第7章-相关失效系统可靠性干涉模型讲解课件

第七章：

关失效系统可靠性干涉模型

第七章：

关失效系统可靠性干涉模型1概要：载荷-强度干涉分析是零件可靠度计算的基础。传统的载荷-强度干涉分析的应用仅限于零件的可靠度计算。将载荷-强度干涉分析直接应用于系统可靠性建模的方法。将载荷-强度干涉分析扩展到由不同零件或承受不同载荷的相同零件组成的“异构系统”的可靠性建模。涉及的内容包括系统强度的表达、载荷归一化处理等。概要：载荷-强度干涉分析是零件可靠度计算的基础。2载荷-强度干涉与失效概率

载荷-强度干涉与失效概率3传统系统可靠性模型串联系统：Rs=Rn并联系统：Rs=1-(1-R)n

传统系统可靠性模型串联系统：Rs=Rn4特殊情况确定性载荷：Rs=Rn或Rs=∏RiRs=1-(1-R)n或

Rs=1-∏(1-Ri)确定性强度:

Rs=RRs=min{Ri}系统＝零件Rs=max{Ri}

特殊情况确定性载荷：5相关失效问题系统可靠度：

Rpara

=

or

<1-(1-Ri)nRseri

=or

>Rin早已有研究显示，串联系统的Rn在Rin和Ri之间。Ri是零件的可靠度。上限Ri出现于零件强度的标准差趋于0时；下限Rin对应于载荷标准差趋于0的情况(Lloyd&Lipow,1962)。相关失效问题系统可靠度：67.1概述

根据零件的可靠度计算系统可靠度是一种通行的做法。在传统的零件/系统可靠性分析中，典型的方法是借助载荷-强度干涉模型计算零件的可靠度，或通过可靠性实验来确定零件的可靠度。然后，在“系统中各零件失效相互独立”的假设条件下，根据系统的逻辑结构（串联、并联、表决等）建立系统可靠性模型。由于在零件可靠度计算或可靠度试验过程中没有或不能区分载荷分散性与强度分散性的不同作用，却混合了载荷分散性与强度分散性的独特贡献，掩盖了载荷分散性对系统失效相关性的特殊作用，丢失了有关系统失效的信息。

无法从零件可靠度直接构建一般系统（即除独立失效系统之外的其它系统，以下称相关失效系统）的可靠度模型。7.1概述根据零件的可靠度计算系统可靠度是一种通行的做7原因“各零件失效相互独立”这样的假设对大多数机械系统都是不成立的。导致“各零件失效相互独立”假设不成立的原因是，机械系统中的各零件所承受的载荷一般都是彼此相关的随机载荷。原因“各零件失效相互独立”这样的假设对大多数机械系统都是不成8建模方法强度与载荷是可靠性分析中的一对矛盾，零件破坏是由于载荷大于其强度造成的结果。对于存在失效相关性的系统，可以通过系统层的载荷-强度干涉分析，直接建设系统可靠性模型。不必做“系统中各零件独立失效”的假设，因此能得到更具普适性的系统可靠性模型。建模方法强度与载荷是可靠性分析中的一对矛盾，零件破坏是由于载9众所周知，最具代表性传统的系统可靠度计算方法是，对于由零件A、B、和C构成的串联系统，其可靠度Rs为零件可靠度Ri的乘积:Rs=RARBRC事实上，这里隐含了各零件独立失效假设。若组成串联系统的n个零件的可靠度分别为R1，R2，……，Rn，则系统可靠度为Rs=Ri若各零件的可靠相等，即Ri=R，（i=1,2,……,n），则有Rs=Rn显然，这样的公式只有当各零件的失效是相互独立时才成立。众所周知，最具代表性传统的系统可靠度计算方法是，对于由零件A10关于系统失效概率P(n)与零件失效概率Pi(n)之间的关系还有如下阐述。串联系统：maxPi(n)<P(n)<1-(1-Pi(n))下限适用于各构件失效是完全相关的情况，上限适用于相互独立失效的情况。一般说来，如果载荷的变异性大于抗力的变异性，系统的失效概率接近于下限，反之则接近上限。并联系统：Pi(n)<P(n)<minPi(n)当各构件失效为相互独立事件时，下限是精确值；当各构件失效完全相关时，上限是精确值。关于系统失效概率P(n)与零件失效概率Pi(n)之间的关系还117.2相关失效现象与机理对于工程实际中的绝大多数系统，组成系统的各零件处于同一随机载荷环境下，它们的失效一般不是相互独立的。或者说，系统中各零件的失效存在统计相关性。系统失效相关的根源可划分为三大类：一是各子系统存在共用的零件或零件间的失效具有传递性；二是各子系统或零部件共享同一外部支撑条件（动力、能源等）；三是被称为“共因失效”的统计相关性。共因失效（CommonCauseFailure，简称CCF），或称共模失效（CommonModeFailure）是各类系统中广泛存在的、零件之间的一种相关失效形式，这种失效形式的存在严重影响冗余系统的安全作用，也使得一般系统的可靠性模型变得更为复杂。7.2相关失效现象与机理对于工程实际中的绝大多数系统，组12目前，系统可靠性分析还大都假设各零件的失效是相互独立的事件。对于电子装置，这样的假设有时是正确的；对机械零件，这样的假设几乎总是错误的。有许多共因失效模型或共因失效概率分析方法。然而，大都是用CCF事件来反映一组零件的失效相关性，据此再从工程应用的角度提出相应的经验或半经验模型。根据载荷-强度干涉理论，零件破坏是由于载荷大于其强度造成的结果。因此，在零件失效分析中，既应同时包括环境载荷与零件性能这两方面因素，又须对这二者区别对待。目前，系统可靠性分析还大都假设各零件的失效是相互独立的事件。13对于各零件承受同一环境载荷或相关环境载荷的系统，载荷的随机性是导致系统共因失效的根本原因。系统中各零件之间的失效相关程度是由载荷的分布特性与零件性能（强度）的分布特性共同决定的。载荷-强度干涉分析表明，系统中各零件完全独立失效的情况只是在环境载荷为确定性常量而零件性能为随机变量时的一种极特殊的情形。在数学上，任何系统（例如，串、并联系统、表决系统）的失效相关性（共因失效）都可以借助于环境载荷-零件性能干涉分析进行评估与预测。对于各零件承受同一环境载荷或相关环境载荷的系统，载荷的随机性14分析在恒定载荷Xe作用下，零件失效概率等于零件性能随机变量Xp小于该载荷Xe

的概率。在这样的载荷条件下，系统中各零件的失效是相互独立的。就整个系统而言，在这种情况下不存在零件间的失效相关性。这正是系统失效的一种特殊情形－完全独立的零件失效。系统失效的另一种特殊情形是其各零件完全相关的失效。导致完全的失效相关的条件是，零件性能是确定性常量（即所有的零件性能都完全相同，没有分散性），而环境载荷为随机变量。大多数情况下，环境载荷和零件性能都是随机变量，因而系统中各零件的失效一般既不是相互独立的，也不是完全相关的。系统失效的相关性来源于载荷的随机性，零件性能的分散性则有助于减轻各零件间的失效相关程度。分析在恒定载荷Xe作用下，零件失效概率等于零件性能随机变量15传统的“共因失效”模型相关失效分析方法可以分为定性分析和定量计算两类。β因子模型、二项失效率（BFR）模型、共同载荷（CLM）模型、基本参数（BP）模型、多希腊字母（MGL）模型、α因子模型等。传统的“共因失效”模型相关失效分析方法可以分为定性分析和定量167.3传统共因失效模型7.2.1β因子模型β因子模型是应用于核电站概率风险评价中的第一个参数化模型。基本思想是，部件有两种完全互相排斥的失效模式，第一种失效模式以脚标I标记，代表部件本身的独立原因引起的失效；第二种失效模式以脚标C标记，代表某种“共同原因”导致的集体失效。由此，在该模型中，零件的失效率被分为独立失效（只有一个零件失效）和共因失效（所有零件全部失效）两部分。即：

其中，λ—零件的总失效率λI—独立失效率λC—共因失效率7.3传统共因失效模型7.2.1β因子模型17定义了一个共同原因因子β：

或者：

共因因子β可以由失效事件数据统计来确定。定义了一个共同原因因子β：18根据因子模型，由两个失效率皆为的零件构成的并联系统的失效率为2/2=((1-))2+

对于高于二阶的系统，因子模型给出的各阶失效率为：

在此需要说明的是，工程中（例如核电站概率风险评价）习惯用失效率这个指标，因此因子模型是以失效率（而不是失效概率）表达的。根据因子模型，由两个失效率皆为的零件构成的并联系统的失效19显然，β因子模型有明显的局限性。当系统中的单元数多于两个时，会出现其中几个单元同时失效的失效率为零的情况。实际上，由外部载荷因素所导致的共因失效，可能导致系统中任意个单元同时失效。严格地讲，β因子模型只适用于二阶冗余系统，而对于高阶冗余系统，计算结果偏于保守。但由于该模型简单、易于掌握，所以，曾广泛地用于概率风险评价。显然，β因子模型有明显的局限性。当系统中的单元数多于两个时，20α因子模型α因子模型实际上是为了克服因子模型的缺陷，考虑任意阶数失效的情况，对于m阶冗余系统引入了m个参数λ1,λ2,…,λm。单个零件的失效率λ与这m个参数的关系为：

其中，λk——特定k个零件的失效率通常，零件的失效率可以根据已知数据求得。此外，在α因子模型中还引入了参数αk（k=1,2,…，m），其意义为：由于共同原因造成的k个单元的失效率与系统失效率之比，即：

其中，——系统失效率。因子模型的具体应用方法是，用概率统计的知识（如极大似然估计法），根据已知的失效数据确定参数αk，从而求得各阶失效率λk。α因子模型21BFR模型BFR模型认为有两种类型的失效：一种是在正常的载荷环境下零件的独立失效，另一种是由冲击(shock)因素引起的、能导致系统中一个或多个零件同时失效。冲击因素又分为致命性冲击和非致命性冲击两种。非致命性冲击出现时，系统的中的各个零件的失效概率为常量p，且各零件的失效是相互独立的。当致命性的冲击出现时，全部零件都以100%概率失效。根据环境载荷-零件性能干涉概念，BFR模型考虑的失效情形可解释为有三种相互独立的环境因素。这三种环境因素与三种相应的零件性能之间的关系分别示于图(a),(b)和(c)中。第一种环境是以100%的概率出现的确定性载荷s1，这种环境载荷是只能导致零件独立失效的确定性载荷。在该载荷作用下，零件的失效概率记为Qi。第二种环境是以概率出现的载荷s2，对应于非致命性冲击。在该载荷作用下，零件的失效概率记为p。而第三种环境是以概率出现的极端载荷s3，对应于致命性冲击。在该极端载荷作用下，零件的失效概率为100%。BFR模型BFR模型认为有两种类型的失效：一种是在正常的载荷22也就是说，所有的零件都同时发生失效。可见，实际上所有这三种环境载荷都分别对应于独立的零件失效的情形，相应的零件失效概率（以相应的环境载荷为条件）分别为Qi,p和1。这些参数就是BFR模型所定义的，即Qi=在正常环境下每个零件的独立失效概率；=非致命冲击载荷出现的频率；p=在非致命冲击载荷条件，零件的条件失效概率；=致命冲击载荷出现的频率。由此，得到各阶失效概率的数学表达式如下：也就是说，所有的零件都同时发生失效。可见，实际上所有这三种环23MGL模型CLM模型MGL模型247.4系统层的载荷-强度干涉模型

7.4.1应力-强度干涉分析应力和强度是失效问题中的一对矛盾。一般来说，应力s是一个随机变量h(s)；强度S也是随机变量

f(S)。力的随机性是产生共因失效这种失效相关性的最基本原因，而零件性能的分散性则有助于减轻系统中零件失效的相关程度。在传统的可靠性分析、计算方法中，一般都没有区分应力分散性与强度分散性对产生系统失效相关性的不同意义。例如，零件失效概率p（零件强度S小于应力s的概率）是借助应力-强度干涉模型计算的：7.4系统层的载荷-强度干涉模型7.4.1应力-强度干25根据这样的计算模型，不同的应力分布与强度分布的组合可以产生相同的零件失效概率，不同的应力分布（例如，不同的均值与标准差的组合）与同一强度分布（或同一应力分布与不同的强度分布）也可以产生相同的零件失效概率。不同的应力分布与强度分布的组合将导致明显不同的系统失效概率，即使这些组合都产生相同的零件失效概率。在应力与强度均为正态分布随机变量的条件下，计算零件可靠度时还可以做如下的变换，即构造一个新的随机变量z：z=S-s根据这样的计算模型，不同的应力分布与强度分布的组合可以产生相26显然，由于应力与强度可以看作是相互独立的随机变量，z也是一个服从正态分布的随机变量，其均值和标准差分别为z=S-s和z=(S2+s2)1/2。用g(z)表示随机变量z的概率密度函数，零件失效概率可表达为

从这样计算零件失效概率的传统公式可见，在计算零件失效概率的过程中，显然是混合了应力的分布特性与强度的分布特性，即使用的是一个新的控制变量z及新的分散性指标z。由于应力的分布特性与强度的分布特性对产生共因失效有截然不同的作用，而在上述零件失效概率计算过程中却混合了应力分散性参数与强度分散性参数，相当于遗失了共因失效信息，因而无法再用这样计算出的零件的可靠度通过串、并联等可靠性逻辑关系计算系统（除非是各零件独立失效的系统）的可靠度。显然，由于应力与强度可以看作是相互独立的随机变量，z也是一277.4.2系统层载荷-强度干涉模型零件性能与环境应力是可靠性分析中的一对矛盾。在通过应力-强度干涉分析进行失效概率计算的过程中，既同时考虑环境应力与零件性能这两方面因素，又对这二者所起的作用区别对待，就可以线索清晰地揭示产生共因失效的原因，建立能反映这种相关失效影响的系统可靠性模型。7.4.2系统层载荷-强度干涉模型零件性能与环境应力是可靠28零件失效概率p定义为零件性能S小于环境载荷s的概率，可表达为

p＝P(S<s)(7-1)零件可靠度可以看作是应力的函数。在应力与强度均为随机变量的情况下，可以定义零件的条件失效概率（以应力为条件）如下(7-2)应用这样定义的零件条件失效概率，可以很容易地构造出能反映共因失效这种失效相关性的系统失效概率模型。零件失效概率p定义为零件性能S小于环境载荷s的概29显然，在一个确定的应力Y(可以看作是以概率h(s)s出现的一个应力样本值)作用下，零件的条件失效概率是由其强度分布决定的。由于系统中的各零件的强度一般可以看作是独立同分布随机变量，因此在确定的应力下各零件的失效是相互独立的。对于一个指定的应力样本Y而言，系统中n个零件同时失效这一事件发生的概率为(7-3)上式中((Y))n相当于n重并联系统的条件失效概率。显然，在一个确定的应力Y(可以看作是以概率h(s)s出现30系统的n个零件在随机应力s作用下同时失效的概率则为“系统条件失效概率”在全部可能的应力区间0s上的统计平均值(7-4)式（7-4）是通过系统层的应力-强度干涉分析建立的、能反映共因失效这种相关失效影响的并联系统失效概率模型，这一点可以很容易地从上式与不能反映失效相关性的传统的并联系统失效概率模型式中p为零件失效概率。系统的n个零件在随机应力s作用下同时失效的概率则为“系统条件31表决系统失效概率模型根据上面介绍的建模方法，系统的n个零件中恰有k个失效的概率为(7-5)除非各零件失效相互独立，该系统的n个零件中有任意k个失效的概率一般不能按各零件失效相互独立计算，即：式中，p为零件失效概率。也就是说，传统的k/n(F)系统失效概率公式只是在各零件失效相互独立情况下的k/n(F)系统失效概率公式。表决系统失效概率模型根据上面介绍的建模方法，系统的n个零件中32串联系统的相关失效分析

串联系统是冗余系统的一种特殊情况。在一般在系统可靠性分析中，都假设系统中各零件的失效是相互独立的，并有如下的串联系统失效概率模型：当考虑失效相关性时，则有如下的串联系统失效概率表达式：(7-6)串联系统的相关失效分析

串联系统是冗余系统的一种特殊情况。在33并联系统的相关失效分析对于零件失效相互独立的并联系统，其失效概率的一般表达为：当考虑失效相关性时，并联系统失效概率可以表达为：(7-7)显然，上式仅适用于最简单的并联系统，即不存在载荷传递或载荷重新分配的系统。并联系统的相关失效分析34各零件承受不同载荷的系统失效概率模型系统中各零件的载荷可能不完全相等，但可认为其随时间（或其它外界因素）的变化是同相位的，并且是线性相关的。这种情况下的系统可靠性问题，假设载荷与强度都服从正态分布，可以通过对载荷的归一化处理建立相应的模型。各零件承受不同载荷的系统失效概率模型系统中各零件的载荷可能不35设第i个零件承受的载荷yi～N(i,i)，则很容易得出它与标准正态分布函数y0～N(0,1)之间的关系：y0=(yi-)/或yi=y0+(7-8)由此，系统的n个零件中有任意k个失效的概率可以表达为：(7-9)设第i个零件承受的载荷yi～N(i,i)，则很容36上式中，表示对j从1到求和运算。其中，前一个求积公式是n个零件中任取k个零件进行求积运算，后一个求积公式是对剩余的(n-k)个零件做求积运算，共有组。这是由于各零件承受的载荷hi(y)不同，不同零件组合的失效不存在对等关系，不能直接应用这样的对称表达形式。相应地，串联系统失效概率的表达式：(7-10)上式中，表示对j从1到求和运算。其中，前一个求积公37由不同零件构成的系统的可靠性模型对于由不同零件组成的系统，若系统中各零件的强度是相互独立的情形，令x1,x2,…,xn分别表示n个零件的强度，Fi(x)表示第I个零件的强度xi(i=1n)的分布函数。用N和M分别表示零件强度的最小值和最大值，即N=min{X1,X2,…,Xn}M=max{X1,X2,…,Xn}由不同零件构成的系统的可靠性模型对于由不同零件组成的系统，若38零件强度的最小次序统计量和最大次序统计量的分布函数分别为（7-11）（7-12）根据最小强度次序统计量与载荷的干涉关系，可以得到串联系统的可靠度模型。即串联系统的可靠度等于零件强度最小次序统计量大于载荷的概率（7-13）并联系统的可靠度等于零件强度最大次序统计量大于载荷的概率（7-14）零件强度的最小次序统计量和最大次序统计量的分布函数分别为39小结载荷-强度干涉分析是可靠度计算的基础。通过系统层的载荷-强度干涉分析可以直接建立系统可靠性模型，而不需做“系统中各零件独立失效”假设。通过对各零件所承受的不同载荷的归一化处理，建立了可以计算系统中各零件载荷不同时的可靠度的模型；借助于最大、最小次序统计量的概率，建立了能计算由不同强度分布的零件组成的系统的可靠度的模型。这样的模型具有更广泛的应用范围。小结载荷-强度干涉分析是可靠度计算的基础。407.5系统失效概率模型离散化问题＿1：一个10阶冗余系统在34次需求中发生的失效事件如下：不同失效阶次的“阀门不能正常打开”失效事件，其中包括5次单个零件失效，两次2重失效，一次3重失效，还有26次成功事件。失效阶数 事件数0 261 52 23 17.5系统失效概率模型离散化问题＿1：41问题＿2：Multiple-failureeventdataofthedifferentEDGgroups

Group Failure multiplicity 01 2 3 4 5122191714

2

1213956

3

1866111076

4

43222121问题＿2：42系统失效概率模型离散化

为了能将以失效机理为基础的系统失效概率模型用于实际工程系统，需要对积分方程进行离散化处理，以便能由系统或其零件的失效数据确定模型参数。积分是多项式求和的一种极限状态，可以近似地用多项式和的形式表达：（7-15）式中，p(xei)，f1(xei)是零件在载荷取值为xei时的条件失效概率；是载荷值出现于区间(xei-xei/2,xei+xei/2)内的频率。系统失效概率模型离散化为了能将以失效机理为基础的系统失效概43根据式（7-15）中各项的意义，可以由已知的系统失效数据确定其参数的具体数值。考虑一个n阶冗余系统，对其进行m次独立试验，第j次试验有kj（kj=0，1，2……n）个零件失效。每次试验出现的失效零件个数不同（即每次试验的结果kj不同），意味着在每次试验时出现的载荷样本不同。具体载荷值的出现情况由其概率密度函数f1(xe)决定。对于这m次试验，所有可能的结果可以用一个集合K{kj|kj=0,1,...,n}表示。根据小子样统计理论，在这样的试验中，i(i=0，1，2，...10)阶秩的失效数对应的累积分布（相当于本文中定义的条件失效概率）正好就是在载荷取值xei的条件下零件条件失效概率的估计（对于某一次试验而言，发生失效的零件数在统计意义上直接取决于载荷样本xei）即：(7-16)或根据式（7-15）中各项的意义，可以由已知的系统失效数据确定44与之对应的载荷xei的出现频率可用下式估计：

f1(xei)xei=mi/m

(7-17)其中隐含的原理是参数f1(xei)xei和p(xei)可以分别解释为特定载荷出现的频率和相应相应的零件条件失效概率。具有相同失效阶次的失效事件出现的相对频率可以看作是以p(xei)界定的特定载荷xei出现的频率。与之对应的载荷xei的出现频率可用下式估计：45有了上述估算参数的公式，就可以根据系统/零件失效事件数据估算或预测系统的各阶失效概率或系统可靠度。需要说明的是，上述参数离散化的基础是，样本分布是母体分布的合理近似。为了保证系统失效概率预测的精度，系统（包括串、并联系统）的阶次应足够高（例如系统包含的零件数在10个左右），以使在同样载荷环境下工作的零件个数（或失效模式数）多到可以近似代表母体的程度。这里所说的“系统阶次”是广义的说法，“阶次”可能是由系统中的零件数决定的，也可能是由失效模式数决定的。当然，对于同一零件的不同失效模式来说，由于对应于不同失效模式的“零件强度”或“抗力”一般不是独立同分布的，相应的模型也复杂的多。有了上述估算参数的公式，就可以根据系统/零件失效事件数据估算46算例一个10阶冗余系统在34次需求中发生的失效事件如下：不同失效阶次的“阀门不能正常打开”失效事件，其中包括5次单个零件失效，两次2重失效，一次3重失效，还有26次成功事件。换句话说，在对零件的340(3410)次试验中，共有12(51+22+13)个零件失效，显然，这些数据中既包含零件的失效概率信息，也包含系统相关失效信息。当估算零件失效概率时，单个零件失效事件与多重失效事件没有本质的区别，所有失效数据可以混合使用。因此，估算的零件失效概率为12/340=0.035。这是在概率风险分析中常用的方法。算例一个10阶冗余系统在34次需求中发生的失效事件如下：47对于这个系统失效概率预测问题，应用式（17）和式（16），容易知道，f1(xe1)xe1=5/34，p(xe1)=，f1(xe2)xe2=2/34，p(xe2)=，等等。详细内容示于下页表中。因此，这个系统的各阶共因失效概率都可以根据式（15）统一计算。对于这个系统失效概率预测问题，应用式（17）和式（16），48表1共因失效数据与共因失效模型参数失效阶数事件数f1(xei)xeip(xei)0260,7650150,1470.067220,0590.162310.0290.259表1共因失效数据与共因失效模型参数失效阶数事件数f1(x49第7章-相关失效系统可靠性干涉模型讲解课件50例子例子51小结借助于系统层的载荷-强度干涉分析，建立了直接用于计算系统失效概率的失效概率模型。分析显示，只要零件在共同的随机环境下工作，共因失效这种失效的相关性无论是在冗余系统中还是在非冗余系统中都是普遍存在的。尤其是强调指出了在进行系统失效概率分析时，即要同时包括环境因素和零件性能因素，又要明确区分二者的不同作用，以便在机理上深刻认识零件失效概率本身的概率特性和系统失效的相关性，建立精确的系统失效概率模型。小结借助于系统层的载荷-强度干涉分析，建立了直接用于计算系52FailureeventdataofEDGgroup1andparametersestimatedFailuremultiplicityEventnumberf1(xei)xeip(xei)

022190.986201170.00760.2932140.00620.707FailureeventdataofEDGgrou53Table3.FailureeventdataofEDGgroup2andparametersestimatedFailuremultiplicityEventnumberf1(xei)xeip(xei)012130.98380190.00730.206250.00410.5360.00490.794Table3.Failureeventdataof54EDGfailureprobabilityestimatedaccordingtotherecordeddataofEDG-2EDGfailureprobabilityestima55Table4.FailureeventdataofEDGgroup3andparametersestimatedFailuremultiplicityEventnumberf1(xei)xeip(xei)0 1866 0.982101110.00580.1592100.00530.386370.00370.614460.00320.841Table4.Failureeventdataof56EDGfailureprobabilityestimatedaccordingtotherecordeddataofEDG-3EDGfailureprobabilityestima57EDGfailureprobabilityestimatedaccordingtotherecordeddataofEDG-4EDGfailureprobabilityestima58EDGfailureprobabilityestimatedaccordingtotherecordeddataofEDG-1EDGfailureprobabilityestima59EDGfailureprobabilityestimatedaccordingtothemixeddataofseveralEDGsEDGfailureprobabilityestima607.6相关系统失效概率的次序统计量模型摘要：作为可靠性或失效概率分析的基础，载荷-强度干涉分析可以在零件的层次上进行、可以在系统的层次上进行，也可以在次序统计量的意义上进行。以典型系统形式为背景，根据系统失效的统计学意义以及次序统计量的性质，应用次序统计量，建立具有普适性（不需要做独立失效假设）的串联、并联及表决系统的失效概率模型。从所建立的次序统计量模型及次序统计量的概率密度函数本身的形式可以推论，共因失效这种失效相关性完全可以通过载荷分布与强度分析这两种基本参量反映出来。7.6相关系统失效概率的次序统计量模型摘要：作为可靠性或61次序统计量与系统失效概率预测对于由n个零件构成的系统，各零件的强度X1,X2,…,Xn可看作是来自一个母体的样本。而该样本的次序统计量X(k)表示系统中第k弱的零件强度。以载荷－强度干涉理论为基础，借用次序统计量的概念，通过实际样本强度分布（即系统中n个零件的强度分布，是一个实在的物理概念）与次序统计量（从零件强度分布中抽象出的数学概念）的映射关系，建立典型冗余系统失效概率计算的强度－次序统计干涉量模型。由概率论可知，若母体的概率密度函数为f(x)，累积分布函数为F(x)，则X(k)的概率密度函数为：

（7-18）次序统计量与系统失效概率预测对于由n个零件构成的系统，各零件62特别有（7-19）（7-20）此外，还有X(k)与X(j)的联合概率密度函数g(xk,xj)为：(7-21)特别有63系统失效是因为其中一定数量的零件失效，且较弱零件的失效将先于较强零件的失效。考虑由n个零件组成的串联系统，系统中任一零件的失效都将导致系统失效。就失效模式而言，串联系统的失效可以仅由一个零件的失效或多于一个零件的同时失效构成。由于系统的失效过程是从最弱环节开始的，串联系统中最弱零件的失效就意味着整个系统的失效。由此可知，串联系统的失效概率等于零件强度最小次序统计量小于载荷的概率，或者说串联系统的可靠度等于强度最小次序统计量大于载荷的概率，即有如下的串联系统失效概率的次序统计量模型：

(7-22)系统失效是因为其中一定数量的零件失效，且较弱零件的失效将先于64并联系统的失效定义为系统中全部零件的失效，这当然也包括了最强零件的失效。而最强零件的失效即意味着全部零件的失效。因此，并联系统的可靠度等于零件强度最大次序统计量大于载荷的概率，由此可以建立并联系统失效概率的次序统计量模型为：(7-23)并联系统的失效定义为系统中全部零件的失效，这当然也包括了65同理，根据统计量的联合概率密度函数表达式，可以构建n个零件中有k个失效概率的次序统计量模型：(7-24)以及k/n(F)表决系统失效概率的次序统计量模型为：(7-25)同理，根据统计量的联合概率密度函数表达式，可以构建n个零件中66例串联系统失效概率数值结果例串联系统失效概率数值结果67图2并联系统失效概率数值结果图3表决系统可靠度数值结果图2并联系统失效概率数值结果图3表决系统可靠度数值结果68小结根据次序统计量的物理意义，应用次序统计量建立了相关失效系统失效概率模型。根据次序统计量的定义，串联系统的失效概率就等于零件强度最小次序统计量小于载荷的概率。相应地，对于并联系统来说，最强零件（对应于最大次序统计量）失效之后才导致系统失效，因而并联系统的失效概率就等于零件强度最大次序统计量小于载荷的概率。更一般地，系统的n个零件中恰有k个失效就意味着第k个次序统计量失效而第k+1个次序统计量不失效。由此出发，本文建立了相关系统失效概率模型。小结69ENDEND70

第七章：

关失效系统可靠性干涉模型

第七章：

关失效系统可靠性干涉模型71概要：载荷-强度干涉分析是零件可靠度计算的基础。传统的载荷-强度干涉分析的应用仅限于零件的可靠度计算。将载荷-强度干涉分析直接应用于系统可靠性建模的方法。将载荷-强度干涉分析扩展到由不同零件或承受不同载荷的相同零件组成的“异构系统”的可靠性建模。涉及的内容包括系统强度的表达、载荷归一化处理等。概要：载荷-强度干涉分析是零件可靠度计算的基础。72载荷-强度干涉与失效概率

载荷-强度干涉与失效概率73传统系统可靠性模型串联系统：Rs=Rn并联系统：Rs=1-(1-R)n

传统系统可靠性模型串联系统：Rs=Rn74特殊情况确定性载荷：Rs=Rn或Rs=∏RiRs=1-(1-R)n或

Rs=1-∏(1-Ri)确定性强度:

Rs=RRs=min{Ri}系统＝零件Rs=max{Ri}

特殊情况确定性载荷：75相关失效问题系统可靠度：

Rpara

=

or

<1-(1-Ri)nRseri

=or

>Rin早已有研究显示，串联系统的Rn在Rin和Ri之间。Ri是零件的可靠度。上限Ri出现于零件强度的标准差趋于0时；下限Rin对应于载荷标准差趋于0的情况(Lloyd&Lipow,1962)。相关失效问题系统可靠度：767.1概述

根据零件的可靠度计算系统可靠度是一种通行的做法。在传统的零件/系统可靠性分析中，典型的方法是借助载荷-强度干涉模型计算零件的可靠度，或通过可靠性实验来确定零件的可靠度。然后，在“系统中各零件失效相互独立”的假设条件下，根据系统的逻辑结构（串联、并联、表决等）建立系统可靠性模型。由于在零件可靠度计算或可靠度试验过程中没有或不能区分载荷分散性与强度分散性的不同作用，却混合了载荷分散性与强度分散性的独特贡献，掩盖了载荷分散性对系统失效相关性的特殊作用，丢失了有关系统失效的信息。

无法从零件可靠度直接构建一般系统（即除独立失效系统之外的其它系统，以下称相关失效系统）的可靠度模型。7.1概述根据零件的可靠度计算系统可靠度是一种通行的做77原因“各零件失效相互独立”这样的假设对大多数机械系统都是不成立的。导致“各零件失效相互独立”假设不成立的原因是，机械系统中的各零件所承受的载荷一般都是彼此相关的随机载荷。原因“各零件失效相互独立”这样的假设对大多数机械系统都是不成78建模方法强度与载荷是可靠性分析中的一对矛盾，零件破坏是由于载荷大于其强度造成的结果。对于存在失效相关性的系统，可以通过系统层的载荷-强度干涉分析，直接建设系统可靠性模型。不必做“系统中各零件独立失效”的假设，因此能得到更具普适性的系统可靠性模型。建模方法强度与载荷是可靠性分析中的一对矛盾，零件破坏是由于载79众所周知，最具代表性传统的系统可靠度计算方法是，对于由零件A、B、和C构成的串联系统，其可靠度Rs为零件可靠度Ri的乘积:Rs=RARBRC事实上，这里隐含了各零件独立失效假设。若组成串联系统的n个零件的可靠度分别为R1，R2，……，Rn，则系统可靠度为Rs=Ri若各零件的可靠相等，即Ri=R，（i=1,2,……,n），则有Rs=Rn显然，这样的公式只有当各零件的失效是相互独立时才成立。众所周知，最具代表性传统的系统可靠度计算方法是，对于由零件A80关于系统失效概率P(n)与零件失效概率Pi(n)之间的关系还有如下阐述。串联系统：maxPi(n)<P(n)<1-(1-Pi(n))下限适用于各构件失效是完全相关的情况，上限适用于相互独立失效的情况。一般说来，如果载荷的变异性大于抗力的变异性，系统的失效概率接近于下限，反之则接近上限。并联系统：Pi(n)<P(n)<minPi(n)当各构件失效为相互独立事件时，下限是精确值；当各构件失效完全相关时，上限是精确值。关于系统失效概率P(n)与零件失效概率Pi(n)之间的关系还817.2相关失效现象与机理对于工程实际中的绝大多数系统，组成系统的各零件处于同一随机载荷环境下，它们的失效一般不是相互独立的。或者说，系统中各零件的失效存在统计相关性。系统失效相关的根源可划分为三大类：一是各子系统存在共用的零件或零件间的失效具有传递性；二是各子系统或零部件共享同一外部支撑条件（动力、能源等）；三是被称为“共因失效”的统计相关性。共因失效（CommonCauseFailure，简称CCF），或称共模失效（CommonModeFailure）是各类系统中广泛存在的、零件之间的一种相关失效形式，这种失效形式的存在严重影响冗余系统的安全作用，也使得一般系统的可靠性模型变得更为复杂。7.2相关失效现象与机理对于工程实际中的绝大多数系统，组82目前，系统可靠性分析还大都假设各零件的失效是相互独立的事件。对于电子装置，这样的假设有时是正确的；对机械零件，这样的假设几乎总是错误的。有许多共因失效模型或共因失效概率分析方法。然而，大都是用CCF事件来反映一组零件的失效相关性，据此再从工程应用的角度提出相应的经验或半经验模型。根据载荷-强度干涉理论，零件破坏是由于载荷大于其强度造成的结果。因此，在零件失效分析中，既应同时包括环境载荷与零件性能这两方面因素，又须对这二者区别对待。目前，系统可靠性分析还大都假设各零件的失效是相互独立的事件。83对于各零件承受同一环境载荷或相关环境载荷的系统，载荷的随机性是导致系统共因失效的根本原因。系统中各零件之间的失效相关程度是由载荷的分布特性与零件性能（强度）的分布特性共同决定的。载荷-强度干涉分析表明，系统中各零件完全独立失效的情况只是在环境载荷为确定性常量而零件性能为随机变量时的一种极特殊的情形。在数学上，任何系统（例如，串、并联系统、表决系统）的失效相关性（共因失效）都可以借助于环境载荷-零件性能干涉分析进行评估与预测。对于各零件承受同一环境载荷或相关环境载荷的系统，载荷的随机性84分析在恒定载荷Xe作用下，零件失效概率等于零件性能随机变量Xp小于该载荷Xe

的概率。在这样的载荷条件下，系统中各零件的失效是相互独立的。就整个系统而言，在这种情况下不存在零件间的失效相关性。这正是系统失效的一种特殊情形－完全独立的零件失效。系统失效的另一种特殊情形是其各零件完全相关的失效。导致完全的失效相关的条件是，零件性能是确定性常量（即所有的零件性能都完全相同，没有分散性），而环境载荷为随机变量。大多数情况下，环境载荷和零件性能都是随机变量，因而系统中各零件的失效一般既不是相互独立的，也不是完全相关的。系统失效的相关性来源于载荷的随机性，零件性能的分散性则有助于减轻各零件间的失效相关程度。分析在恒定载荷Xe作用下，零件失效概率等于零件性能随机变量85传统的“共因失效”模型相关失效分析方法可以分为定性分析和定量计算两类。β因子模型、二项失效率（BFR）模型、共同载荷（CLM）模型、基本参数（BP）模型、多希腊字母（MGL）模型、α因子模型等。传统的“共因失效”模型相关失效分析方法可以分为定性分析和定量867.3传统共因失效模型7.2.1β因子模型β因子模型是应用于核电站概率风险评价中的第一个参数化模型。基本思想是，部件有两种完全互相排斥的失效模式，第一种失效模式以脚标I标记，代表部件本身的独立原因引起的失效；第二种失效模式以脚标C标记，代表某种“共同原因”导致的集体失效。由此，在该模型中，零件的失效率被分为独立失效（只有一个零件失效）和共因失效（所有零件全部失效）两部分。即：

其中，λ—零件的总失效率λI—独立失效率λC—共因失效率7.3传统共因失效模型7.2.1β因子模型87定义了一个共同原因因子β：

或者：

共因因子β可以由失效事件数据统计来确定。定义了一个共同原因因子β：88根据因子模型，由两个失效率皆为的零件构成的并联系统的失效率为2/2=((1-))2+

对于高于二阶的系统，因子模型给出的各阶失效率为：

在此需要说明的是，工程中（例如核电站概率风险评价）习惯用失效率这个指标，因此因子模型是以失效率（而不是失效概率）表达的。根据因子模型，由两个失效率皆为的零件构成的并联系统的失效89显然，β因子模型有明显的局限性。当系统中的单元数多于两个时，会出现其中几个单元同时失效的失效率为零的情况。实际上，由外部载荷因素所导致的共因失效，可能导致系统中任意个单元同时失效。严格地讲，β因子模型只适用于二阶冗余系统，而对于高阶冗余系统，计算结果偏于保守。但由于该模型简单、易于掌握，所以，曾广泛地用于概率风险评价。显然，β因子模型有明显的局限性。当系统中的单元数多于两个时，90α因子模型α因子模型实际上是为了克服因子模型的缺陷，考虑任意阶数失效的情况，对于m阶冗余系统引入了m个参数λ1,λ2,…,λm。单个零件的失效率λ与这m个参数的关系为：

其中，λk——特定k个零件的失效率通常，零件的失效率可以根据已知数据求得。此外，在α因子模型中还引入了参数αk（k=1,2,…，m），其意义为：由于共同原因造成的k个单元的失效率与系统失效率之比，即：

其中，——系统失效率。因子模型的具体应用方法是，用概率统计的知识（如极大似然估计法），根据已知的失效数据确定参数αk，从而求得各阶失效率λk。α因子模型91BFR模型BFR模型认为有两种类型的失效：一种是在正常的载荷环境下零件的独立失效，另一种是由冲击(shock)因素引起的、能导致系统中一个或多个零件同时失效。冲击因素又分为致命性冲击和非致命性冲击两种。非致命性冲击出现时，系统的中的各个零件的失效概率为常量p，且各零件的失效是相互独立的。当致命性的冲击出现时，全部零件都以100%概率失效。根据环境载荷-零件性能干涉概念，BFR模型考虑的失效情形可解释为有三种相互独立的环境因素。这三种环境因素与三种相应的零件性能之间的关系分别示于图(a),(b)和(c)中。第一种环境是以100%的概率出现的确定性载荷s1，这种环境载荷是只能导致零件独立失效的确定性载荷。在该载荷作用下，零件的失效概率记为Qi。第二种环境是以概率出现的载荷s2，对应于非致命性冲击。在该载荷作用下，零件的失效概率记为p。而第三种环境是以概率出现的极端载荷s3，对应于致命性冲击。在该极端载荷作用下，零件的失效概率为100%。BFR模型BFR模型认为有两种类型的失效：一种是在正常的载荷92也就是说，所有的零件都同时发生失效。可见，实际上所有这三种环境载荷都分别对应于独立的零件失效的情形，相应的零件失效概率（以相应的环境载荷为条件）分别为Qi,p和1。这些参数就是BFR模型所定义的，即Qi=在正常环境下每个零件的独立失效概率；=非致命冲击载荷出现的频率；p=在非致命冲击载荷条件，零件的条件失效概率；=致命冲击载荷出现的频率。由此，得到各阶失效概率的数学表达式如下：也就是说，所有的零件都同时发生失效。可见，实际上所有这三种环93MGL模型CLM模型MGL模型947.4系统层的载荷-强度干涉模型

7.4.1应力-强度干涉分析应力和强度是失效问题中的一对矛盾。一般来说，应力s是一个随机变量h(s)；强度S也是随机变量

f(S)。力的随机性是产生共因失效这种失效相关性的最基本原因，而零件性能的分散性则有助于减轻系统中零件失效的相关程度。在传统的可靠性分析、计算方法中，一般都没有区分应力分散性与强度分散性对产生系统失效相关性的不同意义。例如，零件失效概率p（零件强度S小于应力s的概率）是借助应力-强度干涉模型计算的：7.4系统层的载荷-强度干涉模型7.4.1应力-强度干95根据这样的计算模型，不同的应力分布与强度分布的组合可以产生相同的零件失效概率，不同的应力分布（例如，不同的均值与标准差的组合）与同一强度分布（或同一应力分布与不同的强度分布）也可以产生相同的零件失效概率。不同的应力分布与强度分布的组合将导致明显不同的系统失效概率，即使这些组合都产生相同的零件失效概率。在应力与强度均为正态分布随机变量的条件下，计算零件可靠度时还可以做如下的变换，即构造一个新的随机变量z：z=S-s根据这样的计算模型，不同的应力分布与强度分布的组合可以产生相96显然，由于应力与强度可以看作是相互独立的随机变量，z也是一个服从正态分布的随机变量，其均值和标准差分别为z=S-s和z=(S2+s2)1/2。用g(z)表示随机变量z的概率密度函数，零件失效概率可表达为

从这样计算零件失效概率的传统公式可见，在计算零件失效概率的过程中，显然是混合了应力的分布特性与强度的分布特性，即使用的是一个新的控制变量z及新的分散性指标z。由于应力的分布特性与强度的分布特性对产生共因失效有截然不同的作用，而在上述零件失效概率计算过程中却混合了应力分散性参数与强度分散性参数，相当于遗失了共因失效信息，因而无法再用这样计算出的零件的可靠度通过串、并联等可靠性逻辑关系计算系统（除非是各零件独立失效的系统）的可靠度。显然，由于应力与强度可以看作是相互独立的随机变量，z也是一977.4.2系统层载荷-强度干涉模型零件性能与环境应力是可靠性分析中的一对矛盾。在通过应力-强度干涉分析进行失效概率计算的过程中，既同时考虑环境应力与零件性能这两方面因素，又对这二者所起的作用区别对待，就可以线索清晰地揭示产生共因失效的原因，建立能反映这种相关失效影响的系统可靠性模型。7.4.2系统层载荷-强度干涉模型零件性能与环境应力是可靠98零件失效概率p定义为零件性能S小于环境载荷s的概率，可表达为

p＝P(S<s)(7-1)零件可靠度可以看作是应力的函数。在应力与强度均为随机变量的情况下，可以定义零件的条件失效概率（以应力为条件）如下(7-2)应用这样定义的零件条件失效概率，可以很容易地构造出能反映共因失效这种失效相关性的系统失效概率模型。零件失效概率p定义为零件性能S小于环境载荷s的概99显然，在一个确定的应力Y(可以看作是以概率h(s)s出现的一个应力样本值)作用下，零件的条件失效概率是由其强度分布决定的。由于系统中的各零件的强度一般可以看作是独立同分布随机变量，因此在确定的应力下各零件的失效是相互独立的。对于一个指定的应力样本Y而言，系统中n个零件同时失效这一事件发生的概率为(7-3)上式中((Y))n相当于n重并联系统的条件失效概率。显然，在一个确定的应力Y(可以看作是以概率h(s)s出现100系统的n个零件在随机应力s作用下同时失效的概率则为“系统条件失效概率”在全部可能的应力区间0s上的统计平均值(7-4)式（7-4）是通过系统层的应力-强度干涉分析建立的、能反映共因失效这种相关失效影响的并联系统失效概率模型，这一点可以很容易地从上式与不能反映失效相关性的传统的并联系统失效概率模型式中p为零件失效概率。系统的n个零件在随机应力s作用下同时失效的概率则为“系统条件101表决系统失效概率模型根据上面介绍的建模方法，系统的n个零件中恰有k个失效的概率为(7-5)除非各零件失效相互独立，该系统的n个零件中有任意k个失效的概率一般不能按各零件失效相互独立计算，即：式中，p为零件失效概率。也就是说，传统的k/n(F)系统失效概率公式只是在各零件失效相互独立情况下的k/n(F)系统失效概率公式。表决系统失效概率模型根据上面介绍的建模方法，系统的n个零件中102串联系统的相关失效分析

串联系统是冗余系统的一种特殊情况。在一般在系统可靠性分析中，都假设系统中各零件的失效是相互独立的，并有如下的串联系统失效概率模型：当考虑失效相关性时，则有如下的串联系统失效概率表达式：(7-6)串联系统的相关失效分析

串联系统是冗余系统的一种特殊情况。在103并联系统的相关失效分析对于零件失效相互独立的并联系统，其失效概率的一般表达为：当考虑失效相关性时，并联系统失效概率可以表达为：(7-7)显然，上式仅适用于最简单的并联系统，即不存在载荷传递或载荷重新分配的系统。并联系统的相关失效分析104各零件承受不同载荷的系统失效概率模型系统中各零件的载荷可能不完全相等，但可认为其随时间（或其它外界因素）的变化是同相位的，并且是线性相关的。这种情况下的系统可靠性问题，假设载荷与强度都服从正态分布，可以通过对载荷的归一化处理建立相应的模型。各零件承受不同载荷的系统失效概率模型系统中各零件的载荷可能不105设第i个零件承受的载荷yi～N(i,i)，则很容易得出它与标准正态分布函数y0～N(0,1)之间的关系：y0=(yi-)/或yi=y0+(7-8)由此，系统的n个零件中有任意k个失效的概率可以表达为：(7-9)设第i个零件承受的载荷yi～N(i,i)，则很容106上式中，表示对j从1到求和运算。其中，前一个求积公式是n个零件中任取k个零件进行求积运算，后一个求积公式是对剩余的(n-k)个零件做求积运算，共有组。这是由于各零件承受的载荷hi(y)不同，不同零件组合的失效不存在对等关系，不能直接应用这样的对称表达形式。相应地，串联系统失效概率的表达式：(7-10)上式中，表示对j从1到求和运算。其中，前一个求积公107由不同零件构成的系统的可靠性模型对于由不同零件组成的系统，若系统中各零件的强度是相互独立的情形，令x1,x2,…,xn分别表示n个零件的强度，Fi(x)表示第I个零件的强度xi(i=1n)的分布函数。用N和M分别表示零件强度的最小值和最大值，即N=min{X1,X2,…,Xn}M=max{X1,X2,…,Xn}由不同零件构成的系统的可靠性模型对于由不同零件组成的系统，若108零件强度的最小次序统计量和最大次序统计量的分布函数分别为（7-11）（7-12）根据最小强度次序统计量与载荷的干涉关系，可以得到串联系统的可靠度模型。即串联系统的可靠度等于零件强度最小次序统计量大于载荷的概率（7-13）并联系统的可靠度等于零件强度最大次序统计量大于载荷的概率（7-14）零件强度的最小次序统计量和最大次序统计量的分布函数分别为109小结载荷-强度干涉分析是可靠度计算的基础。通过系统层的载荷-强度干涉分析可以直接建立系统可靠性模型，而不需做“系统中各零件独立失效”假设。通过对各零件所承受的不同载荷的归一化处理，建立了可以计算系统中各零件载荷不同时的可靠度的模型；借助于最大、最小次序统计量的概率，建立了能计算由不同强度分布的零件组成的系统的可靠度的模型。这样的模型具有更广泛的应用范围。小结载荷-强度干涉分析是可靠度计算的基础。1107.5系统失效概率模型离散化问题＿1：一个10阶冗余系统在34次需求中发生的失效事件如下：不同失效阶次的“阀门不能正常打开”失效事件，其中包括5次单个零件失效，两次2重失效，一次3重失效，还有26次成功事件。失效阶数 事件数0 261 52 23 17.5系统失效概率模型离散化问题＿1：111问题＿2：Multiple-failureeventdataofthedifferentEDGgroups

Group Failure multiplicity 01 2 3 4 5122191714

2

1213956

3

1866111076

4

43222121问题＿2：112系统失效概率模型离散化

为了能将以失效机理为基础的系统失效概率模型用于实际工程系统，需要对积分方程进行离散化处理，以便能由系统或其零件的失效数据确定模型参数。积分是多项式求和的一种极限状态，可以近似地用多项式和的形式表达：（7-15）式中，p(xei)，f1(xei)是零件在载荷取值为xei时的条件失效概率；是载荷值出现于区间(xei-xei/2,xei+xei/2)内的频率。系统失效概率模型离散化为了能将以失效机理为基础的系统失效概113根据式（7-15）中各项的意义，可以由已知的系统失效数据确定其参数的具体数值。考虑一个n阶冗余系统，对其进行m次独立试验，第j次试验有kj（kj=0，1，2……n）个零件失效。每次试验出现的失效零件个数不同（即每次试验的结果kj不同），意味着在每次试验时出现的载荷样本不同。具体载荷值的出现情况由其概率密度函数f1(xe)决定。对于这m次试验，所有可能的结果可以用一个集合K{kj|kj=0,1,...,n}表示。根据小子样统计理论，在这样的试验中，i(i=0，1，2，...10)阶秩的失效数对应的累积分布（相当于本文中定义的条件失效概率）正好就是在载荷取值xei的条件下零件条件失效概率的估计（对于某一次试验而言，发生失效的零件数在统计意义上直接取决于载荷样本xei）即：(7-16)或根据式（7-15）中各项的意义，可以由已知的系统失效数据确定114与之对应的载荷xei的出现频率可用下式估计：

f1(xei)xei=mi/m

(7-17)其中隐含的原理是参数f1(xei)xei和p(xei)可以分别解释为特定载荷出现的频率和相应相应的零件条件失效概率。具有相同失效阶次的失效事件出现的相对频率可以看作是以p(xei)界定的特定载荷xei出现的频率。与之对应的载荷xei的出现频率可用下式估计：115有了上述估算参数的公式，就可以根据系统/零件失效事件数据估算或预测系统的各阶失效概率或系统可靠度。需要说明的是，上述参数离散化的基础是，样本分布是母体分布的合理近似。为了保证系统失效概率预测的精度，系统（包括串、并联系统）的阶次应足够高（例如系统包含的零件数在10个左右），以使在同样载荷环境下工作的零件个数（或失效模式数）多到可以近似代表母体的程度。这里所说的“系统阶次”是广义的说法，“阶次”可能是由系统中的零件数决定的，也可能是由失效模式数决定的。当然，对于同一零件的不同失效模式来说，由于对应于不同失效模式的“零件强度”或“抗力”一般不是独立同分布的，相应的模型也复杂的多。有了上述估算参数的公式，就可以根据系统/零件失效事件数据估算116算例一个10阶冗余系统在34次需求中发生的失效事件如下：不同失效阶次的“阀门不能正常打开”失效事件，其中包括5次单个零件失效，两次2重失效，一次3重失效，还有26次成功事件。换句话说，在对零件的340(3410)次试验中，共有12(51+22+13)个零件失效，显然，这些数据中既包含零件的失效概率信息，也包含系统相关失效信息。当估算零件失效概率时，单个零件失效事件与多重失效事件没有本质的区别，所有失效数据可以混合使用。因此，估算的零件失效概率为12/340=0.035。这是在概率风险分析中常用的方法。算例一个10阶冗余系统在34次需求中发生的失效事件如下：117对于这个系统失效概率预测问题，应用式（17）和式（16），容易知道，f1(xe1)xe1=5/34，p(xe1)=，f1(xe2)xe2=2/34，p(xe2)=，等等。详细内容示于下页表中。因此，这个系统的各阶共因失效概率都可以根据式（15）统一计算。对于这个系统失效概率预测问题，应用式（17）和式（16），118表1共因失效数据与共因失效模型参数失效阶数事件数f1(xei)xeip(xei)0260,7650150,1470.067220,0590.162310.0290.259表1共因失效数据与共因失效模型参数失效阶数事件数f1(x119第7章-相关失效系统可靠性干涉模型讲解课件120例子例子121小结借助于系统层的载荷-强度干涉分析，建立了直接用于计算系统失效概率的失效概率模型。分析显示，只要零件在共同的随机环境下工作，共因失效这种失效的相关性无论是在冗余系统中还是在非冗余系统中都是普遍存在的。尤其是强调指出了在进行系统失效概率分析时，即要同时包括环境因素和零件性能因素，又要明确区分二者的不同作用，以便在机理上深刻认识零件失效概率本身的概率特性和系统失效的相关性，建立精确的系统失效概率模型。小结借助于系统层的载荷-强度干涉分析，建立了直接用于计算系122Failur