振动教学讲解课件-

§两个简谐函数之和所表达的振动

其合振动用设t=0时刻)tcos(Aj+w=xx21+xy0PMx=合矢量的投影值OP随时间的变化正反映两简谐函数之和随时间的变化。这说明，同频率的两个简谐函数之和仍为简谐函数，其频率与分矢量的频率相同。设两个旋转矢量tcos(A)tcos(A211j+w+j+w=)2§两个简谐函数之和所表达的振动其合振动用设t=0时刻)t1（2）又从图中OMP可知21sinsin21jjAA+21coscos21jjAA+=yxjtg=（3）这样，从旋转失量图上可直接求得合振幅A和初相角。0xyMP设初始时刻，和与X轴夹角分别为，和，由余弦定理可求出振幅A的值，即A1A2A=y+yxx+1122（2）又从图中OMP可知21sinsin21jjAA+21c2从（3）式可知，合振幅A与两个分振动的相角有关。振动教学讲解课件-3如图所示如图所示4xtxt5XtXt6xtxt7

当代表两个分振动的旋转矢量以不同的角速度（假设>）旋转时，它们之间的夹角将不断改变，因此平行四边形的形状也在不断改变。合矢量的长度以及它旋转的角速度都在不断变化。这时，合矢量在X轴的投影不再是时间的简谐函数了，也就是说，合矢量的旋转不再代表简谐振动了。为简单起见，假定两分振动的振幅和初相角都相等，分别为和。二、不同频率的两个简谐函数支和当代表两个分振动的旋转矢量以8X0则两简谐函数之和为一般情况下，由（6）式观察不到合振动有明显的周期性，因此，振动情况比较复杂。X0则两简谐函数之和为一般情况下，由（6）式9※当

2

1时

2-

1

2+

1其中随ｔ缓变随ｔ快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动这样的两个简谐函数之和称为拍。这时合矢量在X轴上投影的变化就和简谐函数的变化有点相似，即投影的变化可看成是振幅在缓慢变化的“简谐振动”。※当21时2-1210。,。,，021振幅最大合振动的这时均为零于是两个分振动的初相轴于两矢量方向一致地重合时刻设xAAt=设振幅矢量频率相近的两个简谐函数的合成——拍现象情况是：两个分振动的频率都较大，但它们的差值很小，，这时合振动就会出现明显的周期性。

即拍现象。,。,，021振幅最大合振动的这时均为零于是两个分振动的初110可知，将领先，使两者错开小。指向相反，合成振幅最率先半圈而与后的这一时刻，经历），则由（增加到从经过时间错开得越来越大，随着时间的推移，其间的夹角开始振动以后，由于，1212111211212)(0,AAtπttδAAwwpwwpdww-==-00可知，将领先，使两者错开小。指向相反，合成振幅最率先半120又最强。振幅又达最大，合振动再度重合，合多转一圈，并与比，到增加从接着，又经过时间11222),(Atppdwwp-=0又最强。振幅又达最大，合振动再度重合，合多转一圈，并与比，13振动教学讲解课件-143.拍拍频:单位时间内强弱变化的次数

=|2-1|xtx2tx1t合振动忽强忽弱的现象3.拍拍频:单位时间内强弱变化的次数xtx2tx1t合15一、同周期两个相互垂直的简谐振动的合成设两个简谐振动分别在X轴和Y轴进行，振动方程分别为

，得到轨道的直角坐标方程。的参数方程。消去参量所表征的质点运动变，所以上列两方程就是参变量也改改变时，，质点的位置是在任何时刻ttyxtyxt),(),,(§相互垂直的简谐振动的合成。两振动的振幅和初周相分别为和为两个振动的圆频率式中21，，jjw一、同周期两个相互垂直的简谐振动的合成，得到轨道的直角坐标方16振动教学讲解课件-17为边的矩形范围。和以椭圆轨道不会超出以在有限范围内变动，所和圆方程。因为质点的位置一般来说，这是一个椭2122AAyx为边的矩形范围。和以椭圆轨道不会超出以在有限范围内变动，所和18因此，质点的轨道是一条直线。这直线通过坐标原点在第一和第三象限内，斜率为这两个振动的振幅之比。在任一时刻t，质点离开平衡位置的位移满足因此，质点的轨道是一条直线。这直线通过坐标19xysyx00xyxysyx00xy20axy0y0xaaxy0y0xa21振动教学讲解课件-22YX00XYYX00XY236.一般情况下,位相差

等于其它任一中间值

这时得到的轨迹为形状和旋转方向各不相同的椭圆。下图所表

示的是位相为某些值时合成运动的轨迹。0xy0x6.一般情况下,位相差等于其它任24以上讨论的是两个是相互垂直.同周期简谐振动的合成，如果从振动分解的角度来考虑，那么就可以说，任何一个直线简谐振动，椭圆运动，匀速圆周运动都可以分解为两个相互垂直的简谐振动。1.两个振动的周期有很小的差异，即很小，这时，周相差就不是定值，合成振动的轨迹将不断地按照上图所示的顺序由直线变成椭圆，又由椭圆逐渐变成直线，并重复进行，轨迹不是稳定的。二.不同周期两个相互垂直的简谐振动的合成讨论两种情况：

以上讨论的是两个是相互垂直.同周期简谐振动的合成，如果从振动252.两个振动的周期差异很大如果两个振动的周期相差很大，但周期有简单的整数比值时，也可以得到稳定的封闭的合成运动轨迹，下图所示的是周期比为时振动质点的轨迹。这种周期成简单整数比时所得到的图形称为——李萨茹图形。

yxA1A2o-A2-A1两振动的频率成整数比应用：例如科研中，在DBD中，用李萨茹图形计算注入到反应器中的电功率-x轴输入电压，Y轴输入电流，面积代表功率。2.两个振动的周期差异很大yxA1A2o-A2-A1两26(A)2.62s(B)0.42s(C)0.382s(D)2.40s一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是（3分）1.0241t(s)x解：则：(A)2.62s(B)0.42s(C)0.272.如图，所画的是两个简谐振动的振动曲线，如果两者是可叠加的，则合成的余弦振动的初相位为（）A.B.C.D.解：（因为振动的合成曲线在0点t>0时振动方向过原点向X正方向，所以取此值。）2.如图，所画的是两个简谐振动的振动曲线，28下图是两个同频率同方向简谐振动的振动曲线,则合振动方程为0.10.201234t(s)3.x(m)解：下图是两个同频率同方向简谐振动的振动曲线,则合振动方程为0.294.已知两个谐振动曲线如图所示，若这两个谐振动是可叠加的，则合成的余弦振动的初相为（）0t解：x1x24.已知两个谐振动曲线如图所示，若这两个谐305.谐振子振动曲线如图所示。求：（1）写出振动函数；（2）t=0.8s时谐振子的振动速度；（3）振子第一次经过峰值位置的时刻。解：x0.2t(s)0(1)(2)(3)注意：相位同时取正或同时取负，不能一个取正一个取负。5.谐振子振动曲线如图所示。求：（1）写出振动函数；解：x315.两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一个简谐振动的相位差为，若第一个简谐振动的振幅为，则第二个简谐振动的振幅为

cm，第一、二两个简谐振动的相位差为。解：已知合振动振幅则第二个简谐振动的振幅根据余弦定理：5.两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm32测试题：一质量为0.1kg的物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.01m，加速度的最大值为0.04m/s2，求：（1）过平衡位置时的动能和总振动能；（2）动能和势能相等时的位置。解：（1）总振动能在平衡位置（2）测试题：一质量为0.1kg的物体沿x轴作简谐振动，振幅A=033（解法二）（1）加速度最大时动能等于过平衡位置时动能这个能量也是总振动能（2）（解法二）（1）加速度最大时动能等于过平衡位置时动能这34§两个简谐函数之和所表达的振动

其合振动用设t=0时刻)tcos(Aj+w=xx21+xy0PMx=合矢量的投影值OP随时间的变化正反映两简谐函数之和随时间的变化。这说明，同频率的两个简谐函数之和仍为简谐函数，其频率与分矢量的频率相同。设两个旋转矢量tcos(A)tcos(A211j+w+j+w=)2§两个简谐函数之和所表达的振动其合振动用设t=0时刻)t35（2）又从图中OMP可知21sinsin21jjAA+21coscos21jjAA+=yxjtg=（3）这样，从旋转失量图上可直接求得合振幅A和初相角。0xyMP设初始时刻，和与X轴夹角分别为，和，由余弦定理可求出振幅A的值，即A1A2A=y+yxx+1122（2）又从图中OMP可知21sinsin21jjAA+21c36从（3）式可知，合振幅A与两个分振动的相角有关。振动教学讲解课件-37如图所示如图所示38xtxt39XtXt40xtxt41

当代表两个分振动的旋转矢量以不同的角速度（假设>）旋转时，它们之间的夹角将不断改变，因此平行四边形的形状也在不断改变。合矢量的长度以及它旋转的角速度都在不断变化。这时，合矢量在X轴的投影不再是时间的简谐函数了，也就是说，合矢量的旋转不再代表简谐振动了。为简单起见，假定两分振动的振幅和初相角都相等，分别为和。二、不同频率的两个简谐函数支和当代表两个分振动的旋转矢量以42X0则两简谐函数之和为一般情况下，由（6）式观察不到合振动有明显的周期性，因此，振动情况比较复杂。X0则两简谐函数之和为一般情况下，由（6）式43※当

2

1时

2-

1

2+

1其中随ｔ缓变随ｔ快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动这样的两个简谐函数之和称为拍。这时合矢量在X轴上投影的变化就和简谐函数的变化有点相似，即投影的变化可看成是振幅在缓慢变化的“简谐振动”。※当21时2-1244。,。,，021振幅最大合振动的这时均为零于是两个分振动的初相轴于两矢量方向一致地重合时刻设xAAt=设振幅矢量频率相近的两个简谐函数的合成——拍现象情况是：两个分振动的频率都较大，但它们的差值很小，，这时合振动就会出现明显的周期性。

即拍现象。,。,，021振幅最大合振动的这时均为零于是两个分振动的初450可知，将领先，使两者错开小。指向相反，合成振幅最率先半圈而与后的这一时刻，经历），则由（增加到从经过时间错开得越来越大，随着时间的推移，其间的夹角开始振动以后，由于，1212111211212)(0,AAtπttδAAwwpwwpdww-==-00可知，将领先，使两者错开小。指向相反，合成振幅最率先半460又最强。振幅又达最大，合振动再度重合，合多转一圈，并与比，到增加从接着，又经过时间11222),(Atppdwwp-=0又最强。振幅又达最大，合振动再度重合，合多转一圈，并与比，47振动教学讲解课件-483.拍拍频:单位时间内强弱变化的次数

=|2-1|xtx2tx1t合振动忽强忽弱的现象3.拍拍频:单位时间内强弱变化的次数xtx2tx1t合49一、同周期两个相互垂直的简谐振动的合成设两个简谐振动分别在X轴和Y轴进行，振动方程分别为

，得到轨道的直角坐标方程。的参数方程。消去参量所表征的质点运动变，所以上列两方程就是参变量也改改变时，，质点的位置是在任何时刻ttyxtyxt),(),,(§相互垂直的简谐振动的合成。两振动的振幅和初周相分别为和为两个振动的圆频率式中21，，jjw一、同周期两个相互垂直的简谐振动的合成，得到轨道的直角坐标方50振动教学讲解课件-51为边的矩形范围。和以椭圆轨道不会超出以在有限范围内变动，所和圆方程。因为质点的位置一般来说，这是一个椭2122AAyx为边的矩形范围。和以椭圆轨道不会超出以在有限范围内变动，所和52因此，质点的轨道是一条直线。这直线通过坐标原点在第一和第三象限内，斜率为这两个振动的振幅之比。在任一时刻t，质点离开平衡位置的位移满足因此，质点的轨道是一条直线。这直线通过坐标53xysyx00xyxysyx00xy54axy0y0xaaxy0y0xa55振动教学讲解课件-56YX00XYYX00XY576.一般情况下,位相差

等于其它任一中间值

这时得到的轨迹为形状和旋转方向各不相同的椭圆。下图所表

示的是位相为某些值时合成运动的轨迹。0xy0x6.一般情况下,位相差等于其它任58以上讨论的是两个是相互垂直.同周期简谐振动的合成，如果从振动分解的角度来考虑，那么就可以说，任何一个直线简谐振动，椭圆运动，匀速圆周运动都可以分解为两个相互垂直的简谐振动。1.两个振动的周期有很小的差异，即很小，这时，周相差就不是定值，合成振动的轨迹将不断地按照上图所示的顺序由直线变成椭圆，又由椭圆逐渐变成直线，并重复进行，轨迹不是稳定的。二.不同周期两个相互垂直的简谐振动的合成讨论两种情况：

以上讨论的是两个是相互垂直.同周期简谐振动的合成，如果从振动592.两个振动的周期差异很大如果两个振动的周期相差很大，但周期有简单的整数比值时，也可以得到稳定的封闭的合成运动轨迹，下图所示的是周期比为时振动质点的轨迹。这种周期成简单整数比时所得到的图形称为——李萨茹图形。

yxA1A2o-A2-A1两振动的频率成整数比应用：例如科研中，在DBD中，用李萨茹图形计算注入到反应器中的电功率-x轴输入电压，Y轴输入电流，面积代表功率。2.两个振动的周期差异很大yxA1A2o-A2-A1两60(A)2.62s(B)0.42s(C)0.382s(D)2.40s一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是（3分）1.0241t(s)x解：则：(A)2.62s(B)0.42s(C)0.612.如图，所画的是两个简谐振动的振动曲线，如果两者是可叠加的，则合成的余弦振动的初相位为（）A.B.C.D.解：（因为振动的合成曲线在0点t>0时振动方向过原点向X正方向，所以取此值。）2.如图，所画的是两个简谐振动的振动曲线，62下图是两个同频率同方向简谐振动的振动曲线,则合振动方程为0.10.201234t(s)3.x(m)解：下图是两个同频率同方向简谐