同济第五版高数3-5极值最值课件

第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值以及求法二、最大值最小值问题第五节函数的极值一、函数的极值以及求法二、最大值最小值问11.极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.一、函数的极值以及求法1.极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值22.函数极值的求法观察极值点处函数的特征：定理1(必要条件)驻点:使导数为零的点2.函数极值的求法观察极值点处函数的特征：定理1(必要条件)3例如,于是，对于可导函数,可以先求出驻点，再确定其是否为极值点.例如,于是，对于可导函数,可以4的极值存在吗？存在极小值但在处不可导.于是,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.怎样判定函数在驻点或不可导点处是否取得极值？可能的极值点：驻点或不可导点的极值存在吗？存在极小值但在5(是极值点情形)(不是极值点情形)设是驻点,观察其左右两旁的函数增减：怎样判定函数在驻点或不可导点处是否取得极值？(是极值点情形)(不是极值点情形)设是驻点6则f(x)在处取得极小值.则f(x)在处取得极大值.有(2)如果符号相同,则在处无极值.定理2(第一充分条件)而有

(3)如果当及时,而有(1)如果有设f(x)在处连续,且在内可导，则f(x)在处取得极小值.则f(x)在处取得7求可导函数极值的步骤:求可导函数极值的步骤:8例1解列表讨论：极大值极小值例1解列表讨论：极大值极小值9图形如下：图形如下：10定理3(第二充分条件)设在处具有二阶导数,且(2)当时,函数在处取得那么极小值.时,函数在处取得(1)当极大值；定理3(第二充分条件)设在处具有二阶11是极小值，是极大值.上例求的极值.又由极值的第二充分条件,可以根据驻点处二阶导数的符号来判定函数是否有极值.是极小值，是极大值.上例求的极值.又由极值的第二12证(2)同理可证.在处取得极大值．函数由第一充分条件(1),知证(2)同理可证.在处取得极大值．函数由第一13例2解再用定理2(第一充分条件)来判别：例2解再用定理2(第一充分条件)来判别：14注意:注意:15例3解连续函数的不可导点,也可能是函数的极值点注意:例3解连续函数的不可导点,也可能是注意16二、最大值与最小值问题求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值则其最大(小)值只能在极值点或端点处达到.二、最大值与最小值问题求函数最值的方法:(1)求17特别地

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.

(小)

对于应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)特别地当在内只有一个极值可18例4

求函数在闭区间上的最大值和最小值.解例4求函数在闭区间上的最大值和最小值.解19故函数在取最小值0;端点函数值故函数在取最小值0;端点函数值20例5

铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20Km,AC⊥AB,要在AB线上选定每公里货运价之比为3:5,为使货物从B运到工厂C的运费最省,问D点应如何选取?20一点D向工厂修一条公路,

已知铁路与公路例5铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A2120解则令得

故AD=15km时运费最省.总运费从而为最小点,设20解则令得故AD=15km时运费最省.总运费从而为22例6

把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,解

由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?例6把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,解由力学分析知矩23由实际意义可知,所求最值存在,又驻点惟一,故所求结果使梁的抗弯截面模量最大，求解即为最好的选择.由实际意义可知,所求最值存在,又驻点惟一,故所求结果使梁的抗241.连续函数的极值(1)极值可疑点:驻点或不存在的点(2)极值的判定法过由正变负为极大值过由负变正为极小值为极大值为极小值小结(注意使用条件)第一充分条件第二充分条件1.连续函数的极值(1)极值可疑点:驻点或不存在的点(2252.连续函数的最大值和最小值最值点在极值点或边界点取得；应用题可根据问题的实际意义判别最大值和最小值.（3）极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2.连续函数的最大值和最小值最值点在极值点或边界点取得；26思考题1.下列命题正确吗？思考题1.下列命题正确吗？27的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.提示:利用极限的保号性.2.

设则在点处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.提示:28思考题解答1.不正确．例当时，于是为的极小值点思考题解答1.不正确．例当时，于是29在–1和1之间振荡故命题不成立．当时，当时，因而在的两侧都不单调.在–1和1之间振荡故命题不成立．当时，当30的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.提示:利用极限的保号性.2.

设则在点处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.提示:312.

选B.由极限的保号性，2.选B.由极限的保号性，32作业习题3－51.(3);(8);(10);3;5;7;9;15.作业习题3－51.(3);(8);(10);3;33练习题1附录练习题1附录34同济第五版高数3-5极值最值课件35练习题答案练习题答案36练习题2练习题237同济第五版高数3-5极值最值课件38同济第五版高数3-5极值最值课件39练习题答案练习题答案40第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值以及求法二、最大值最小值问题第五节函数的极值一、函数的极值以及求法二、最大值最小值问411.极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.一、函数的极值以及求法1.极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值422.函数极值的求法观察极值点处函数的特征：定理1(必要条件)驻点:使导数为零的点2.函数极值的求法观察极值点处函数的特征：定理1(必要条件)43例如,于是，对于可导函数,可以先求出驻点，再确定其是否为极值点.例如,于是，对于可导函数,可以44的极值存在吗？存在极小值但在处不可导.于是,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.怎样判定函数在驻点或不可导点处是否取得极值？可能的极值点：驻点或不可导点的极值存在吗？存在极小值但在45(是极值点情形)(不是极值点情形)设是驻点,观察其左右两旁的函数增减：怎样判定函数在驻点或不可导点处是否取得极值？(是极值点情形)(不是极值点情形)设是驻点46则f(x)在处取得极小值.则f(x)在处取得极大值.有(2)如果符号相同,则在处无极值.定理2(第一充分条件)而有

(3)如果当及时,而有(1)如果有设f(x)在处连续,且在内可导，则f(x)在处取得极小值.则f(x)在处取得47求可导函数极值的步骤:求可导函数极值的步骤:48例1解列表讨论：极大值极小值例1解列表讨论：极大值极小值49图形如下：图形如下：50定理3(第二充分条件)设在处具有二阶导数,且(2)当时,函数在处取得那么极小值.时,函数在处取得(1)当极大值；定理3(第二充分条件)设在处具有二阶51是极小值，是极大值.上例求的极值.又由极值的第二充分条件,可以根据驻点处二阶导数的符号来判定函数是否有极值.是极小值，是极大值.上例求的极值.又由极值的第二52证(2)同理可证.在处取得极大值．函数由第一充分条件(1),知证(2)同理可证.在处取得极大值．函数由第一53例2解再用定理2(第一充分条件)来判别：例2解再用定理2(第一充分条件)来判别：54注意:注意:55例3解连续函数的不可导点,也可能是函数的极值点注意:例3解连续函数的不可导点,也可能是注意56二、最大值与最小值问题求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值则其最大(小)值只能在极值点或端点处达到.二、最大值与最小值问题求函数最值的方法:(1)求57特别地

当在内只有一个极值可疑点时,

当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.

(小)

对于应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)特别地当在内只有一个极值可58例4

求函数在闭区间上的最大值和最小值.解例4求函数在闭区间上的最大值和最小值.解59故函数在取最小值0;端点函数值故函数在取最小值0;端点函数值60例5

铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A处20Km,AC⊥AB,要在AB线上选定每公里货运价之比为3:5,为使货物从B运到工厂C的运费最省,问D点应如何选取?20一点D向工厂修一条公路,

已知铁路与公路例5铁路上AB段的距离为100km,工厂C

距A6120解则令得

故AD=15km时运费最省.总运费从而为最小点,设20解则令得故AD=15km时运费最省.总运费从而为62例6

把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,解

由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为问矩形截面的高h和b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?例6把一根直径为d的圆木锯成矩形梁,解由力学分析知矩63由实际意义可知,所求最值存在,又驻点惟一,故所求结果使梁的抗弯截面模量最大，求解即为最好的选择.由实际意义可知,所求最值存在,又驻点惟一,故所求结果使梁的抗641.连续函数的极值(1)极值可疑点:驻点或不存在的点(2)极值的判定法过由正变负为极大值过由负变正为极小值为极大值为极小值小结(注意使用条件)第一充分条件第二充分条件1.连续函数的极值(1)极值可疑点:驻点或不存在的点(2652.连续函数的最大值和最小值最值点在极值点或边界点取得；应用题可根据问题的实际意义判别最大值和最小值.（3）极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2.连续函数的最大值和最小值最值点在极值点或边界点取得；66思考题1.下列命题正确吗？思考题1.下列命题正确吗？67