现代控制理论-第四章-李雅普诺夫稳定性理论课件

4.1稳定性基本概念4.2李雅普诺夫稳定性的定义

4.3李雅普诺夫第一法4.4李雅普诺夫第二法4.5线性定常系统渐近稳定性判别法第四章李雅普诺夫稳定性理论4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法14.1稳定性基本概念4.2李雅普诺夫稳定性的定义4.1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析方法。重点内容：

李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。教学要求：21.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。教学要研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。3研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)4经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。51892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量主要内容：李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数6主要内容：64.1稳定性基本概念

1.自治系统：输入为0的系统=Ax+Bu(u=0)

2.初态

=f(x,t)的解为初态

3.平衡状态：系统的平衡状态

a.线性系统

A非奇异：

A奇异：有无穷多个74.1稳定性基本概念7b.非线性系统可能有多个例4-1:

令

8b.非线性系统孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。9孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡4.2李雅普诺夫稳定性的定义

1.李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数都对应存在另一个实数满足的任意初始态出发的运动轨迹，在都满足：104.2李雅普诺夫稳定性的定义的任意初始态出则称是李雅普诺夫意义下稳定的。时变：与有关定常系统：与无关，是一致稳定的。注意：－向量范数(表示空间距离)欧几里得范数。11则称是李雅普诺夫意义下稳定的。112.渐近稳定1）是李雅普诺夫意义下的稳定2）一致渐近稳定3.大范围内渐近稳定性对都有122.渐近稳定12初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛或其附近。13初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。线性系统(严格)：如当与无关大范围一致渐近稳定。必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态不稳定性：不管，有多小，只要内由出发的轨迹超出以外，则称此平衡状态是不稳定的。14当与无关大范围一致渐近稳定。14

线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。

非线性系统的平衡状态不稳定只说明轨迹离开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。15线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。15图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹16图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹164.3李雅普诺夫第一法（间接法）

利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。

线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：

2）渐近稳定的充要条件：3）不稳定的充要条件：174.3李雅普诺夫第一法（间接法）3）不稳定的充要条件：1非线性系统的稳定性分析

假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。设非线性系统状态方程：在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：

--非线性函数18非线性系统的稳定性分析--非线性函数18其中：--级数展开式中二阶以上各项之和19其中：--级数展开式中二阶以上各项之和19上式为向量函数的雅可比矩阵。令

则线性化系统方程为：

20上式为向量函数的雅可比矩阵。20结论：若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与无关。若,则非线性系统不稳定。若，稳定性与有关，

则是李雅普诺夫意义下的稳定。

21结论：21例4-2：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：令22例4-2：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处2323可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。24可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。不能确定非线性系统在4.4李雅普诺夫第二法(直接法)4.4.1预备知识254.4李雅普诺夫第二法(直接法)4.4.1预备知识25

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2727本店经营各类毛绒玩具礼品、公仔、靠垫、挂件等等，支持批发零售，欢迎来样看样定做生产。为了赚人气，本店所有商品批发价销售，超低秒杀！虽然我们的信誉不高，但我们会以诚信为本，为您提供质高价廉的商品和优质的服务！祝您购物愉快！

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5.V(x)不定:v(x)>0或V(x)<0则V(x)是不定的。如：295.V(x)不定:v(x)>0或V(x)<030302.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定的。3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行列式为正值，则是负定的。

即:312.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定32324.4.2几个稳定性定理设系统状态方程：其平衡状态满足，假定状态空间原点作为平衡状态()，并设在原点邻域存在对x的连续的一阶偏导数。334.4.2几个稳定性定理33定理1：若(1)正定；(2)负定；

则原点是渐近稳定的。(3)当时,则系统在原点处是大范围渐近稳定的。说明：负定能量随时间连续单调衰减。定理2：若(1)正定；(2)负半定；(3)在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。34定理1：若(1)正定；34说明：不存在，经历能量等于恒定，但不维持在该状态。

定理3：若(1)正定；(2)负半定；(3)在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。35说明：不存在，35说明：系统维持等能量水平运动，使维持在非零状态而不运行至原点。定理4：若(1)正定；(2)正定

则原点是不稳定的。说明：正定能量函数随时间增大，在处发散。36说明：推论1：当正定，正半定，且在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。推论2：正定，负半定，若，，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。37推论1：当正定，几点说明：选取不唯一，但没有通用办法，选取不当，会导致不定的结果。这仅仅是充分条件。--单调衰减(实际上是衰减振荡)38几点说明：38选取李雅普诺夫函数的方法:构造一个二次型函数；求，并代入状态方程；判断的定号性；判断非零状态情况下，是否为零。渐近稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定39选取李雅普诺夫函数的方法:渐近稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定令若成立李氏意义下稳定

若仅成立渐近稳定

若负半定40令若负半定40例4-3：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是唯一平衡点41例4-3：已知非线性系统的状态方程为：令原点是唯一平衡点41

设则负定原点是渐近稳定的；只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐近稳定。定理142设负定原点是渐近稳定的；只有一个平衡状态，该系统是大范围几何意义：等能量轨迹(整个平面)表示状态x到状态空间原点距离的一种度量。

如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小（即），则最终

。

43几何意义：等能量轨迹(整个平面)表示状态x到状态空间原点距离例4-4：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是唯一平衡点44例4-4：已知非线性系统的状态方程为：令原点是唯一平衡点44

设则负半定反设只有平衡状态满足45设负半定反设只有平衡状态这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨迹上。综合以上分析可知,系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。46这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：1)

令即原点是平衡状态。设47例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。令即原点是平衡则：其它负半定令只有全零解非零状态时原点是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。定理248则：其它负半定令只有全零解非零状态时原点例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：设

则故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。

原点是平衡状态定理349例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。原点是平衡状态例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解:即设则可见与无关，故非零状态(如)有，而对其余任意状态有50例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。50

故正半定。令即非零状态时，不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。推论151故正半定。推论1514.5线性定常系统渐近稳定性判别法设系统状态方程为：为唯一平衡状态。设选取如下的正定二次型函数为李氏函数则：--非奇异矩阵将代入：线性定常连续系统渐近稳定性判别524.5线性定常系统渐近稳定性判别法--非奇异矩阵将

令由渐近稳定性定理1，只要Q正定(即负定)，则系统是大范围一致渐近稳定。定理：系统大范围渐近稳定的充要条件为:

给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使成立，则为系统的一个李雅普诺夫函数。53令53方法1：给定正定QP的定号性Q单位阵P的定号性方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对角线上部分元素为零。54方法1：给定正定QP的定号性54例4-8：解：选取55例4-8：555656P正定

是大范围一致渐近稳定李雅普诺夫函数为:且57P正定是大范围一致渐近稳定李雅普诺夫函数为:且57例4-9:试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统渐近稳定的K值范围。58例4-9:试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统58[解]容易推得系统的状态方程为:在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为:由式(4.1）到（4.3）可知，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为:59[解]容易推得系统的状态方程为:在确定K的稳定范由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意取于是只在原点处才恒等于零。

为负半定。因此可选择正半定Q用于Lyapunov方程。60由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注现在求解如下Lyapunov方程:

对P的各元素求解，可得:61现在求解如下Lyapunov方程:对P的各元素求解，可得:为使P成为正定矩阵，其充要条件为:和即系统渐近稳定。也就是说，原点是大范围一致渐近稳定的。

62为使P成为正定矩阵，其充要条件为:和即线性定常离散系统渐近稳定性判别设系统状态方程：其中-非奇异阵，是平衡状态。设63线性定常离散系统渐近稳定性判别63令李氏代数方程64令李氏代数方程64定理：系统渐近稳定的充要条件为：给定任一正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使式成立，则是系统的一个李氏函数。可取Q=I如果且可取Q为正半定阵。65定理：系统4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法克拉索夫斯基方法给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的充分条件。克拉索夫斯基定理:考虑如下非线性系统式中，x为n维状态向量，为的非线性n维向量函数，假定，且对可微（i=1,2,…,n）。664.6构造李雅普诺夫函数的一些方法克拉索夫斯基方法给出了非该系统的雅可比矩阵定义为67该系统的雅可比矩阵定义为67如果矩阵

是负定的，则平衡状态xe=0是渐近稳定的。该系统的Lyapunov函数为:此外，若随着，，则平衡状态是大范围渐近稳定的。

68如果矩阵是负定的，则平衡状态xe=0是渐证明:

选取注意到从而因为是负定的，所以也是负定的。

所以原点是渐近稳定的。

69证明:选取注意到从而因为是负定的，所以也是负定的。所例4-10：已知非线性系统的状态方程为：试用克拉索夫斯基方法判断xe=0稳定性。解：70例4-10：已知非线性系统的状态方程为：70根据赛尔维斯特判据，有是负定的。71根据赛尔维斯特判据，有是负定的。71而且当，有系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定72而且当，有系统作业1.9-342.确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。73作业1.9-342.确定下述系统的平衡状态，并用李雅普1.已知非线性系统的状态方程为：试用克拉索夫斯基方法判断xe=0稳定性。作业741.已知非线性系统的状态方程为：作业74

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4.3李雅普诺夫第一法4.4李雅普诺夫第二法4.5线性定常系统渐近稳定性判别法第四章李雅普诺夫稳定性理论4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法764.1稳定性基本概念4.2李雅普诺夫稳定性的定义4.1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析方法。重点内容：

李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数的构造。线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。教学要求：771.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定性概念。教学要研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是一个重要特征。要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。78研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线性系统)79经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数判据1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。801892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量主要内容：李氏第一法（间接法）：求解特征方程的特征值李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造李氏函数81主要内容：64.1稳定性基本概念

1.自治系统：输入为0的系统=Ax+Bu(u=0)

2.初态

=f(x,t)的解为初态

3.平衡状态：系统的平衡状态

a.线性系统

A非奇异：

A奇异：有无穷多个824.1稳定性基本概念7b.非线性系统可能有多个例4-1:

令

83b.非线性系统孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。84孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡4.2李雅普诺夫稳定性的定义

1.李雅普诺夫意义下的稳定如果对每个实数都对应存在另一个实数满足的任意初始态出发的运动轨迹，在都满足：854.2李雅普诺夫稳定性的定义的任意初始态出则称是李雅普诺夫意义下稳定的。时变：与有关定常系统：与无关，是一致稳定的。注意：－向量范数(表示空间距离)欧几里得范数。86则称是李雅普诺夫意义下稳定的。112.渐近稳定1）是李雅普诺夫意义下的稳定2）一致渐近稳定3.大范围内渐近稳定性对都有872.渐近稳定12初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的大小无关)。非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状态空间出发的轨迹都收敛或其附近。88初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。线性系统(严格)：如当与无关大范围一致渐近稳定。必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态不稳定性：不管，有多小，只要内由出发的轨迹超出以外，则称此平衡状态是不稳定的。89当与无关大范围一致渐近稳定。14

线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。

非线性系统的平衡状态不稳定只说明轨迹离开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。90线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定。15图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹91图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹164.3李雅普诺夫第一法（间接法）

利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。

线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：

2）渐近稳定的充要条件：3）不稳定的充要条件：924.3李雅普诺夫第一法（间接法）3）不稳定的充要条件：1非线性系统的稳定性分析

假定非线性系统在平衡状态附近可展开成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性。设非线性系统状态方程：在平衡状态附近存在各阶偏导数，于是：

--非线性函数93非线性系统的稳定性分析--非线性函数18其中：--级数展开式中二阶以上各项之和94其中：--级数展开式中二阶以上各项之和19上式为向量函数的雅可比矩阵。令

则线性化系统方程为：

95上式为向量函数的雅可比矩阵。20结论：若，则非线性系统在处是渐近稳定的，与无关。若,则非线性系统不稳定。若，稳定性与有关，

则是李雅普诺夫意义下的稳定。

96结论：21例4-2：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处的稳定性。解：令97例4-2：已知非线性系统的状态方程为：试分析系统在平衡状态处9823可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。不能确定非线性系统在平衡状态xe2处稳定性。99可见非线性系统在平衡状态xe1处不稳定。不能确定非线性系统在4.4李雅普诺夫第二法(直接法)4.4.1预备知识1004.4李雅普诺夫第二法(直接法)4.4.1预备知识25

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10227本店经营各类毛绒玩具礼品、公仔、靠垫、挂件等等，支持批发零售，欢迎来样看样定做生产。为了赚人气，本店所有商品批发价销售，超低秒杀！虽然我们的信誉不高，但我们会以诚信为本，为您提供质高价廉的商品和优质的服务！祝您购物愉快！

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5.V(x)不定:v(x)>0或V(x)<0则V(x)是不定的。如：1045.V(x)不定:v(x)>0或V(x)<0105302.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定的。3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行列式为正值，则是负定的。

即:1062.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定107324.4.2几个稳定性定理设系统状态方程：其平衡状态满足，假定状态空间原点作为平衡状态()，并设在原点邻域存在对x的连续的一阶偏导数。1084.4.2几个稳定性定理33定理1：若(1)正定；(2)负定；

则原点是渐近稳定的。(3)当时,则系统在原点处是大范围渐近稳定的。说明：负定能量随时间连续单调衰减。定理2：若(1)正定；(2)负半定；(3)在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。109定理1：若(1)正定；34说明：不存在，经历能量等于恒定，但不维持在该状态。

定理3：若(1)正定；(2)负半定；(3)在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。110说明：不存在，35说明：系统维持等能量水平运动，使维持在非零状态而不运行至原点。定理4：若(1)正定；(2)正定

则原点是不稳定的。说明：正定能量函数随时间增大，在处发散。111说明：推论1：当正定，正半定，且在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。推论2：正定，负半定，若，，则原点是李雅普诺夫意义下稳定(同定理3)。112推论1：当正定，几点说明：选取不唯一，但没有通用办法，选取不当，会导致不定的结果。这仅仅是充分条件。--单调衰减(实际上是衰减振荡)113几点说明：38选取李雅普诺夫函数的方法:构造一个二次型函数；求，并代入状态方程；判断的定号性；判断非零状态情况下，是否为零。渐近稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定114选取李雅普诺夫函数的方法:渐近稳定李雅普诺夫意义下稳定不稳定令若成立李氏意义下稳定

若仅成立渐近稳定

若负半定115令若负半定40例4-3：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是唯一平衡点116例4-3：已知非线性系统的状态方程为：令原点是唯一平衡点41

设则负定原点是渐近稳定的；只有一个平衡状态，该系统是大范围渐近稳定；由于V(x)与t无关，又是大范围一致渐近稳定。定理1117设负定原点是渐近稳定的；只有一个平衡状态，该系统是大范围几何意义：等能量轨迹(整个平面)表示状态x到状态空间原点距离的一种度量。

如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随t的增加而连续地减小（即），则最终

。

118几何意义：等能量轨迹(整个平面)表示状态x到状态空间原点距离例4-4：已知非线性系统的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。解：令原点是唯一平衡点119例4-4：已知非线性系统的状态方程为：令原点是唯一平衡点44

设则负半定反设只有平衡状态满足120设负半定反设只有平衡状态这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨迹上。综合以上分析可知,系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。121这个结果是相矛盾的。所以这种情况不会发生在状态方程的解运动轨例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：1)

令即原点是平衡状态。设122例4-5：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。令即原点是平衡则：其它负半定令只有全零解非零状态时原点是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。定理2123则：其它负半定令只有全零解非零状态时原点例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解：设

则故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。

原点是平衡状态定理3124例4-6：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。原点是平衡状态例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。解:即设则可见与无关，故非零状态(如)有，而对其余任意状态有125例4-7：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。50

故正半定。令即非零状态时，不恒为零，则原点不稳定即系统不稳定。推论1126故正半定。推论1514.5线性定常系统渐近稳定性判别法设系统状态方程为：为唯一平衡状态。设选取如下的正定二次型函数为李氏函数则：--非奇异矩阵将代入：线性定常连续系统渐近稳定性判别1274.5线性定常系统渐近稳定性判别法--非奇异矩阵将

令由渐近稳定性定理1，只要Q正定(即负定)，则系统是大范围一致渐近稳定。定理：系统大范围渐近稳定的充要条件为:

给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使成立，则为系统的一个李雅普诺夫函数。128令53方法1：给定正定QP的定号性Q单位阵P的定号性方法2：Q取正半定(定理2)允许单位矩阵主对角线上部分元素为零。129方法1：给定正定QP的定号性54例4-8：解：选取130例4-8：5513156P正定

是大范围一致渐近稳定李雅普诺夫函数为:且132P正定是大范围一致渐近稳定李雅普诺夫函数为:且57例4-9: