第4章-时变电磁场与电磁波(时变电磁场)要点课件

第4章时变电磁场与电磁波主讲人：毕岗第4章时变电磁场与电磁波主讲人：毕岗1•在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。•英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。内容提要•在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁2主要内容法拉第电磁感应定律位移电流麦克斯韦方程组时变场的边界条件时变电磁场的能量与能流正弦电磁场波动方程时变电磁场中的位函数主要内容法拉第电磁感应定律3本章概貌时变场知识结构框图电磁感应定律全电流定律Maxwell方程组分界面上衔接条件动态位A,达朗贝尔方程正弦电磁场坡印亭定理与坡印亭矢量电磁辐射（应用）本章概貌时变场知识结构框图电磁感应定律全电流定律Maxwel44.1麦克斯韦方程组4.1.1法拉第电磁感应定律感应电动势的参考方向当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。式中ε为感应电动势，Φ为穿过曲面S和回路c交链的磁通（磁链）。如果回路有N匝线圈，则感应电动势为4.1麦克斯韦方程组4.1.1法拉第电磁感应定律感应电动5如果定义非保守感应场Ei沿闭合路径ι的积分为ι中的感应电动势，即有可见，感应电场的环路线积分值不恒为0，与静电场中由自由电荷激发出的电场不一样。如果定义非保守感应场Ei沿闭合路径ι的积分为ι中的感应电动6引起磁通变化的原因分为三类：动生电动势(1)导体回路对恒定磁场有相对运动(2)导体回路不动，磁场对时间有变化(3)导体回路以速度v运动，磁场对时间也有变化感生电动势引起磁通变化的原因分为三类：动生电动势(1)导体回路对恒定磁7法拉第电磁感应定律1)法拉第电磁感应定律的微分形式此式表明，随时间变化的磁场将激发电场。时变电场是一有旋场，随时间变化的磁场是该时变电场的源。称该电场为感应电场。即：感应电场是非保守场，其电力线是闭合曲线。所以可得利用斯托克斯定理，得法拉第电磁感应定律1)法拉第电磁感应定律的微分形式此式表明，8法拉第电磁感应定律实验变化的磁场产生感应电场变化的磁场产生感应电场法拉第电磁感应定律实验变化的磁场产生感应电场变化的94.1.2位移电流和全电流定律麦克斯韦第二定律表明，时变磁场要激发电场，那么反过来时变电场能不能激发磁场呢？或者静电场中的性质在时变场中应该修正以来代替，那么恒定磁场的性质安培环路定律在时变场中是否也要修正呢？4.1.2位移电流和全电流定律麦克斯韦第二定律表明，时变磁10全电流定律全电流定律积分形式上式表明，磁场强度沿任意闭合路径的积分等于该路径所包围曲面上的全电流。全电流定律全电流定律11位移电流的量纲是A/m2，即此因子具有电流密度的量纲，故称为位移电流密度Jd，即极化强度的变化引起的，称为极化电流电场随时间变化所引起的，不代表任何形式的电荷运动。位移电流的量纲是A/m2，即此因12例：在无源的自由空间中，已知磁场强度求位移电流密度Jd。解：在无源的自由空间中J=0，故有例：在无源的自由空间中，已知磁场强度13麦克斯韦方程组全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理高斯定理第1方程第2方程第3方程第4方程麦克斯韦方程组全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理高斯14麦克斯韦方程组积分形式麦克斯韦方程组积分形式15物质方程1）辅助方程——本构方程2）对于各向同性的线性媒质，有物质方程1）辅助方程——本构方程16媒质可分为均匀与不均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性之分。1)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与空间坐标无关，则是均匀媒质，否则是不均匀媒质；2)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量（E或H）的大小无关，则是线性媒质，否则是非线性媒质；3)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量的方向无关，则是各向同性媒质，否则是各向异性媒质。对于线性（Linear）、均匀(Homogeneous)、各向同性（Isotropic）媒质被称为L.H.I媒质。除非另外说明,这里涉及的媒质是线性、均匀、各向同性媒质。在真空（或空气）中，ε＝ε0，μ＝μ0，σ＝0。理想介质指的是电导率σ＝0的情况；理想导体是指电导率σ→∞的媒质。媒质可分为均匀与不均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性之分17例：已知在无源的自由空间中，其中E0、β为常数，求H。解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0，ρ=0。例：已知在无源的自由空间中，18因此，可得因此，可得194.2时变电磁场的边界条件表4-2-1时变电磁场边界条件的数学形式序号场量标量表达式矢量形式1电场强度切向2电位移矢量法向3磁场强度切向4磁感应强度法向5电流密度的法向6电流密度的切向4.2时变电磁场的边界条件表4-2-1时变电磁场边界条20时变电磁场边界条件概括如下：①电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量总是无条件连续的；②电位移矢量的法向分量在分界面上没有面分布的自由电荷时是连续的，否则就是不连续的；③磁场强度的切向分量在分界面上没有面电流时是连续的，否则是不连续的。时变电磁场边界条件概括如下：①电场强度的切向分量和磁感应强度21需要注意以下几点：(a)当分界面上的自由面电荷ρs=0时，电位移矢量D的法向分量连续，即D1n=D2n或ε1E1n=ε2E2n，但是分界面两侧的电场强度矢量的法向分量不连续，因为对不同的媒质ε1≠ε2，所以E1n≠ε2E2n。由于电场强度的切向分量连续，根据E1t=D1t/ε1，E2t=D2t/ε2，知D1t≠D2t，所以电位移切向分量是不连续的。需要注意以下几点：(a)当分界面上的自由面电荷ρs=0时22(b)磁感应强度的法向分量连续，即B1n=B2n(或μ1H1n＝μ2H2n)，但是磁场强度矢量的法向分量不连续，因为对不同的媒质μ1≠μ2，所以H1n≠H2n。不过，实际情况是，对于非磁性媒质，它们的磁导率都近似等于μ0，在不是很严格的情况下，可认为磁场强度的法向分量连续。当分界面上没有自由面电流时，磁场强度的切向分量连续，即H1t=H2t，根据B1t=μ1H1t，B2t=μ2H2t，可知此时B1t≠B2t，即磁感应强度的切向分量不连续，当两种媒质的磁导率都近似为μ0时，可认为连续。

(b)磁感应强度的法向分量连续，即B1n=B2n(或μ23(c)分界面上的边界条件不是独立的，对时变电磁场，只要电场强度和磁场强度的切向分量边界条件满足表4-2-1的式1和式3，则磁感应强度和电位移法向分量边界条件必定满足表4-2-1的式2和式4。(c)分界面上的边界条件不是独立的，对时变电磁场，只要电场244.2.2理想介质分界面之间的边界条件在两种理想介质的分界面上没有面电流密度和自由电荷密度，即Js=0，ρs=0。故分界面上的边界条件为1）电场E的切向方向连续：E1t=E2t，2）磁场H的切向方向连续：H1t=H2t；3）电位移矢量D的法向方向连续：D1n=D2n；4）磁感应强度B的法向方向连续：B1n=B2n。4.2.2理想介质分界面之间的边界条件在两种理想介质的分界254.2.3理想介质与理想导体分界面的

边界条件由边界条件可见，电场总是与导体表面垂直，磁场总是与导体表面相切。σ1=0σ2=∞D

EnB

HJs4.2.3理想介质与理想导体分界面的

边界条件由边界条件可26例1.设在截面矩形的金属波导中的时变电磁场量H、E，求波导内壁上的电荷及电流a:宽壁长度，b:窄壁长度0axyzb例1.设在截面矩形的金属波导中的时变电磁场量H、E，求波导27例：设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。解：理想导体表面上的电流分布为例：设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想28由分界面上的电流连续性方程，可得由分界面上的电流连续性方程，可得29假设t=0时，ρs=0，假设t=0时，ρs=0，30由边界条件n·D=ρs以及n的方向，可得由边界条件n·D=ρs以及n的方向，可得314.3坡印廷定理和坡印廷矢量4.3.1坡印亭定理电磁场是一种物质并具有能量，我们已经知道在各向同性线性媒质的静态场中电场能量密度为磁场能量密度为总的电磁能量密度为

4.3坡印廷定理和坡印廷矢量4.3.1坡印亭定理磁场能量32对于时变电磁场而言，上述能量密度公式还是适用的，它们不仅是坐标的函数，而且还是时间的函数，电场和磁场之间相互激发，相互转化，并以波动的形式在空间运动和传播，此时电磁总能量密度写成如下形式：式(4-3-4)表示能量密度是空间位置和时间的函数，说明空间各点电磁能量密度在发生转移和变化，转移和变化规律由坡印廷定理(Poynting'sTheorem)给出，该定理指出了电磁能量守恒与转换关系，是由英国物理学家坡印廷(JohnH.Poynting)在1884年最初提出，它可由麦克斯韦方程组直接导出。对于时变电磁场而言，上述能量密度公式还是适用的，它们不仅是坐33坡印廷定理的数学表述电磁能量的时间变化率式(4-3-5)即为坡印廷定理的数学表示式，该式的物理意义可描述如下

即为体积内电磁总能量的减少率。

热功率密度，即单位时间内单位体积上消耗的焦耳热

为单位时间内从体积V表面流出去的能量，即通过S流出体积V的功率。坡印廷定理的数学表述电磁能量的时间变化率式(4-3-5)即为34坡印亭矢量S代表单位时间经曲面S流出体积V的电磁能量，换句话说，是经曲面S流出体积V的功率，所以代表通过单位面积的电磁场功率流，或电磁场的功率密度(能流密度)，令则S即为电磁功率密度，且是矢量，习惯上称为坡印廷矢量，单位为W/m2，坡印亭矢量S代表单位时35S的方向为能量流动的方向，可由EH的右手定则确定，如图4-3-1所示，大小为垂直流过单位面积的功率。因此坡印廷矢量也称为电磁功率流密度矢量或能流密度矢量。S的方向为能量流动的方向，可由EH的右手定则确定，如图436例：试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表面的坡印亭矢量，并验证坡印亭定理。解：设电流均匀分布在导线的横截面上，于是有在导线表面ιzEHS例：试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表37因此，导线表面的坡印亭矢量它的方向处处指向导体表面。将坡印亭矢量沿导线表面积分，有这表明，从导体表面流入的电磁能量等于导体内部欧姆热损耗功率。就验证了坡印亭定理。因此，导线表面的坡印亭矢量38例：用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。dsabr例：用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。394.4时谐变电磁场正弦电磁场各分量的振幅值各分量的初相角4.4.1时谐变电磁场的形成过程4.4时谐变电磁场正弦电磁场各分量的振幅值各分量的初相角4404.4.2时谐变电磁场复矢量表示法复振幅：复振形式：4.4.2时谐变电磁场复矢量表示法复振幅：复振形式：41电场强度矢量的复数表示式复振幅矢量复矢量电场强度矢量的复数表示式复振幅矢量42电场强度矢量的复数表示式瞬时值电场强度矢量的复数表示式43例：将下列复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相应的变换。解：例：将下列复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相应的变换。44第4章-时变电磁场与电磁波(时变电磁场)要点课件45例：将下例场矢量的复数形式写为瞬时值形式。解：例：将下例场矢量的复数形式写为瞬时值形式。464.4.3麦克斯韦方程的复数形式在复数运算中，对复数的微分和积分运算是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故有因此4.4.3麦克斯韦方程的复数形式在复数运算中，对复数的微分和47同理可得电流连续性方程：同理可得电流连续性方程：48第4章-时变电磁场与电磁波(时变电磁场)要点课件49电流连续性方程的复数形式为1）微分形式2）积分形式3）本构方程的复数形式为

电流连续性方程的复数形式为1）微分形式504.4.4复数形式的坡印廷矢量坡印亭矢量的复数表示式用复振幅形式表示4.4.4复数形式的坡印廷矢量坡印亭矢量的复数表示式用复51例：设电场和磁场强度的瞬时值分别为试证明例：设电场和磁场强度的瞬时值分别为试证明52复坡印亭矢量瞬时和附属表示1）瞬时表示式2）复数表示式复坡印亭矢量瞬时和附属表示1）瞬时表示式53因此坡印亭矢量瞬时值可表示因此坡印亭矢量瞬时值可表示54坡印亭矢量平均值1）在一个周期T=2/内的平均值为2)坡印亭复矢量表示复功率流密度，其实部表示平均功率流密度（有功功率流密度），虚部表示无功功率流密度。坡印亭矢量平均值1）在一个周期T=2/内的平均值为2)坡55电场、磁场能量密度和导电损耗功率密度类似地可得到电场、磁场能量密度和导电损耗功率密度：电场、磁场能量密度和导电损耗功率密度类似地可得到电场、磁场能56电场、磁场储能以及导电损耗功率在一个周期内的平均值单位体积电场、磁场储能以及导电损耗功率在一个周期内的平均值分别为电场、磁场储能以及导电损耗功率在一个周期内的平均值单位体积电57复介电常数与复导磁率媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化与传导，它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、磁导率和电导率。在静态场中，这些参数都是实常数；在时变场中，一般情况下，描述媒质色散特性的宏观参数为复数，其实部和虚部都是频率的函数，且虚部都是大于零的正数，即复介电常数与复导磁率媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁58极化功率损耗的时间平均值电介质单位体积极化功率损耗的时间平均值式中Em为振幅值。上式表明，复介电常数的虚部反映介质的极化损耗；同样，复磁导率虚部反映磁化损耗。极化功率损耗的时间平均值电介质单位体积极化功率损耗的时间平均59损耗角正切由给定的频率上的损耗角正切的大小，可以说明媒质在该频率上的损耗大小。对于具有复介电常数的导电媒质，有损耗角正切60即上式表示，导电媒质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替；导电媒质的电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示。/代表媒质的导电损耗，因此可以把导体也视为一种等效的有耗电介质。即61用复数表示的坡印亭定理.利用公式可得：这就是用复数表示的坡印亭定理。用复数表示的坡印亭定理.利用公式这就是用复数表示的坡印亭定62设为实数，磁导率和介电常数为复数，则有设为实数，磁导率和介电常数为复数，则有63复坡印亭定理代入坡印亭定理复数表示式，得pav,c，pav,e,pav,m分别为单位体积内的导电损耗功率,极化损耗功率和磁化损耗功率的时间平均值；wav,m,wav,e为电场、磁场能量密度的时间平均值。复坡印亭定理代入坡印亭定理复数表示式，得64复坡印亭定理例：已知无源的自由空间中，时变电场的电场强度复矢量式中k、E0为常数。求：（1）磁场强度复矢量；（2）坡印亭矢量的瞬时值；（3）平均坡印亭矢量。复坡印亭定理例：已知无源的自由空间中，时变电场的电场强度复矢65复坡印亭定理解：（1）因为无源，所以J=0，=0。由得（2）电场、磁场的瞬时值为复坡印亭定理解：（1）因为无源，所以J=0，=0。由66复坡印亭定理所以坡印亭矢量的瞬时值为（3）平均坡印亭矢量为复坡印亭定理所以坡印亭矢量的瞬时值为674.5平面电磁波4.5.1无源空间波动方程均匀、线性、各向同性媒质（且J=0，ρ=0，σ=0），麦克斯韦方程为4.5平面电磁波4.5.1无源空间波动方程均匀、线性、68对（2）式两边取旋度，并利用矢量恒等式代入（1）和（4）式，得对（2）式两边取旋度，并利用矢量恒等式69波动方程表示式同样，可得所以无源空间的瞬时矢量的波动方程为波动方程表示式同样，可得70无源空间标量波动方程（直角坐标系）无源空间标量波动方程（直角坐标系）71对于正弦电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形式的波动方程：上式分别是E和H满足的无源空间的复数矢量波动方程，又称为矢量齐次亥姆霍兹方程。对于正弦电磁场，可由复数形式的麦克斯韦方程导出复数形式的波动724.5.2有源空间的波动方程有源的麦克斯韦方程组对（1）等式两边求旋度4.5.2有源空间的波动方程有源的麦克斯韦方程组对（1）等式73利用恒等式可得用同样的方法可得上式称为有源区域非齐次波动方程。直接求解这两个方程相当困难。为使分析得以简化，可以像静态场那样引入位函数。利用恒等式可得用同样的方法可得上式称为有源区域非齐次波动方程744.5.3时变电磁场中的位函数4.5.3时变电磁场中的位函数75A称为矢量位，单位为韦伯/米；称为标量位，单位为伏。如果已知A和，可按下式确定B和E：但满足这两式的A和并不是唯一的。例如A称为矢量位，单位为韦伯/米；称为标量位，单位为伏。如果已76时变电磁场中的位函数从以上分析可见，位函数从A和变到A’和’并未引起B和E的变化，A和并不是唯一的。为了唯一地确定A和，还须规定A的散度。下面推导时变电磁场中，矢量位和标量位在均匀媒质中满足的波动方程。时变电磁场中的位函数从以上分析可见，位函数从A和变到A’和77时变电磁场中的位函数（1）、（2）两式都包含了A和，是联立方程。如果适当地选择•A的值，就可以使这两个方程进一步简化为分别只含一个位函数的方程。时变电磁场中的位函数（1）、（2）两式都包含了A和，是联立78为此我们选择此式称为洛仑兹条件或洛仑兹规范。把它代入到（1）和（2）式中，得达朗贝尔方程为此我们选择达朗贝尔方程791）正弦电磁场的复数表示式2）洛仑兹条件为3）A和的方程1）正弦电磁场的复数表示式80例：已知时变电磁场中矢量位

求电场强度、磁场强度和坡印亭矢量。解：例：已知时变电磁场中矢量位81如果假设过去某一个时刻，场还未建立，则

=C=0所以坡印亭矢量的瞬时值：如果假设过去某一个时刻，场还未建立，则822.理想介质中的平面波

已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程

若电场强度E仅与坐标变量z有关，与x

,y无关，则电场强度不可能存在z

分量。

令电场强度方向为

x方向，即，则磁场强度H为2.理想介质中的平面波已知正弦电磁场在无外源83第4章时变电磁场与电磁波主讲人：毕岗第4章时变电磁场与电磁波主讲人：毕岗84•在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。•英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。内容提要•在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁85主要内容法拉第电磁感应定律位移电流麦克斯韦方程组时变场的边界条件时变电磁场的能量与能流正弦电磁场波动方程时变电磁场中的位函数主要内容法拉第电磁感应定律86本章概貌时变场知识结构框图电磁感应定律全电流定律Maxwell方程组分界面上衔接条件动态位A,达朗贝尔方程正弦电磁场坡印亭定理与坡印亭矢量电磁辐射（应用）本章概貌时变场知识结构框图电磁感应定律全电流定律Maxwel874.1麦克斯韦方程组4.1.1法拉第电磁感应定律感应电动势的参考方向当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电动势，这就是法拉弟电磁感应定律。式中ε为感应电动势，Φ为穿过曲面S和回路c交链的磁通（磁链）。如果回路有N匝线圈，则感应电动势为4.1麦克斯韦方程组4.1.1法拉第电磁感应定律感应电动88如果定义非保守感应场Ei沿闭合路径ι的积分为ι中的感应电动势，即有可见，感应电场的环路线积分值不恒为0，与静电场中由自由电荷激发出的电场不一样。如果定义非保守感应场Ei沿闭合路径ι的积分为ι中的感应电动89引起磁通变化的原因分为三类：动生电动势(1)导体回路对恒定磁场有相对运动(2)导体回路不动，磁场对时间有变化(3)导体回路以速度v运动，磁场对时间也有变化感生电动势引起磁通变化的原因分为三类：动生电动势(1)导体回路对恒定磁90法拉第电磁感应定律1)法拉第电磁感应定律的微分形式此式表明，随时间变化的磁场将激发电场。时变电场是一有旋场，随时间变化的磁场是该时变电场的源。称该电场为感应电场。即：感应电场是非保守场，其电力线是闭合曲线。所以可得利用斯托克斯定理，得法拉第电磁感应定律1)法拉第电磁感应定律的微分形式此式表明，91法拉第电磁感应定律实验变化的磁场产生感应电场变化的磁场产生感应电场法拉第电磁感应定律实验变化的磁场产生感应电场变化的924.1.2位移电流和全电流定律麦克斯韦第二定律表明，时变磁场要激发电场，那么反过来时变电场能不能激发磁场呢？或者静电场中的性质在时变场中应该修正以来代替，那么恒定磁场的性质安培环路定律在时变场中是否也要修正呢？4.1.2位移电流和全电流定律麦克斯韦第二定律表明，时变磁93全电流定律全电流定律积分形式上式表明，磁场强度沿任意闭合路径的积分等于该路径所包围曲面上的全电流。全电流定律全电流定律94位移电流的量纲是A/m2，即此因子具有电流密度的量纲，故称为位移电流密度Jd，即极化强度的变化引起的，称为极化电流电场随时间变化所引起的，不代表任何形式的电荷运动。位移电流的量纲是A/m2，即此因95例：在无源的自由空间中，已知磁场强度求位移电流密度Jd。解：在无源的自由空间中J=0，故有例：在无源的自由空间中，已知磁场强度96麦克斯韦方程组全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理高斯定理第1方程第2方程第3方程第4方程麦克斯韦方程组全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理高斯97麦克斯韦方程组积分形式麦克斯韦方程组积分形式98物质方程1）辅助方程——本构方程2）对于各向同性的线性媒质，有物质方程1）辅助方程——本构方程99媒质可分为均匀与不均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性之分。1)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与空间坐标无关，则是均匀媒质，否则是不均匀媒质；2)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量（E或H）的大小无关，则是线性媒质，否则是非线性媒质；3)若描述电磁特性的参数(ε、μ、σ)与场量的方向无关，则是各向同性媒质，否则是各向异性媒质。对于线性（Linear）、均匀(Homogeneous)、各向同性（Isotropic）媒质被称为L.H.I媒质。除非另外说明,这里涉及的媒质是线性、均匀、各向同性媒质。在真空（或空气）中，ε＝ε0，μ＝μ0，σ＝0。理想介质指的是电导率σ＝0的情况；理想导体是指电导率σ→∞的媒质。媒质可分为均匀与不均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性之分100例：已知在无源的自由空间中，其中E0、β为常数，求H。解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0，ρ=0。例：已知在无源的自由空间中，101因此，可得因此，可得1024.2时变电磁场的边界条件表4-2-1时变电磁场边界条件的数学形式序号场量标量表达式矢量形式1电场强度切向2电位移矢量法向3磁场强度切向4磁感应强度法向5电流密度的法向6电流密度的切向4.2时变电磁场的边界条件表4-2-1时变电磁场边界条103时变电磁场边界条件概括如下：①电场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量总是无条件连续的；②电位移矢量的法向分量在分界面上没有面分布的自由电荷时是连续的，否则就是不连续的；③磁场强度的切向分量在分界面上没有面电流时是连续的，否则是不连续的。时变电磁场边界条件概括如下：①电场强度的切向分量和磁感应强度104需要注意以下几点：(a)当分界面上的自由面电荷ρs=0时，电位移矢量D的法向分量连续，即D1n=D2n或ε1E1n=ε2E2n，但是分界面两侧的电场强度矢量的法向分量不连续，因为对不同的媒质ε1≠ε2，所以E1n≠ε2E2n。由于电场强度的切向分量连续，根据E1t=D1t/ε1，E2t=D2t/ε2，知D1t≠D2t，所以电位移切向分量是不连续的。需要注意以下几点：(a)当分界面上的自由面电荷ρs=0时105(b)磁感应强度的法向分量连续，即B1n=B2n(或μ1H1n＝μ2H2n)，但是磁场强度矢量的法向分量不连续，因为对不同的媒质μ1≠μ2，所以H1n≠H2n。不过，实际情况是，对于非磁性媒质，它们的磁导率都近似等于μ0，在不是很严格的情况下，可认为磁场强度的法向分量连续。当分界面上没有自由面电流时，磁场强度的切向分量连续，即H1t=H2t，根据B1t=μ1H1t，B2t=μ2H2t，可知此时B1t≠B2t，即磁感应强度的切向分量不连续，当两种媒质的磁导率都近似为μ0时，可认为连续。

(b)磁感应强度的法向分量连续，即B1n=B2n(或μ106(c)分界面上的边界条件不是独立的，对时变电磁场，只要电场强度和磁场强度的切向分量边界条件满足表4-2-1的式1和式3，则磁感应强度和电位移法向分量边界条件必定满足表4-2-1的式2和式4。(c)分界面上的边界条件不是独立的，对时变电磁场，只要电场1074.2.2理想介质分界面之间的边界条件在两种理想介质的分界面上没有面电流密度和自由电荷密度，即Js=0，ρs=0。故分界面上的边界条件为1）电场E的切向方向连续：E1t=E2t，2）磁场H的切向方向连续：H1t=H2t；3）电位移矢量D的法向方向连续：D1n=D2n；4）磁感应强度B的法向方向连续：B1n=B2n。4.2.2理想介质分界面之间的边界条件在两种理想介质的分界1084.2.3理想介质与理想导体分界面的

边界条件由边界条件可见，电场总是与导体表面垂直，磁场总是与导体表面相切。σ1=0σ2=∞D

EnB

HJs4.2.3理想介质与理想导体分界面的

边界条件由边界条件可109例1.设在截面矩形的金属波导中的时变电磁场量H、E，求波导内壁上的电荷及电流a:宽壁长度，b:窄壁长度0axyzb例1.设在截面矩形的金属波导中的时变电磁场量H、E，求波导110例：设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。解：理想导体表面上的电流分布为例：设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想111由分界面上的电流连续性方程，可得由分界面上的电流连续性方程，可得112假设t=0时，ρs=0，假设t=0时，ρs=0，113由边界条件n·D=ρs以及n的方向，可得由边界条件n·D=ρs以及n的方向，可得1144.3坡印廷定理和坡印廷矢量4.3.1坡印亭定理电磁场是一种物质并具有能量，我们已经知道在各向同性线性媒质的静态场中电场能量密度为磁场能量密度为总的电磁能量密度为

4.3坡印廷定理和坡印廷矢量4.3.1坡印亭定理磁场能量115对于时变电磁场而言，上述能量密度公式还是适用的，它们不仅是坐标的函数，而且还是时间的函数，电场和磁场之间相互激发，相互转化，并以波动的形式在空间运动和传播，此时电磁总能量密度写成如下形式：式(4-3-4)表示能量密度是空间位置和时间的函数，说明空间各点电磁能量密度在发生转移和变化，转移和变化规律由坡印廷定理(Poynting'sTheorem)给出，该定理指出了电磁能量守恒与转换关系，是由英国物理学家坡印廷(JohnH.Poynting)在1884年最初提出，它可由麦克斯韦方程组直接导出。对于时变电磁场而言，上述能量密度公式还是适用的，它们不仅是坐116坡印廷定理的数学表述电磁能量的时间变化率式(4-3-5)即为坡印廷定理的数学表示式，该式的物理意义可描述如下

即为体积内电磁总能量的减少率。

热功率密度，即单位时间内单位体积上消耗的焦耳热

为单位时间内从体积V表面流出去的能量，即通过S流出体积V的功率。坡印廷定理的数学表述电磁能量的时间变化率式(4-3-5)即为117坡印亭矢量S代表单位时间经曲面S流出体积V的电磁能量，换句话说，是经曲面S流出体积V的功率，所以代表通过单位面积的电磁场功率流，或电磁场的功率密度(能流密度)，令则S即为电磁功率密度，且是矢量，习惯上称为坡印廷矢量，单位为W/m2，坡印亭矢量S代表单位时118S的方向为能量流动的方向，可由EH的右手定则确定，如图4-3-1所示，大小为垂直流过单位面积的功率。因此坡印廷矢量也称为电磁功率流密度矢量或能流密度矢量。S的方向为能量流动的方向，可由EH的右手定则确定，如图4119例：试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表面的坡印亭矢量，并验证坡印亭定理。解：设电流均匀分布在导线的横截面上，于是有在导线表面ιzEHS例：试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的长直导线表120因此，导线表面的坡印亭矢量它的方向处处指向导体表面。将坡印亭矢量沿导线表面积分，有这表明，从导体表面流入的电磁能量等于导体内部欧姆热损耗功率。就验证了坡印亭定理。因此，导线表面的坡印亭矢量121例：用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。dsabr例：用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。1224.4时谐变电磁场正弦电磁场各分量的振幅值各分量的初相角4.4.1时谐变电磁场的形成过程4.4时谐变电磁场正弦电磁场各分量的振幅值各分量的初相角41234.4.2时谐变电磁场复矢量表示法复振幅：复振形式：4.4.2时谐变电磁场复矢量表示法复振幅：复振形式：124电场强度矢量的复数表示式复振幅矢量复矢量电场强度矢量的复数表示式复振幅矢量125电场强度矢量的复数表示式瞬时值电场强度矢量的复数表示式126例：将下列复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相应的变换。解：例：将下列复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相应的变换。127第4章-时变电磁场与电磁波(时变电磁场)要点课件128例：将下例场矢量的复数形式写为瞬时值形式。解：例：将下例场矢量的复数形式写为瞬时值形式。1294.4.3麦克斯韦方程的复数形式在复数运算中，对复数的微分和积分运算是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故有因此4.4.3麦克斯韦方程的复数形式在复数运算中，对复数的微分和130同理可得电流连续性方程：同理可得电流连续性方程：131第4章-时变电磁场与电磁波(时变电磁场)要点课件132电流连续性方程的复数形式为1）微分形式2）积分形式3）本构方程的复数形式为

电流连续性方程的复数形式为1）微分形式1334.4.4复数形式的坡印廷矢量坡印亭矢量的复数表示式用复振幅形式表示4.4.4复数形式的坡印廷矢量坡印亭矢量的复数表示式用复134例：设电场和磁场强度的瞬时值分别为试证明例：设电场和磁场强度的瞬时值分别为试证明135复坡印亭矢量瞬时和附属表示1）瞬时表示式2）复数表示式复坡印亭矢量瞬时和附属表示1）瞬时表示式136因此坡印亭矢量瞬时值可表示因此坡印亭矢量瞬时值可表示137坡印亭矢量平均值1）在一个周期T=2/内的平均值为2)坡印亭复矢量表示复功率流密度，其实部表示平均功率流密度（有功功率流密度），虚部表示无功功率流密度。坡印亭矢量平均值1）在一个周期T=2/内的平均值为2)坡138电场、磁场能量密度和导电损耗功率密度类似地可得到电场、磁场能量密度和导电损耗功率密度：电场、磁场能量密度和导电损耗功率密度类似地可得到电场、磁场能139电场、磁场储能以及导电损耗功率在一个周期内的平均值单位体积电场、磁场储能以及导电损耗功率在一个周期内的平均值分别为电场、磁场储能以及导电损耗功率在一个周期内的平均值单位体积电140复介电常数与复导磁率媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁化与传导，它们可用一组宏观电磁参数表征，即介电常数、磁导率和电导率。在静态场中，这些参数都是实常数；在时变场中，一般情况下，描述媒质色散特性的宏观参数为复数，其实部和虚部都是频率的函数，且虚部都是大于零的正数，即复介电常数与复导磁率媒质在电磁场作用下呈现三种状态：极化、磁141极化功率损耗的时间平均值电介质单位体积极化功率损耗的时间平均值式中Em为振幅值。上式表明，复介电常数的虚部反映介质的极化损耗；同样，复磁导率虚部反映磁化损耗。极化功率损耗的时间平均值电介质单位体积极化功率损耗的时间平均142损耗角正切由给定的频率上的损耗角正切的大小，可以说明媒质在该频率上的损耗大小。对于具有复介电常数的导电媒质，有损耗角正切143即上式表示，导电媒质中的传导电流和位移电流可以用一个等效的位移电流代替；导电媒质的电导率和介电常数的总效应可用一个等效复介电常数表示。/代表媒质的导电损耗，因此可以把导体也视为一种等效的有耗电介质。即144用复数表示的坡印亭定理.利用公式可得：这就是用复数表示的坡印亭定理。用复数表示的坡印亭定理.利用公式这就是用复数表示的坡印亭定145设为实数，磁导率和介电常数为复数，则有设为实数，磁导率和介电常数为复数，则有146复坡印亭定理代入坡印亭定理复数表示式，得pav,c，pav,e,pav,m分别为单位体积内的导电损耗功率,极化损耗功率和