《数字信号处理》第一章 离散时间信号与系统 (中文版)课件

第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1学习目标

掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基2作业练习

P42:2(2)(3)(4)34(1)6(2)78(3)(4)(5)(6)(7)101214(1)(2)作业练习P42:3x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号—序列序列：对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

n取整数。对于不同的n值，是一个有序的数字序列：该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。x(n)代表第n个序列值，x(n)只在n为整数时才有意义一、4如何表示一个有限长序列？序列x(n)={2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7}用向量表示序列：位置n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]数值x=[2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7]

若采样从n=0开始，可用x向量表示序列x(n)(注意：Matlab数组的下标是从1开始)n为整数如何表示一个有限长序列？序列x(n)={2,1.2,51、序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和1、序列的运算移位61）移位序列x(n)，当m>0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位1）移位序列x(n)，当m>0时72）翻褶

x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n)

加以翻褶2）翻褶x(-n)是以n=0的纵轴为83）和

同序列号n的序列值逐项对应相加3）和94）积同序号n的序列值逐项对应相乘4）积105）累加5）累加116）差分前向差分：后向差分：6）差分前向差分：后127）时间尺度变换抽取

插值7）时间尺度变换抽取138）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：8）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：114举例说明卷积过程

举例说明卷积过程15《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)16《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)17y(n)y(n)18卷积和与两序列的前后次序无关卷积和与两序列的前后次序无关192、几种典型序列1）单位抽样序列2、几种典型序列1）单位抽样序列202）单位阶跃序列与单位抽样序列的关系2）单位阶跃序列与单位抽样序列的关系213）矩形序列与其他序列的关系3）矩形序列与其他序列的关系224）实指数序列

为实数4）实指数序列235）复指数序列为数字域频率例：5）复指数序列为数字域频率例：246）正弦序列模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率6）正弦序列模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率257）任意序列

x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。例：7）任意序列例：263、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。3、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足27例：因此，x(n)是周期为8的周期序列例：28讨论一般正弦序列的周期性讨论一般正弦序列的周期性29分情况讨论1）当为整数时2）当为有理数时3）当为无理数时分情况讨论1）当为整数时30《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)31《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)32《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)33例：判断是否是周期序列例：判断是否是周期序列34讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和35令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续364、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和4、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和37二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T[·]x(n)y(n)二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列381、线性系统若系统满足叠加原理：或同时满足： 可加性： 比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1、线性系统若系统39《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)40例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统线性系统满足叠加原理的直接结果：零输入产生零输出。例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统线性系统满足叠加原理41

增量线性系统

线性系统x(n)y0(n)y(n)增量线性系统线性系统x(n)y0(n)y(n)422、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）2、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不43例：试判断是否是移不变系统例：试判断是否是移不变系统44

同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：LinearShiftInvariant同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统453、单位抽样响应与卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：T[·]3、单位抽样响应与卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽46对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T[·]x(n)y(n)对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T[·]x(n)y47一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系48《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)49《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)50《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)51例：例：52《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)53思考:当x(n)的非零区间为[N1,N2]，h(n)的非零区间为[M1,M2]时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：

L=N+M-1思考:544、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)4、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h55结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)56分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n575、因果系统若系统(指任意系统)n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。LSI系统是因果系统的充要条件：5、因果系统若系统(指任意系统)n时刻的输出，只取决于n时586、稳定系统稳定系统(指任意系统)是有界输入产生有界输出的系统若LSI系统是稳定系统的充要条件：则6、稳定系统稳定系统(指任意系统)是有界输入产生有界输出的系59例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定的。例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定60结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：结论：61三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：其中：三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出62求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法求解常系数线性差分方程的方法：63例1：已知常系数线性差分方程 若边界条件 求其单位抽样响应。例1：已知常系数线性差分方程64《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)65例2：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 求其单位抽样响应。例2：已知常系数线性差分方程同上例66《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)67例3：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 讨论系统的线性性和移不变性。例3：已知常系数线性差分方程同上例68《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)69《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)70《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)71《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)72一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的不一定是因果的不一定是稳定的一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一个系统73差分方程系统结构Z-1ax(n)y(n)差分方程系统结构Z-1ax(n)y(n)74四、连续时间信号的抽样四、连续时间信号的抽样75讨论：采样前后信号频谱的变化什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号讨论：采样前后信号频谱的变化761、理想抽样冲激函数：理想抽样输出：1、理想抽样冲激函数：理想抽样输出：77《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)78《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)79抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍若信号的最高频率则延拓分量产生频谱混叠抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成80奈奎斯特抽样定理

要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率奈奎斯特抽样定理 要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样812、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)H[jΩ]理想低通滤波器:2、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信82输出：讨论输出：讨论83《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)843、实际抽样抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲 其中系数Ck随k变化抽样信号频谱3、实际抽样抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲85抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为Ωs若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号恢复，只要取抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为Ωs86《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)87解：解：88《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)894、正弦信号的抽样连续时间正弦信号：4、正弦信号的抽样连续时间正弦信号：90第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统91学习目标

掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判断的充要条件。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基92作业练习

P42:2(2)(3)(4)34(1)6(2)78(3)(4)(5)(6)(7)101214(1)(2)作业练习P42:93x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号—序列序列：对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

n取整数。对于不同的n值，是一个有序的数字序列：该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。x(n)代表第n个序列值，x(n)只在n为整数时才有意义一、94如何表示一个有限长序列？序列x(n)={2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7}用向量表示序列：位置n=[-3,-2,-1,0,1,2,3,4]数值x=[2,1.2,-1.4,3,1,4,3.1,7]

若采样从n=0开始，可用x向量表示序列x(n)(注意：Matlab数组的下标是从1开始)n为整数如何表示一个有限长序列？序列x(n)={2,1.2,951、序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和1、序列的运算移位961）移位序列x(n)，当m>0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位1）移位序列x(n)，当m>0时972）翻褶

x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n)

加以翻褶2）翻褶x(-n)是以n=0的纵轴为983）和

同序列号n的序列值逐项对应相加3）和994）积同序号n的序列值逐项对应相乘4）积1005）累加5）累加1016）差分前向差分：后向差分：6）差分前向差分：后1027）时间尺度变换抽取

插值7）时间尺度变换抽取1038）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：8）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：1104举例说明卷积过程

举例说明卷积过程105《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)106《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)107y(n)y(n)108卷积和与两序列的前后次序无关卷积和与两序列的前后次序无关1092、几种典型序列1）单位抽样序列2、几种典型序列1）单位抽样序列1102）单位阶跃序列与单位抽样序列的关系2）单位阶跃序列与单位抽样序列的关系1113）矩形序列与其他序列的关系3）矩形序列与其他序列的关系1124）实指数序列

为实数4）实指数序列1135）复指数序列为数字域频率例：5）复指数序列为数字域频率例：1146）正弦序列模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率6）正弦序列模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率1157）任意序列

x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。例：7）任意序列例：1163、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。3、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足117例：因此，x(n)是周期为8的周期序列例：118讨论一般正弦序列的周期性讨论一般正弦序列的周期性119分情况讨论1）当为整数时2）当为有理数时3）当为无理数时分情况讨论1）当为整数时120《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)121《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)122《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)123例：判断是否是周期序列例：判断是否是周期序列124讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和125令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续1264、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和4、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和127二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T[·]x(n)y(n)二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列1281、线性系统若系统满足叠加原理：或同时满足： 可加性： 比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1、线性系统若系统129《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)130例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统线性系统满足叠加原理的直接结果：零输入产生零输出。例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统线性系统满足叠加原理131

增量线性系统

线性系统x(n)y0(n)y(n)增量线性系统线性系统x(n)y0(n)y(n)1322、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）2、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不133例：试判断是否是移不变系统例：试判断是否是移不变系统134

同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：LinearShiftInvariant同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统1353、单位抽样响应与卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：T[·]3、单位抽样响应与卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽136对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T[·]x(n)y(n)对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T[·]x(n)y137一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系138《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)139《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)140《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)141例：例：142《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)143思考:当x(n)的非零区间为[N1,N2]，h(n)的非零区间为[M1,M2]时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：

L=N+M-1思考:1444、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)4、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h145结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)146分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n1475、因果系统若系统(指任意系统)n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。LSI系统是因果系统的充要条件：5、因果系统若系统(指任意系统)n时刻的输出，只取决于n时1486、稳定系统稳定系统(指任意系统)是有界输入产生有界输出的系统若LSI系统是稳定系统的充要条件：则6、稳定系统稳定系统(指任意系统)是有界输入产生有界输出的系149例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定的。例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定150结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：结论：151三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：其中：三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出152求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法求解常系数线性差分方程的方法：153例1：已知常系数线性差分方程 若边界条件 求其单位抽样响应。例1：已知常系数线性差分方程154《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)155例2：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 求其单位抽样响应。例2：已知常系数线性差分方程同上例156《数字信号处理》第一章离散时间信号与系统(中文版)157例3：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 讨论系统的线性性和移不变性。例3：已知常系数线性差分方程同上例15