现代材料加工力学-第四章课件

第四章应变场

Chapter4StrainField第四章应变场

Chapter4Strai14.1小应变理论

小应变理论是研究非连续体运动的。该理论一般认为位移u对坐标x或X的导数是很小的。在该理论中通常假设位移本身和位移梯度都是很小的。小变形下的应变张量的意义是相对应变，它是从位移导数张量中扣除刚性转动张量以后剩下的变形项。虽有其局限性。但在运用塑性增量理论求解大变形问题时,它仍然是适用的。对小应变理论,一般认为点的坐标用点的初始坐标来表示，但记法上用x而不用X。4.1小应变理论小应变理论是研24.1.1几何方程（geometryequation）

4.1.1几何方程（geometryequation）3一般小应变理论可表示为:其中,且为一个对称张量.所以若已知ui,由几何方程,通过求导可得出,但若已知却不能通过积分求出ui.

因为ui中包括刚体平动uip和转动而一般小应变理论可表示为:4讨论：

1.物理意义：表示位移(displacement)与应变(strain)之间的关系；2.位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（平动和转动）；3.工程剪应变

理论剪应变

4.应变符号规定：正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。讨论：54.1.2一点的应变状态

指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化情况。可表示为张量形式：

应变张量（straintensor）也可进行与应力张量类似的分析。

(i,j=x,y,z)4.1.2一点的应变状态(i,j=x,y,z64.1.3应变协调（连续）方程

4.1.3应变协调（连续）方程7讨论：

1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系；“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。

讨论：84.1.4应力应变分析的相似性与差异性相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似

4.1.4应力应变分析的相似性与差异性9

差异性：概念：应力研究面元ds上力的集度应变研究线元dl的变化情况内部关系：应力—应力平衡微分方程应变—应变连续（协调）方程弹性变形：相容方程塑性变形：体积不变条件

差异性：10等效关系：等效应力—弹性变形和塑性变形表达式相同等效应变—弹性变形和塑性变形表达式不相同对于弹性变形：（——泊松比）对于塑性变形：真实应力和真实应变含义：表示某瞬时的应力值表示对某瞬时之前的应变的积分等效关系：表示某瞬时的应力值表示对某瞬时之前的应变的积分11主应力、主应变图示：主应力—9种；主应变—3种[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？]主应力、主应变图示：124.2大应变理论

大应变理论又叫有限应变理论。应变分有限的（大变形）和无限小的（小变形）两种情况。一般小应变用增量理论（d)研究。而金属压力加工经常是大变形，因此在处理工程问题时，增量理论就有其局限性，这时应使用对数应变来表示有限应变。研究连续体的运动有两种方法:第一种是拉格朗日(Lagrange)方法，它立足于质点本身，即研究与某质点相关的某个标量、向量或张量的变化规律；第二种是欧拉(Euler)方法，这种方法着眼于观察者空间变化的质点，所考察的物理量是空间点的坐标和时间的函数。4.2大应变理论大应变理论又叫有限134.2.1拉格朗日(Lagrange)有限应变理论

假设两个无限接近的点M和N在由区域D变换到区域E时，分别占据空间点m和n，如图所示。在固定坐标系ox1x2x3(随动坐标与t有关)中，用径向来表示点的坐标，则有M（X），N（X+dX），向量MN是X的微分dX。又有m（x），n(x+dx)，向量mn是x的微分dx。4.2.1拉格朗日(Lagrange)有限应变理论14

如果M点的位移用u表示，而位移又是坐标的连续函数，则N点的位移可表示为u+du。这里u并不为很小的量，即时间间隔Δt并不是很小的量。另外,向量dX的自乘是其模MN的平方，所以有

(ｉ，p，k=1，2，3)

即:同样有：（标量）（张量）（向量）如果M点的位移用u表示，而位移又是坐标的连续函数15由于已知对坐标的微分为:

或由于已知16用线元的模的平方差反映线元长度的变化:线元长度的变化用相对值表示:于是拉格朗日有限应变张量为:用线元的模的平方差反映线元长度的变化:17证明：Lik是应变张量?因为:在三角形OmM中有所以证明：Lik是应变张量?18广义上来说，位移对坐标的导数统称为应变。Lik为应变张量.将其显示展开，则有:将该公式与比较。广义上来说，位移对坐标的导数统称为应变。19同理:而比较柯西应变和拉格朗日应变:

柯西应变:参照系固定

拉格朗日应变:参照系是运动的再比较线应变:同理:204.2.2欧拉(Euler)有限应变理论

用这种方法描写介质的运动时，无法测得质点的位置随时间变化的情况，但能测得每一空间点处所流过的质点的速度。向量dX的模的平方可记为:

向量dx的模的平方可写成:4.2.2欧拉(Euler)有限应变理论21令称Eik为欧拉有限应变张量它是一个二阶对称张量。同样也可以证明Eik为应变张量.用位移表示Eik就是它的展开式写法和Lik的展开式写法类似.令22比较(1)Lik是以变形前的坐标轴X为基准;Eik是以变形后的坐标轴x为基准；

ik是以固定坐标轴为基准。(2)对于单向应变中

（瞬时值）比较(1)Lik是以变形前的坐标轴X为基准;23例如:

如果变形体内某质点的运动可以用下列线性变换来描述:求Eik和Lik.解:

例如:24同样：即:可看出bi未进入应变张量,说明bi反映变形体的刚性位移.现代材料加工力学-第四章课件254.2.3有限应变张量的应用1.实验应用(experimentalsimulation)(1)网格法(2)云纹法(莫尔法)2.数值分析(numericalsimulation)主要是将Deform2D/3D用于体积成形(massivedeformation).主要采用Lagrange方法。MSC.SuperForge软件使用Eulerian网格。L-E方法稳态变形。4.2.3有限应变张量的应用1.实验应用(exp26回顾与思考1.εL和εE是有限应变张量，如何证明？特点：二阶张量中的9个分量是否对称,如何证明？2.小应变增量dεij，当积分路线已知时，通过积分可求出应变量εij；那么如果积分路线不可知呢，应该如何求解？3.

对数应变(1)在稳态变形过程中，应变主轴（ε1，ε2，ε3）在变形过程中不变（位移分量是坐标的一次函数）；(2)对于非稳态变形（例如单向拉伸时出现的颈缩现象），应变的计算采用对数应变（真应变）。

回顾与思考1.εL和εE是有限应变张量，如何证明？27

在单向拉伸中:则在工程应变中:单向压缩时:同理:

但对于多向拉伸或压缩时,应该如何求解呢?另外,对数应变是不是张量呢?(注:汪家才认为对数应变是张量.)还有,一般在大变形时采用对数应变计算,且在计算过程中不考虑积分路线,为什么?（提示:对数应变是可以叠加的,但工程应变不可叠加.）（负值）在单向拉伸中:（负值）284.3正交曲线坐标下的应变张量小应变张量(柯西方程)为在正交曲线坐标下的位移场为:

(其中上标-表示在曲线坐标下的分量.)表示位移沿每一点的局部坐标基方向的投影.各量的下标都是对局部坐标基而言的.4.3正交曲线坐标下的应变张量小应变张量(柯西方程)为29通过推导,可求出:以上两式经下标轮换后可得其它四个分量.下面给出柱坐标和球坐标.对于柱坐标,令,有:通过推导,可求出:30对于球坐标,令,有:对于球坐标,令31第四章应变场

Chapter4StrainField第四章应变场

Chapter4Strai324.1小应变理论

小应变理论是研究非连续体运动的。该理论一般认为位移u对坐标x或X的导数是很小的。在该理论中通常假设位移本身和位移梯度都是很小的。小变形下的应变张量的意义是相对应变，它是从位移导数张量中扣除刚性转动张量以后剩下的变形项。虽有其局限性。但在运用塑性增量理论求解大变形问题时,它仍然是适用的。对小应变理论,一般认为点的坐标用点的初始坐标来表示，但记法上用x而不用X。4.1小应变理论小应变理论是研334.1.1几何方程（geometryequation）

4.1.1几何方程（geometryequation）34一般小应变理论可表示为:其中,且为一个对称张量.所以若已知ui,由几何方程,通过求导可得出,但若已知却不能通过积分求出ui.

因为ui中包括刚体平动uip和转动而一般小应变理论可表示为:35讨论：

1.物理意义：表示位移(displacement)与应变(strain)之间的关系；2.位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（平动和转动）；3.工程剪应变

理论剪应变

4.应变符号规定：正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。讨论：364.1.2一点的应变状态

指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化情况。可表示为张量形式：

应变张量（straintensor）也可进行与应力张量类似的分析。

(i,j=x,y,z)4.1.2一点的应变状态(i,j=x,y,z374.1.3应变协调（连续）方程

4.1.3应变协调（连续）方程38讨论：

1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系；“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。

讨论：394.1.4应力应变分析的相似性与差异性相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似

4.1.4应力应变分析的相似性与差异性40

差异性：概念：应力研究面元ds上力的集度应变研究线元dl的变化情况内部关系：应力—应力平衡微分方程应变—应变连续（协调）方程弹性变形：相容方程塑性变形：体积不变条件

差异性：41等效关系：等效应力—弹性变形和塑性变形表达式相同等效应变—弹性变形和塑性变形表达式不相同对于弹性变形：（——泊松比）对于塑性变形：真实应力和真实应变含义：表示某瞬时的应力值表示对某瞬时之前的应变的积分等效关系：表示某瞬时的应力值表示对某瞬时之前的应变的积分42主应力、主应变图示：主应力—9种；主应变—3种[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？]主应力、主应变图示：434.2大应变理论

大应变理论又叫有限应变理论。应变分有限的（大变形）和无限小的（小变形）两种情况。一般小应变用增量理论（d)研究。而金属压力加工经常是大变形，因此在处理工程问题时，增量理论就有其局限性，这时应使用对数应变来表示有限应变。研究连续体的运动有两种方法:第一种是拉格朗日(Lagrange)方法，它立足于质点本身，即研究与某质点相关的某个标量、向量或张量的变化规律；第二种是欧拉(Euler)方法，这种方法着眼于观察者空间变化的质点，所考察的物理量是空间点的坐标和时间的函数。4.2大应变理论大应变理论又叫有限444.2.1拉格朗日(Lagrange)有限应变理论

假设两个无限接近的点M和N在由区域D变换到区域E时，分别占据空间点m和n，如图所示。在固定坐标系ox1x2x3(随动坐标与t有关)中，用径向来表示点的坐标，则有M（X），N（X+dX），向量MN是X的微分dX。又有m（x），n(x+dx)，向量mn是x的微分dx。4.2.1拉格朗日(Lagrange)有限应变理论45

如果M点的位移用u表示，而位移又是坐标的连续函数，则N点的位移可表示为u+du。这里u并不为很小的量，即时间间隔Δt并不是很小的量。另外,向量dX的自乘是其模MN的平方，所以有

(ｉ，p，k=1，2，3)

即:同样有：（标量）（张量）（向量）如果M点的位移用u表示，而位移又是坐标的连续函数46由于已知对坐标的微分为:

或由于已知47用线元的模的平方差反映线元长度的变化:线元长度的变化用相对值表示:于是拉格朗日有限应变张量为:用线元的模的平方差反映线元长度的变化:48证明：Lik是应变张量?因为:在三角形OmM中有所以证明：Lik是应变张量?49广义上来说，位移对坐标的导数统称为应变。Lik为应变张量.将其显示展开，则有:将该公式与比较。广义上来说，位移对坐标的导数统称为应变。50同理:而比较柯西应变和拉格朗日应变:

柯西应变:参照系固定

拉格朗日应变:参照系是运动的再比较线应变:同理:514.2.2欧拉(Euler)有限应变理论

用这种方法描写介质的运动时，无法测得质点的位置随时间变化的情况，但能测得每一空间点处所流过的质点的速度。向量dX的模的平方可记为:

向量dx的模的平方可写成:4.2.2欧拉(Euler)有限应变理论52令称Eik为欧拉有限应变张量它是一个二阶对称张量。同样也可以证明Eik为应变张量.用位移表示Eik就是它的展开式写法和Lik的展开式写法类似.令53比较(1)Lik是以变形前的坐标轴X为基准;Eik是以变形后的坐标轴x为基准；

ik是以固定坐标轴为基准。(2)对于单向应变中

（瞬时值）比较(1)Lik是以变形前的坐标轴X为基准;54例如:

如果变形体内某质点的运动可以用下列线性变换来描述:求Eik和Lik.解:

例如:55同样：即:可看出bi未进入应变张量,说明bi反映变形体的刚性位移.现代材料加工力学-第四章课件564.2.3有限应变张量的应用1.实验应用(experimentalsimulation)(1)网格法(2)云纹法(莫尔法)2.数值分析(numericalsimulation)主要是将Deform2D/3D用于体积成形(massivedeformation).主