]平面虚轴上上有开环极极点时，奈奈氏路径要要从其右边边绕出半径为为无穷小的的圆弧；