定积分的概念课件

引言

从历史上说,定积分的概念产生于计算平面上封闭曲线围成区域的面积.为了计算计算这类区域的面积，最后把问题归结为计算具有特定结构的和式的极限.人们在实践中逐渐认识到这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具.因此,无论在理论上或实践中,定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分.本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积分的概念,讨论定积分的性质和计算等问题.Chapt8.定积分引言从历史上说,定积分的概念产生于1背景来源——面积的计算

在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧围成的平面区域的面积.长方形长×宽ab正方形边长×边长aa平行四边形底×高ah三角形底×高÷2ah÷2梯形（上底＋下底）×高÷2（a＋b）h÷2圆，扇形等背景来源——面积的计算

在初等几何中，我们只会计算由直线段和2如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是一个一般的几何问题，这个问题只有用极限的方法才能得到圆满的解决.如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是3一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直的两组平行线将它分成若干部分，总的说来，他们可以看作以下三类区域：(1)是矩形(已知的)，(2)是曲边三角形(曲边梯形的特殊情况)，(3)是曲边梯形。所以，只要会计算曲边梯形的面积就可以了.曲边梯形面积的计算问题就产生了定积分一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直4abxyo实例1:

（求曲边梯形的面积）一、问题的提出8.1定积分的概念图形.我们如何求曲边梯形的面积A=？abxyo实例1:（求曲边梯形的面积）一、问题的提出8.5圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的.在初等数学里，现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.

这里我们借助矩形的面积来定义曲边梯形的面积。圆面积是用一系列边数无限增6abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积

越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）基本思想(以直代曲)具体做法(如下)abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩71.分割分法任意（化整为零）在区间[a,b]内任意插入(n-1)个分点,称为区间[a,b]的一个分法(分割)，记为T.分法T将区间[a,b]分成n个小区间，过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边梯形分为n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔAi(

i=1,2,…,n)把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形1.分割分法任意（化整为零）在区间[a,b]内任意插入(n-82.代替（化曲为直）在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，于是，以为底，为高的小矩形面积应为小曲边梯形面积的近似值，即取法任意用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积，2.代替（化曲为直）在每个小区间[xi-1,xi]上93.求和（积零为整）将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面积近似值.曲边梯形面积A的近似值为：

将[a,b]逐次分下去，使小区间的长越来越小，则不论怎样选取，n个矩形面积之和应该越来越趋近于曲边梯形的面积.不难看到，在任何有限的过程中，n个矩形面积之和总是曲边梯形面积的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能转化为曲边梯形的面积.求n个小矩形面积之和.3.求和（积零为整）将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面104.取极限（化直为曲）于是，就相当于分割无限加细，让每个小区间的长度都无限趋近于零即n个小区间之长的最大者.如果当时，n个矩形面积之和存在极限，设则称A是曲边梯形面积.由此可见，曲边梯形面积A是一个特定结构和式的极限.这个定义给出了计算曲边梯形面积的方法.不过按此定义计算曲边梯形的面积，要进行复杂的运算.在后面一节中，将进一步讨论这个和式极限的计算方法.由近似值过渡到精确值4.取极限（化直为曲）于是，就11求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩12然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩13实例2:

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．以恒代变实例2:（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若14(1)分割部分路程值某时刻速度(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)代替路程的近似值(1)分割部分路程值某时刻速度(3)求和(4)取极限路程的精15从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，他们的分析结构完全相同，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如的具有特定结构和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义：

从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程16二、定积分的定义定义:设函数f(x)在[a,b]上有定义,在[a,b]内任意插入(n-1)分点使T={x0,x1,…,xn

}={Δ1,Δ2,…,Δn}将[a,b]分成n个小区间Δi=[xi-1,xi

]i=1,2,…,n

这些分点构成[a,b]的一个分法(分割)，记为T,

x1,…,xn-1,分法任意二、定积分的定义定义:设函数f(x)在[a,b]17各小区间的长度依此记为Δxi=

xi-xi-1

,(i=1,2,…，n)在上任取点i

Δi,i=1,2,…,n，作和称此和式为f(x)在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和.(Rienann和)注：显然函数f(x)在[a,b]的积分和与分法(割)T

有关，也与一组={

}(i

Δi,i=1,…,n)的取法有关.取法任意各小区间的长度依此记为Δxi=xi-xi-1,(i=118

记如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；也不论在小区间上，点怎样的取法，只要时，积分和存在确定的有限极限则称函数f(x)在[a,b]上(黎曼)可积；数I称为f在[a,b]上的定积分.亦称黎曼积分,记如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；也不论在小区间19记为且数Ⅰ与分法T无关，也与在的取法无关.

记为且数Ⅰ与分法T无关，也与在20在定积分符号中，各部分的名称如下：(Rienann积分)在定积分符号中，各部分的名称如下：(Rienann积分)21注意：规定当a=b时,规定当a>b时,函数f(x)在区间[a,b]的定积分的定义要求a≠b且a<b，如果a=b或a>b,定积分没有意义，为了运算的需要，注意：规定当a=b时,规定当a>b时,函数22时必定同时有(3)一般不能用因为来代替时未必有但唯一重要的是分割的细度

极限的存在，与分割T的形式无关，与的选择也无关；当足够小时，总能使积分和与某一确定的数I无限接近.时必定同时有(3)一般不能用因为23把定积分定义的说法和函数极限的说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分，(4)积分和的极限与函数的极限有很大的区别积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：

然而，

◆在函数极限中，对每一个变量x来说，f(x)的值是唯一确定的；◆由于积分和与函数f(X),分法T,取法有关。而对于积分和的极限而言，它不是分法T的函数，每一个并不唯一对应积分和的一个值.它的要求条件很强，即必须是“任意分法”和“任意取法”下，各种各样的积分和都无限趋近于同一个有限常数，才能说定积分存在。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.把定积分定义的说法和函数极限的说法相对照，24与的差别

是的全体原函数是函数是一个和式的极限是一个确定的常数(5)不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.定积分则是某种特殊和式的极限，求不定积分是求导数的逆运算，与的差别是的全体原函数是函数是一个和式的251.曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b，

所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.2.物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔的定积分，即1.曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x26

黎曼（GeorgFriedrichBernhardRiemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献。黎曼（GeorgFriedrichBernh27与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关

在

上连续，则定积分

的值4.(B)中，积分上限是

积分下限是

积分区间是

2.(A)及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为

与直线

由曲线(B)举例

2-2[-2,2]0A3.定积分(A)与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关在上连28三、函数可积的必要条件证明：（用反证法）假设函数f(x)在[a,b]无界对于[a,b]的任意分割T，必至少有一个小区间，不妨设在函数f(x)无界.三、函数可积的必要条件证明：（用反证法）假设函数f(x)在[29定积分的概念课件30即积分和无界，从而，积分和不存在极限，这与函数f(x)在[a,b]可积矛盾.即积分和无界，从而，积分和不存在极限，31注：函数f(x)在[a,b]有界仅是函数f(x)在[a,b]可积的必要条件，不是充分条件.即，有的函数虽然有界，但也不可积.例如：狄利克雷(Dirichlet

)函数，X是[0,1]的有理函数X是[0,1]的无理函数D(x)在[0,1]内有界，但它在[0,1]不可积.注：函数f(x)在[a,b]有界仅是函数f(x)在[a,32若能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，则该函数在所论区间上是不可积的.分析：若能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，则该函数33证明：对于[0,1]的任意分法T,因为在[0,1]的有理函数与无理函数是处处稠密的，所以，在每个小区间上既存在有理函数又存在无理函数.若每个取为无理函数，则积分和若每个取为无理函数，则积分和于是，当时，积分和不存在极限，即D(x)在[0,1]不可积.D(x)在[0,1]不可积.证明：对于[0,1]的任意分法T,因为在[0,1]的有理341、当f(x)≥0，定积分的几何意义就是曲线y=f(x)直线x=a，x=b，y=0所围成的曲边梯形的面积bAoxyay=f(x)S四、定积分的几何意义1、当f(x)≥0，定积分的几何意义就是曲线y352、当函数f(x)0，x[a,b]时定积分几何意义就是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数.即oxyaby=f(x)S2、当函数f(x)0，x[a,b]时定积36几何意义：ab几何意义：ab37曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值ab38定积分的概念课件39五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3.定积分的几何意义五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和40例利用定义计算定积分解例利用定义计算定积分解41定积分的概念课件42人物简介

黎曼（1826～1866）Riemann，GeorgFriedrichBernhard德国数学家，物理学家。1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利塞那斯加。1846年入格丁根大学读神学与哲学，后来转学数学，在大学期间有两年去柏林大学就读，受到C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。1849年回格丁根。1851年获博士学位。1854年成为格丁根大学的讲师，1859年接替狄利克雷成为教授。

人物简介黎曼（1826～1866）Riemann，Ge431851年论证了复变函数可导的必要充分条件（即柯西-黎曼方程）。借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理，成为函数的几何理论的基础。1853年定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。1854年发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。1857年发表的关于阿贝尔函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。1851年论证了复变函数可导的必要充分条件（即44引言

从历史上说,定积分的概念产生于计算平面上封闭曲线围成区域的面积.为了计算计算这类区域的面积，最后把问题归结为计算具有特定结构的和式的极限.人们在实践中逐渐认识到这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具.因此,无论在理论上或实践中,定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分.本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积分的概念,讨论定积分的性质和计算等问题.Chapt8.定积分引言从历史上说,定积分的概念产生于45背景来源——面积的计算

在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧围成的平面区域的面积.长方形长×宽ab正方形边长×边长aa平行四边形底×高ah三角形底×高÷2ah÷2梯形（上底＋下底）×高÷2（a＋b）h÷2圆，扇形等背景来源——面积的计算

在初等几何中，我们只会计算由直线段和46如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是一个一般的几何问题，这个问题只有用极限的方法才能得到圆满的解决.如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是47一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直的两组平行线将它分成若干部分，总的说来，他们可以看作以下三类区域：(1)是矩形(已知的)，(2)是曲边三角形(曲边梯形的特殊情况)，(3)是曲边梯形。所以，只要会计算曲边梯形的面积就可以了.曲边梯形面积的计算问题就产生了定积分一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直48abxyo实例1:

（求曲边梯形的面积）一、问题的提出8.1定积分的概念图形.我们如何求曲边梯形的面积A=？abxyo实例1:（求曲边梯形的面积）一、问题的提出8.49圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的.在初等数学里，现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.

这里我们借助矩形的面积来定义曲边梯形的面积。圆面积是用一系列边数无限增50abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积

越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）基本思想(以直代曲)具体做法(如下)abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩511.分割分法任意（化整为零）在区间[a,b]内任意插入(n-1)个分点,称为区间[a,b]的一个分法(分割)，记为T.分法T将区间[a,b]分成n个小区间，过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边梯形分为n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔAi(

i=1,2,…,n)把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形1.分割分法任意（化整为零）在区间[a,b]内任意插入(n-522.代替（化曲为直）在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，于是，以为底，为高的小矩形面积应为小曲边梯形面积的近似值，即取法任意用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积，2.代替（化曲为直）在每个小区间[xi-1,xi]上533.求和（积零为整）将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面积近似值.曲边梯形面积A的近似值为：

将[a,b]逐次分下去，使小区间的长越来越小，则不论怎样选取，n个矩形面积之和应该越来越趋近于曲边梯形的面积.不难看到，在任何有限的过程中，n个矩形面积之和总是曲边梯形面积的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能转化为曲边梯形的面积.求n个小矩形面积之和.3.求和（积零为整）将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面544.取极限（化直为曲）于是，就相当于分割无限加细，让每个小区间的长度都无限趋近于零即n个小区间之长的最大者.如果当时，n个矩形面积之和存在极限，设则称A是曲边梯形面积.由此可见，曲边梯形面积A是一个特定结构和式的极限.这个定义给出了计算曲边梯形面积的方法.不过按此定义计算曲边梯形的面积，要进行复杂的运算.在后面一节中，将进一步讨论这个和式极限的计算方法.由近似值过渡到精确值4.取极限（化直为曲）于是，就55求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩56然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩57实例2:

（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．以恒代变实例2:（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若58(1)分割部分路程值某时刻速度(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)代替路程的近似值(1)分割部分路程值某时刻速度(3)求和(4)取极限路程的精59从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，他们的分析结构完全相同，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如的具有特定结构和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义：

从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程60二、定积分的定义定义:设函数f(x)在[a,b]上有定义,在[a,b]内任意插入(n-1)分点使T={x0,x1,…,xn

}={Δ1,Δ2,…,Δn}将[a,b]分成n个小区间Δi=[xi-1,xi

]i=1,2,…,n

这些分点构成[a,b]的一个分法(分割)，记为T,

x1,…,xn-1,分法任意二、定积分的定义定义:设函数f(x)在[a,b]61各小区间的长度依此记为Δxi=

xi-xi-1

,(i=1,2,…，n)在上任取点i

Δi,i=1,2,…,n，作和称此和式为f(x)在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和.(Rienann和)注：显然函数f(x)在[a,b]的积分和与分法(割)T

有关，也与一组={

}(i

Δi,i=1,…,n)的取法有关.取法任意各小区间的长度依此记为Δxi=xi-xi-1,(i=162

记如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；也不论在小区间上，点怎样的取法，只要时，积分和存在确定的有限极限则称函数f(x)在[a,b]上(黎曼)可积；数I称为f在[a,b]上的定积分.亦称黎曼积分,记如果不论对[a,b]怎样的分法(分割)；也不论在小区间63记为且数Ⅰ与分法T无关，也与在的取法无关.

记为且数Ⅰ与分法T无关，也与在64在定积分符号中，各部分的名称如下：(Rienann积分)在定积分符号中，各部分的名称如下：(Rienann积分)65注意：规定当a=b时,规定当a>b时,函数f(x)在区间[a,b]的定积分的定义要求a≠b且a<b，如果a=b或a>b,定积分没有意义，为了运算的需要，注意：规定当a=b时,规定当a>b时,函数66时必定同时有(3)一般不能用因为来代替时未必有但唯一重要的是分割的细度

极限的存在，与分割T的形式无关，与的选择也无关；当足够小时，总能使积分和与某一确定的数I无限接近.时必定同时有(3)一般不能用因为67把定积分定义的说法和函数极限的说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分，(4)积分和的极限与函数的极限有很大的区别积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：

然而，

◆在函数极限中，对每一个变量x来说，f(x)的值是唯一确定的；◆由于积分和与函数f(X),分法T,取法有关。而对于积分和的极限而言，它不是分法T的函数，每一个并不唯一对应积分和的一个值.它的要求条件很强，即必须是“任意分法”和“任意取法”下，各种各样的积分和都无限趋近于同一个有限常数，才能说定积分存在。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.把定积分定义的说法和函数极限的说法相对照，68与的差别

是的全体原函数是函数是一个和式的极限是一个确定的常数(5)不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.定积分则是某种特殊和式的极限，求不定积分是求导数的逆运算，与的差别是的全体原函数是函数是一个和式的691.曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x=b，

所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分.2.物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔的定积分，即1.曲线y=f(x)≥0，直线x=a，x70

黎曼（GeorgFriedrichBernhardRiemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献。黎曼（GeorgFriedrichBernh71与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关

在

上连续，则定积分

的值4.(B)中，积分上限是

积分下限是

积分区间是

2.(A)及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为

与直线

由曲线(B)举例

2-2[-2,2]0A3.定积分(A)与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关在上连72三、函数可积的必要条件证明：（用反证法）假设函数f(x)在[a,b]无界对于[a,b]的任意分割T，必至少有一个小区间，不妨设在函数f(x)无界.三、函数可积的必要条件证明：（用反证法）假设函数f(x)在[73定积分的概念课件74即积分和无界，从而，积分和不存在极限，这与函数f(x)在[a,b]可积矛盾.即积分和无界，从而，积分和不存在极限，75注：函数f(x)在[a,b]有界仅是函数f(x)在[a,b]可积的必要条件，不是充分条件.即，有的函数虽然有界，但也不可积.例如：狄利克雷(Dirichlet

)函数，X是[0,1]的有理函数X是[0,1]的无理函数D(x)在[0,1]内有界，但它在[0,1]不可积.注：函数f(x)在[a,b