国内外中学数学教学改革与发展课件

第一部分：国外中学数学教学改革与发展

第二部分：数学教育的基本理论第2讲第一部分：国外中学数学教学改革与发展

第二部分：数学教育的基1中学数学教学改革的近代化运动

国际中学数学教育现代化运动

“新数运动”的时代背景

“新数运动”的特点与改革成果

“新数运动”的总结与反思

中学数学教育与课程改革简况

美国、英国

国际数学教育改革发展的新特点

中小学数学课程目标、数学教学内容及处理国际方面中学数学教学改革的近代化运动

国际中学数学教育现代化运动

“2克莱因—贝利运动克莱因（Felixklein1849-1925）数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事务才能显得明了而简单。一个称职的教师应当掌握或了解数学各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。教育应该是发生性的，所以空间的直观，数学上的应用，函数的概念是非常必要的。应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题，而不要去深钻那种特殊的解法。应该把算术、代数和几何学方面的内容，用几何的形式以函数为中心观念综合起来。

《中学数学教学讲义》（1907）

《高观点下的初等数学》（1908）近代化运动克莱因—贝利运动克莱因（Felixklein1849-13克莱因—贝利运动贝利1901年“数学的教育”的报告数学要从欧几里得的束缚中走出来，提出重视实验几何、几何应用，重视测量和计算的口号，建议尽早开设微积分。强调了数学的实用性价值，提出数学教学要强调应用；他主张改革几何教育，加强实用计算，并提出把微积分早日渗透到中学数学中；应肯定数学教育中思想教育的重要意义，坚持让学生自已去思考发现和解决问题；强调联系实际学习数学的重要性等等。近代化运动克莱因—贝利运动贝利1901年“数学的教育4克莱因—贝利运动的基本精神使教材教法近代化、心理化，强调数学教材的实践性、应用性；实现数学各科的有机统一、理论与实践的统一。结局：由于课程内容的改革是与学科结构、教学思想、教学理论和方法，以及教师水平等问题联系在一起的。因此，孤立地彻底改革课程内容是不可能的；再者，由于一些客观情况，如第一、二次世界大战，中断了一些有价值的改革试验，再加上当时实用主义哲学和教育思想的冲击等，使这一场很有价值的中学数学教学的近代化改革运动最终未能取得满意的结果。克莱因—贝利运动的基本精神使教材教法近代化、心理化，强调数5"新数运动"

背景世界上科学技术先进的国家，对当时所出现的中学数学教学质量太差、效率太低的现象普遍感到不满；加之这一时期科学技术不断发展，数学出现了许多独立发展的新分支，数学的应用日趋广泛，并且渗透到各个科学领域，而传统的教学内容、教学理论和教学方法却远远不能适应时代发展的需要。现代化运动"新数运动"背景现代化运动6数学教育现代化运动首先在美国发起

1957年11月，原苏联的第一颗人造地球卫星上天，引起了世界的震惊。它促使人们以新的眼光去认识科学技术发展的需要和教育改革的关系，尤其是注意了数学教育的改革问题。特别是美国，首先认识到美国的数学教育和原苏联之间的差距。总结出了"极为重要的空间和国防计划方面能否成功，甚至能否进行，极大地依赖于数学及其应用是否占优势"的重要结论。美国教育界和科学界的这种看法促使美国政府也极度关心数学教育状况。于是首先在美国出现一个“数学教育现代化”的浪潮，随后又很快地波及到几乎整个世界，故称为“新数运动”。数学教育现代化运动首先在美国发起1957年11月，原苏联的71959年9月美国"全国科学院"召开会议会上研究了课程改革问题，会议主席布鲁纳在他的总结报告《教育过程》中，提出了四个新的思想：第一，学习任何科学，务必使学生理解该学科的基本结构(简称结构思想想)；第二，任何学科的知识都可以用某种方法教给任何年龄的学生(早期教育思想)；第三，让学生象原来科学家那样亲自去发现所学习的结论；即所谓发现法；第四，激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣。1959年9月美国"全国科学院"召开会议会上研究了课程改8“新数运动”的特征

——在中学引进现代数学的概念，使整个数学课程结构化

1)增加了现代数学内容。2)强调结构、组成统一的数学课程，不再分算术、代数、几何等科目，而是用集合、关系、映射等思想观点，把数学课程统一成为一个整体。3）采用演绎法、强调公理方总。培养学生的抽象思维，使学生既有批判能力，又有合乎逻辑、富有创造性的头脑和严密的逻辑推理能力。4）废弃欧几里得几何、把平面几何与立体几何合并，用变换观点(如西德)或线性代数的方法(如法国)来处理。5）削减传统的计算，认为"大量的传统计算无助于加深学生对方法的理解"。“新数运动”的特征

——在中学引进现代数学9主要成果首先，涌现出了一批对数学和数学教育有远见、有洞察力、有影响的数学教育工作者。在一些国家中建立了中学、高等学校数学教师以及教育理论家之间的合作机构共同来研究课程的发展。其次，大多数国家的中学数学课程形成了一个统一的整体。强调结构和原理，克服了传统数学教学只强调机械计算的毛病。再次，在国际上由于各种方案设计、会议、辩论、商讨，已经形成数学教育工作者活跃的联络。四年一次的国际数学教育大会供数学家、数学教育工作者互相交流思想、交换看法，大有益处。最后，数学教育大变革使教师更加集中注意教育的成果，使教师经常考虑教什么，如何教，如何学三者之间的关系。他们还会继续辩论哪些内容是必需的，因此将来会对课程作更加正规、更加批判性的审查研究。主要成果首先，涌现出了一批对数学和数学教育有远见、有洞察力、10存在问题及教训(1)“新数”着眼于现代数学的观点，而不考虑学生未来工作、生活的需要。也没有认真考虑社会对数学教育的总体要求。(2)抽象概念过早引人，学生难以接受和理解，影响学生的学习情绪。(3)“新数”只强调公理化、形式化和演绎推理，忽视了由直觉思维到形式思维所必需的转化过程。(4)“新数”忽视了应用，使学生的计算能力和恒等变形的能力有所下降。使部分学生因不适应“新数”的学习，成为“落后生”。（5）学生计算能力差，学生负担过重，影响了教学质量。存在问题及教训(1)“新数”着眼于现代数学的观点，而不考虑学11自70年代到80年代初期，是总结经验教训，重新评价改革方向的阶段。经过10多年的实践，人们发现学习"新数的学生计算能力和几何直观能力都很差，毕业后无论就业或升学都有困难，甚至不懂把学得的知识去解决哪怕是日常生活中经常遇到的问题。学生家长也很烦恼，因为他们不但无法辅导自己的孩子，而且根本不知道自己的孩子是在学些什么。反对意见越来越多，到70年代初期，"新数运动"遭到普遍的强烈批评。作为"新数运动"的一种“反动”，“回到基础”又成为美国数学教育界的主要口号。随后其他国家也有相同的要求。在一片“回到基础”的呼声中，各国70年代后期，都采了了相应的调整措施。自70年代到80年代初期，是总结经验教训，重新评价改革方向的12《学校数学原则与标准》2000

强调科学技术在数学课程中的重要地位，并强调数学教育应当促进所有的学生学习数学，数学教育应当向所有的学生提供平等的学习数学的机会。《学校数学原则与标准》13全美国教师协会研制的《学校数学的原则和标准》中提出六个基本理念：1．公平：数学教育中最为重要的是公平：对所有学生提供强有力的支持和高期望．2．课程：课程不仅仅是一系列的活动集：它必须是连贯的、集中于重要的数学，而且使各年级的数学系统化．3．教学：有效率的教学要求理解学生所知道和需要学习的知识，然后鼓励和支持他们学得更好．4．学习：学生必需通过理解来学习数学，从经验和以前的知识积极地建构新知识．5．评价：评价应该支持重要的数学的学习，而且获得对教师和学生都有用的信息．6．技术：技术是重要的，在数学教学中它影响被教的数学，而且改善学生的学习．IdeaofPrinciplesandStandardsforSchoolMathematics全美国教师协会研制的《学校数学的原则和标准》中提出六个基本理14各国近20年来中学数学教育与课程改革简况英国《Cockcroft报告》1982

数学教育的根本目的是为了满足学生今后——成人生活、就业和进一步学习的需要，强调数学教学与学生日常生活经验的联系，强调让学生成功地发展学习数学的自信心，强调更好地发展个别化教学方法以适应不同能力学生的学习需要。

以《Cockcroft报告》为背景，1988年，英国成立了国家课程委员会，1989年实行统一的国家课程。国家数学课程由学习大纲和教学目标两部分组成，明确规定每个水平的学习要求，体现统一要求又具有弹性的结构特点。英国强调数学教材的生动性、应用性、综合性和实践性，因而英国学生的操作能力（包括计算机、计算器的运用能力）和应用知识的能力比较强。

各国近20年来中学数学教育与课程改革简况15学校数学设计小组（SMP）教材

在英国数学课程标准的指导下，90年代的SMP具有注重学习过程、注重应用、注重现代技术、注重内容的通俗性和趣味性，注重学生的经验，体现一定的弹性的诸多特色。“世纪数学教材”

1991伦敦大学教育学院新一轮国家课程标准2019

四项发展目标：精神方面的发展，道德方面的发展，社会方面的发展，文化方面的发展和六项基本技能：交往、数的处理、信息技术、共同操作、改进学习、解决问题。同时强调四个方面的价值观：自我、人际关系、社会和环境。学校数学设计小组（SMP）教材16国际数学课程改革的发展趋势越来越强调数学的应用性和实践性越来越强调学生主体的活动性计算机与数学教育的联系越来越紧密目标的个性化与差别化数学与其他学科的结合国际数学课程改革的发展趋势越来越强调数学的应用性和实践性17

中小学数学课程目标

重视问题解决增强实践环节强调数学交流强调数学对发展人的一般能力的价值，淡化纯数学意义上的能力结构，重在可持续性发展着重数学应用和思想方法增强数学的感受和体验加强计算机的应用，将计算机作为一项人人需要掌握的技术手段国际中学数学教学改革的新特点

国际中学数学教学改革的新特点18

关于数学教学内容及处理数学教科书的素材应当来源于学生的现实加强综合化和整体性，使学生尽早体会数学的全貌。注重现代数学思想方法的渗透注意教材中的数学活动材料的选取和知识的发生发展过程，注意教材对学生的探索、猜想等活动的引导和对学生数学能力的培养教材注意面对解决实际问题与日常生活问题：包括提出问题；设计任务、收集信息、选用数学，注意加强数学与其他学科领域的联系，注重在应用数学解决问题的过程中，使学生学习数学、理解数学加强几何直观，特别是三维空间的认识，降低传统欧氏几何的地位，用现代数学思想处理几何问题注重新技术对数学课程的影响；从新技术带给数学的深刻变化，重新审视了教学应选取的数学内容。较早引入计算器、计算机，发挥现代信息技术手段在探索数学、解决问题中的作用课程结构既适应“数学为大众”的潮流，又强调了“个别化学习”课程内容的安排一般是螺旋式上升的或采取适于因材施教的“多轨制”，而不是“一步到位”。对重要的数学概念与思想方法的学习逐级递进以符合学生的数学认知规律呈现形式注意丰富多彩。教科书根据不同年龄段学生的兴趣爱好和认知特征，采取适合于学生的多种表现形式关于数学教学内容及处理19第二部分：数学教育的基本理论

第二部分：数学教育的基本理论

20本章学习提要一、弗赖登塔尔的数学教育理论——《作为教育任务的数学》二、波利亚的解题理论——《怎样解题》三、建构主义的数学教育理论四、我国“双基”数学教学的成功与不足本章学习提要21一、弗赖登塔尔的数学教育理论

——《作为教育任务的数学》一、弗赖登塔尔的数学教育理论

——《作为教育任务的数学》22(一)弗赖登塔尔的生平

HansFreudenthal（1905-1990年）,荷兰数学家和数学教育家,生于德国。1930年获柏林大学数学博士学位；1946年起任荷兰Utrecht大学教授；1951年起为荷兰皇家科学院院士；1971-1976年任数学教育研究所所长；1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父(一)弗赖登塔尔的生平

HansFreu23（二）弗赖登塔尔数学教育贡献

“对于数学教育，本世纪的上半叶FelixKlein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶HansFreudenthal做出了巨大的贡献。”

——加亨(Kahane)教授主要工作：1967年当选为国际数学教育委员会主席单独举行国际数学教育大会（ICME－1，1969．法国．里昂）提倡数学教育的科学研究创办ICME的理论刊物——《EducationalStudiesinMathematics（数学教育研究）》主要数学教育论著：

《作为教育任务的数学》，1973年版

；《除草与播种———数学教育学的序言》，1978年版

；《数学结构的教学法现象》，1983年版

；《数学教育再探———在中国的三次讲学》，1978年版

。（二）弗赖登塔尔数学教育贡献

“对于数学教育，本世纪24《作为教育任务的数学》介绍共19章:(1)数学的传统；(2)今日数学；(3)传统和教育；(4)数学教育的用处和目的；(5)苏格拉底法；(6)再创造；(7)用数学化的方法组织一个域；(8)数学的严谨性；(9)教学；——手中的书厚了，心中的书才能薄

(10)数学教师；(11)数的概念；(12)数的概念发展1；(13)数的概念的发展2；(14)数的概念发展3；(15)集合与函数；(16)几何的情况；(17)分析学；(18)概率与统计；(19)逻辑。《作为教育任务的数学》介绍共19章:(10)数学教师；25——情景问题是教学的平台——数学化是数学教育的目标——学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分——“互动”是主要的学习方式——学科交织是数学教育内容的呈现方式“现实”、“数学化”、“再创造”（三）弗赖登塔尔数学教育的主要特征——情景问题是教学的平台（三）弗赖登塔尔数学教育的主要特征26何谓数学教育中的“现实”数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实例题生活化，问题情境化何谓数学教育中的“现实”数学教育中的现实——数学来源于现实，27运用“现实的数学”进行教学需明确以下认识第一，把最能反映现代生产，现代社会生活需要的最基本最核心的数学知识和技能，应作为数学教育的内容．第二，数学教育的内容不能只考虑代数、几何、三角之间的联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系第三，不同专业所需的数学知识不尽相同，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识，即不同的人应有不同需要的“现实的数学”．运用“现实的数学”进行教学需明确以下认识第一，把最能反映现代28什么是“数学化”人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织现实世界的过程就是数学化抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化数学化的两种形式：一是实际问题转化为数学问题，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理基本流程P168什么是“数学化”人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用29数学学习的“再创造”学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doingmathematics)的过程。其核心是数学过程再现。不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。”也不是简单地“教师指导下的学生活动。”而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行组织的学习方式。数学学习的“再创造”学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一30作业简评弗赖登塔尔的数学教育思想（可选其中的某一方面，例如关于数学教育目的、数学教育原则、教师培训，等等）作业简评弗赖登塔尔的数学教育思想（可选其中的某一方面，例如关31二、波利亚的解题理论

二、波利亚的解题理论

32(一)波利亚的生平

乔治·波利亚（GeorgePolya,1887~1985）美籍匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国1942年起任美国斯坦福大学教授他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的名字命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。(一)波利亚的生平

乔治·波利亚（GeorgePolya,33

主要著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》先后被译成14种文字多次出版，风行世界。20世纪80年代中期，三本著作的中译本问世，数学解题理论成为数学教育研究的热点。主要思想：倡导教会思考学习原则：主动学习原则培养创造精神最佳动机原则探索式教学阶段序进原则波利亚的“怎样解题表”：提出问题、拟定计划、实行计划、回顾。主要著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》先34《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”——范.德.瓦尔登《怎样解题》《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册35对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于1000字的小论文作业对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于1000字的小论36三、建构主义的数学教育理论

三、建构主义的数学教育理论

37《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）在树林旁边的池塘里，有一条小鱼和一只蝌蚪在水草间游来游去。他们形影不离。《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）在树林旁边38《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）鸟就是有翅膀的鱼《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）鸟就是有39《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）奶牛是长着四条腿的鱼

《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）奶牛是长40《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）人成了有尾巴走路的鱼

《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）人成了有41这个故事说明了什么呢？这个故事说明了什么呢？42鱼是按照已有的知识在认知新事物。所以，不难解释为什么神、鬼、魔、妖都有人的样子。没有人见过，所以人只能按已有的知识去建构新的事物。对于学习，因为要学不知道的东西，一定要注意“建构”的思想，你得先知道学习者现有的知识结构，用现有的知识去认知陌生的内容。对于谈话，你得看清楚对方是什么人，然后你才会知道他会怎样去建构你所说的陌生的东西。对于记忆，最好能把不知道的东西转化为自己熟悉的东西。对于理解，我们应该知道，每个人建构的东西是不同的，很多都不应强求统一。所以每个人都可以学到自己的“语文、数学、英语”，这倒是有合理的一面的。……鱼是按照已有的知识在认知新事物。43建构主义学习理论的主要观点从方法论角度而言,建构主义认为，“人类是认识的主体，人的行为是有目的的，今天人类具有高度发展的组织知识的能力”。这种认识在教育学意义就是，教师必须知道学生正在想什么，他们对所呈现的材料有何反应，教师要重视诊断学生的工具，教师不要整天或长年让学生做练习，而要训练学生建构重要概念和原则的技能，教师要向学生提供促进建构数学对象和关系的材料、工具、模型的良好的学习环境。

从认知理论的观点来看，建构主义认为，“知识不是通过感官或交流被动获得的，而是通过认识主体的反省抽象来主动建构的，有目的的活动和认知结构的发展存在着必然的联系，儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展”。建构主义学习理论的主要观点44建构主义数学知识观的主要论点·数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征。它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，它不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程。否则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习。建构主义数学知识观的主要论点·数学知识不是对现实的纯粹客观的45建构主义数学学习观的主要论点建构主义认为学习是获取知识的过程，但不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得。建构主义学习理论认为“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。

建构主义数学学习观的主要论点建构主义认为学习是获取知识的过程46建构主义数学教学观的主要论点教师应把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验。教师不是仅仅作为知识的呈现者，也不是知识权威的象征，而应该重视学生自己对各种现象的理解，倾听他们时下的看法，思考他们这些想法的由来，并以此为据，引导学生丰富或调整自己的解释。教师不唯一着眼于结论，而是更加注重过程的分析；变“问题解决”为“数学地思考”，并以此为中心。建构主义数学教学观的主要论点教师应把学习者原有的知识经验作为47建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）(美国,)杜宾斯基)（以函数概念为例）Action（操作）阶段：理解函数需要活动或操作。通过操作活动，理解函数的意义Process（过程）阶段：把上述操作活动综合为一个函数过程。xx2，xf(x)Obiect（对象）过程：把函数过程当作一个独立的对象来处理。函数的加减乘除、复合运算Scheme（模型）阶段：函数概念以一种综合的模型存于大脑，形成知识的体系（完整）。建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）(美国,)杜宾斯基48建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）（以代数式概念为例）代数式的本质在于“不定元”和数字可以像数一样进行运算A：通过运算活动理解具体的代数式P：体验代数式的过程O：对代数式的形式化表述S：建立综合的模型。学生头脑中建立代数式的心理表征：具体实例，运算过程，字母表示一类数的数学思想，代数式的定义，能运用建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）（以代数式概念为49建构主义的教学、学习理论的局限性1合作学习对某些学习不合适。例如数学中简单的加法运算就不适合合作学习2不利于低能学生和来自于其他文化背景下的学生学习。特别参与式的学习结构对他们的学习造成障碍，同时会增加学生学习时的心理负担。3教师面对课堂内外的挑战容易产生精神负担。课堂外教师必须事先设计好符合教学内容的情景和针对问题提出思考的问题，课堂内教师还要掌握时机来参与教学。建构主义的这种教学要求教师具有建立一个具有智力标准并与意义建构相联系的讨论群体能力。

建构主义的教学、学习理论的局限性1合作学习对某些学习不合适50四、我国“双基”数学教学的成功与不足

四、我国“双基”数学教学的成功与不足

51（一）“双基”——“数学基础知识”和“数学基本技能”

一个统一：全国统一的课程与考试制度两个基础：基础知识和基本技能三大能力：基本运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力四个结合：⑴教师主导作用和学生的主体作用相结合；⑵抽象理论和具体实践相结合；⑶有效讲授和变式演练相结合；（4）逻辑严密和淡化形式相结合。五个环节：复习旧课→导入新课→讲授讨论→巩固练习→布置作业。（一）“双基”——“数学基础知识”和“数学基本技能”

一52(二）“双基”数学教学理论的独特认识

运算速度：强调运算的速度知识的记忆：强调必要的记忆，认为记忆是理解的基础适度形式化的逻辑要求：反对过度形式化，应该进行一定的“非形式化”重复训练：强调反复训练，注重进行一定的重复以形成“技能”(二）“双基”数学教学理论的独特认识

运算速度：强调运算53（三）“双基”数学教学的经验

“启发式”教学:教学过程中，教师通过“显性”和“隐性”的提问驱动学生的思维活动。显性的是课堂提问，隐性的提问则是启发。“精讲多练”:双基数学教学不排斥讲解、示范。但是，总的来说，练习应当多于讲解。“变式练习”:学生要做大量的练习，但是这些练习并非简单重复，而是通过变换数学问题的非本质方面，从而突出数学概念和性质的本质属性。

“小步走，小转弯，小坡度”的三小教学法:是对“后进的”“慢学的”学生进行数学教学的有效方式。将一个大的问题分割为较容易处理的小问题进行教学。“大容量、快节奏、高密度”的复习课：是训练学生基本技能的重要手段。（三）“双基”数学教学的经验

“启发式”教学:教学过程中，教54（四）“双基”数学教学的反思：

金牌背后的危机国际教育进步成就协会的数学与科学比较测验（1）发展不平衡（2）学生学习数学的时间最多（3）对数学的态度不积极（四）“双基”数学教学的反思：

金牌背后的危机国际教育进步55（四）“双基”数学教学的反思：

优秀学生的困惑

数学奥林匹克竞赛数学家的担忧：体育冠军---竞体运动---身体伤残数学冠军---竞脑运动---损害数学健康（四）“双基”数学教学的反思：

优秀学生的困惑

数学奥林匹56（四）“双基”数学教学的反思：

学生数学学习的方式擅长弱项记忆理解模仿创新练习应用解数学难题解真实情景中的问题答案唯一（四）“双基”数学教学的反思：

学生数学学习的方式擅长57问题与思考：

1、简述各数学教育基本理论的主要观点。2、中国的双基数学教学主要有哪些经验值得现代数学教学借鉴？

问题与思考：

58学习环境中的四大要素1.情境学习中的情境必须有利于学习者的意义建构。在教学设计中，不仅要考虑教学目标分析，还要考虑有利于学生建构意义的情景的创设问题，并把情景创设看做教学设计的最重要内容之一。

学习环境中的四大要素1.情境59学习环境中的四大要素2.协作协作发生在学习过程的始终，协作对学习资料的搜集与分析、假设的提出与验证、学习成果的评价直至意义的建构均有重要作用。学习环境中的四大要素2.协作60学习环境中的四大要素3.会话是协作过程中最基本的环节。比如学习小组成员之间必须通过会话来商讨如何完成规定的学习任务达到意义建构的目标，怎样更多的获得教师指导和帮助等等。在这个过程中，每个学习者的想法都为整个学习群体所共享。

学习环境中的四大要素3.会话61学习环境中的四大要素4.意义建构是教学过程的最终目标。在学习过程中帮助学生建构意义就是要帮助学生对学习的内容所反映事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间的内在联系达到较深刻的理解。

学习环境中的四大要素4.意义建构62【APOS理论模型】APOS理论，以建构主义为基础的数学教学理论，它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情景，从而建构他们自己的数学思想。学生学习数学概念，一般要经过四个阶段：操作（Action）阶段：是学生理解概念的一个必要条件，通过操作、活动，让学生亲身体验、感知问题的直观背景以及与生活现实之间的联系。过程（Process）阶段：是学生对操作、活动进行思考，经历思维的内化、整合过程，学生在头脑中，对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质.对象（Object）阶段：是通过前面的抽象，认识了概念的本质，对其赋予形式化的符号定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中，以此为对象去进行新的活动.模型（Scheme）阶段：需要经过长期的学习活动来逐步完善，起初建立的概念模型包含反映概念的特例、抽象过程、定义以及符号，经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式.取这4个阶段英文单词的首字母，命名为APOS理论.【APOS理论模型】APOS理论，以建构主义为基础的数学教学63国内外中学数学教学改革与发展课件64第一部分：国外中学数学教学改革与发展

第二部分：数学教育的基本理论第2讲第一部分：国外中学数学教学改革与发展

第二部分：数学教育的基65中学数学教学改革的近代化运动

国际中学数学教育现代化运动

“新数运动”的时代背景

“新数运动”的特点与改革成果

“新数运动”的总结与反思

中学数学教育与课程改革简况

美国、英国

国际数学教育改革发展的新特点

中小学数学课程目标、数学教学内容及处理国际方面中学数学教学改革的近代化运动

国际中学数学教育现代化运动

“66克莱因—贝利运动克莱因（Felixklein1849-1925）数学教师应具备较高的数学观点，只有观点高了，事务才能显得明了而简单。一个称职的教师应当掌握或了解数学各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。教育应该是发生性的，所以空间的直观，数学上的应用，函数的概念是非常必要的。应该用综合起来的一般概念和方法来解决问题，而不要去深钻那种特殊的解法。应该把算术、代数和几何学方面的内容，用几何的形式以函数为中心观念综合起来。

《中学数学教学讲义》（1907）

《高观点下的初等数学》（1908）近代化运动克莱因—贝利运动克莱因（Felixklein1849-167克莱因—贝利运动贝利1901年“数学的教育”的报告数学要从欧几里得的束缚中走出来，提出重视实验几何、几何应用，重视测量和计算的口号，建议尽早开设微积分。强调了数学的实用性价值，提出数学教学要强调应用；他主张改革几何教育，加强实用计算，并提出把微积分早日渗透到中学数学中；应肯定数学教育中思想教育的重要意义，坚持让学生自已去思考发现和解决问题；强调联系实际学习数学的重要性等等。近代化运动克莱因—贝利运动贝利1901年“数学的教育68克莱因—贝利运动的基本精神使教材教法近代化、心理化，强调数学教材的实践性、应用性；实现数学各科的有机统一、理论与实践的统一。结局：由于课程内容的改革是与学科结构、教学思想、教学理论和方法，以及教师水平等问题联系在一起的。因此，孤立地彻底改革课程内容是不可能的；再者，由于一些客观情况，如第一、二次世界大战，中断了一些有价值的改革试验，再加上当时实用主义哲学和教育思想的冲击等，使这一场很有价值的中学数学教学的近代化改革运动最终未能取得满意的结果。克莱因—贝利运动的基本精神使教材教法近代化、心理化，强调数69"新数运动"

背景世界上科学技术先进的国家，对当时所出现的中学数学教学质量太差、效率太低的现象普遍感到不满；加之这一时期科学技术不断发展，数学出现了许多独立发展的新分支，数学的应用日趋广泛，并且渗透到各个科学领域，而传统的教学内容、教学理论和教学方法却远远不能适应时代发展的需要。现代化运动"新数运动"背景现代化运动70数学教育现代化运动首先在美国发起

1957年11月，原苏联的第一颗人造地球卫星上天，引起了世界的震惊。它促使人们以新的眼光去认识科学技术发展的需要和教育改革的关系，尤其是注意了数学教育的改革问题。特别是美国，首先认识到美国的数学教育和原苏联之间的差距。总结出了"极为重要的空间和国防计划方面能否成功，甚至能否进行，极大地依赖于数学及其应用是否占优势"的重要结论。美国教育界和科学界的这种看法促使美国政府也极度关心数学教育状况。于是首先在美国出现一个“数学教育现代化”的浪潮，随后又很快地波及到几乎整个世界，故称为“新数运动”。数学教育现代化运动首先在美国发起1957年11月，原苏联的711959年9月美国"全国科学院"召开会议会上研究了课程改革问题，会议主席布鲁纳在他的总结报告《教育过程》中，提出了四个新的思想：第一，学习任何科学，务必使学生理解该学科的基本结构(简称结构思想想)；第二，任何学科的知识都可以用某种方法教给任何年龄的学生(早期教育思想)；第三，让学生象原来科学家那样亲自去发现所学习的结论；即所谓发现法；第四，激发学生学习积极性的首要条件不是考试，而是对数学的真正兴趣。1959年9月美国"全国科学院"召开会议会上研究了课程改72“新数运动”的特征

——在中学引进现代数学的概念，使整个数学课程结构化

1)增加了现代数学内容。2)强调结构、组成统一的数学课程，不再分算术、代数、几何等科目，而是用集合、关系、映射等思想观点，把数学课程统一成为一个整体。3）采用演绎法、强调公理方总。培养学生的抽象思维，使学生既有批判能力，又有合乎逻辑、富有创造性的头脑和严密的逻辑推理能力。4）废弃欧几里得几何、把平面几何与立体几何合并，用变换观点(如西德)或线性代数的方法(如法国)来处理。5）削减传统的计算，认为"大量的传统计算无助于加深学生对方法的理解"。“新数运动”的特征

——在中学引进现代数学73主要成果首先，涌现出了一批对数学和数学教育有远见、有洞察力、有影响的数学教育工作者。在一些国家中建立了中学、高等学校数学教师以及教育理论家之间的合作机构共同来研究课程的发展。其次，大多数国家的中学数学课程形成了一个统一的整体。强调结构和原理，克服了传统数学教学只强调机械计算的毛病。再次，在国际上由于各种方案设计、会议、辩论、商讨，已经形成数学教育工作者活跃的联络。四年一次的国际数学教育大会供数学家、数学教育工作者互相交流思想、交换看法，大有益处。最后，数学教育大变革使教师更加集中注意教育的成果，使教师经常考虑教什么，如何教，如何学三者之间的关系。他们还会继续辩论哪些内容是必需的，因此将来会对课程作更加正规、更加批判性的审查研究。主要成果首先，涌现出了一批对数学和数学教育有远见、有洞察力、74存在问题及教训(1)“新数”着眼于现代数学的观点，而不考虑学生未来工作、生活的需要。也没有认真考虑社会对数学教育的总体要求。(2)抽象概念过早引人，学生难以接受和理解，影响学生的学习情绪。(3)“新数”只强调公理化、形式化和演绎推理，忽视了由直觉思维到形式思维所必需的转化过程。(4)“新数”忽视了应用，使学生的计算能力和恒等变形的能力有所下降。使部分学生因不适应“新数”的学习，成为“落后生”。（5）学生计算能力差，学生负担过重，影响了教学质量。存在问题及教训(1)“新数”着眼于现代数学的观点，而不考虑学75自70年代到80年代初期，是总结经验教训，重新评价改革方向的阶段。经过10多年的实践，人们发现学习"新数的学生计算能力和几何直观能力都很差，毕业后无论就业或升学都有困难，甚至不懂把学得的知识去解决哪怕是日常生活中经常遇到的问题。学生家长也很烦恼，因为他们不但无法辅导自己的孩子，而且根本不知道自己的孩子是在学些什么。反对意见越来越多，到70年代初期，"新数运动"遭到普遍的强烈批评。作为"新数运动"的一种“反动”，“回到基础”又成为美国数学教育界的主要口号。随后其他国家也有相同的要求。在一片“回到基础”的呼声中，各国70年代后期，都采了了相应的调整措施。自70年代到80年代初期，是总结经验教训，重新评价改革方向的76《学校数学原则与标准》2000

强调科学技术在数学课程中的重要地位，并强调数学教育应当促进所有的学生学习数学，数学教育应当向所有的学生提供平等的学习数学的机会。《学校数学原则与标准》77全美国教师协会研制的《学校数学的原则和标准》中提出六个基本理念：1．公平：数学教育中最为重要的是公平：对所有学生提供强有力的支持和高期望．2．课程：课程不仅仅是一系列的活动集：它必须是连贯的、集中于重要的数学，而且使各年级的数学系统化．3．教学：有效率的教学要求理解学生所知道和需要学习的知识，然后鼓励和支持他们学得更好．4．学习：学生必需通过理解来学习数学，从经验和以前的知识积极地建构新知识．5．评价：评价应该支持重要的数学的学习，而且获得对教师和学生都有用的信息．6．技术：技术是重要的，在数学教学中它影响被教的数学，而且改善学生的学习．IdeaofPrinciplesandStandardsforSchoolMathematics全美国教师协会研制的《学校数学的原则和标准》中提出六个基本理78各国近20年来中学数学教育与课程改革简况英国《Cockcroft报告》1982

数学教育的根本目的是为了满足学生今后——成人生活、就业和进一步学习的需要，强调数学教学与学生日常生活经验的联系，强调让学生成功地发展学习数学的自信心，强调更好地发展个别化教学方法以适应不同能力学生的学习需要。

以《Cockcroft报告》为背景，1988年，英国成立了国家课程委员会，1989年实行统一的国家课程。国家数学课程由学习大纲和教学目标两部分组成，明确规定每个水平的学习要求，体现统一要求又具有弹性的结构特点。英国强调数学教材的生动性、应用性、综合性和实践性，因而英国学生的操作能力（包括计算机、计算器的运用能力）和应用知识的能力比较强。

各国近20年来中学数学教育与课程改革简况79学校数学设计小组（SMP）教材

在英国数学课程标准的指导下，90年代的SMP具有注重学习过程、注重应用、注重现代技术、注重内容的通俗性和趣味性，注重学生的经验，体现一定的弹性的诸多特色。“世纪数学教材”

1991伦敦大学教育学院新一轮国家课程标准2019

四项发展目标：精神方面的发展，道德方面的发展，社会方面的发展，文化方面的发展和六项基本技能：交往、数的处理、信息技术、共同操作、改进学习、解决问题。同时强调四个方面的价值观：自我、人际关系、社会和环境。学校数学设计小组（SMP）教材80国际数学课程改革的发展趋势越来越强调数学的应用性和实践性越来越强调学生主体的活动性计算机与数学教育的联系越来越紧密目标的个性化与差别化数学与其他学科的结合国际数学课程改革的发展趋势越来越强调数学的应用性和实践性81

中小学数学课程目标

重视问题解决增强实践环节强调数学交流强调数学对发展人的一般能力的价值，淡化纯数学意义上的能力结构，重在可持续性发展着重数学应用和思想方法增强数学的感受和体验加强计算机的应用，将计算机作为一项人人需要掌握的技术手段国际中学数学教学改革的新特点

国际中学数学教学改革的新特点82

关于数学教学内容及处理数学教科书的素材应当来源于学生的现实加强综合化和整体性，使学生尽早体会数学的全貌。注重现代数学思想方法的渗透注意教材中的数学活动材料的选取和知识的发生发展过程，注意教材对学生的探索、猜想等活动的引导和对学生数学能力的培养教材注意面对解决实际问题与日常生活问题：包括提出问题；设计任务、收集信息、选用数学，注意加强数学与其他学科领域的联系，注重在应用数学解决问题的过程中，使学生学习数学、理解数学加强几何直观，特别是三维空间的认识，降低传统欧氏几何的地位，用现代数学思想处理几何问题注重新技术对数学课程的影响；从新技术带给数学的深刻变化，重新审视了教学应选取的数学内容。较早引入计算器、计算机，发挥现代信息技术手段在探索数学、解决问题中的作用课程结构既适应“数学为大众”的潮流，又强调了“个别化学习”课程内容的安排一般是螺旋式上升的或采取适于因材施教的“多轨制”，而不是“一步到位”。对重要的数学概念与思想方法的学习逐级递进以符合学生的数学认知规律呈现形式注意丰富多彩。教科书根据不同年龄段学生的兴趣爱好和认知特征，采取适合于学生的多种表现形式关于数学教学内容及处理83第二部分：数学教育的基本理论

第二部分：数学教育的基本理论

84本章学习提要一、弗赖登塔尔的数学教育理论——《作为教育任务的数学》二、波利亚的解题理论——《怎样解题》三、建构主义的数学教育理论四、我国“双基”数学教学的成功与不足本章学习提要85一、弗赖登塔尔的数学教育理论

——《作为教育任务的数学》一、弗赖登塔尔的数学教育理论

——《作为教育任务的数学》86(一)弗赖登塔尔的生平

HansFreudenthal（1905-1990年）,荷兰数学家和数学教育家,生于德国。1930年获柏林大学数学博士学位；1946年起任荷兰Utrecht大学教授；1951年起为荷兰皇家科学院院士；1971-1976年任数学教育研究所所长；1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父(一)弗赖登塔尔的生平

HansFreu87（二）弗赖登塔尔数学教育贡献

“对于数学教育，本世纪的上半叶FelixKlein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶HansFreudenthal做出了巨大的贡献。”

——加亨(Kahane)教授主要工作：1967年当选为国际数学教育委员会主席单独举行国际数学教育大会（ICME－1，1969．法国．里昂）提倡数学教育的科学研究创办ICME的理论刊物——《EducationalStudiesinMathematics（数学教育研究）》主要数学教育论著：

《作为教育任务的数学》，1973年版

；《除草与播种———数学教育学的序言》，1978年版

；《数学结构的教学法现象》，1983年版

；《数学教育再探———在中国的三次讲学》，1978年版

。（二）弗赖登塔尔数学教育贡献

“对于数学教育，本世纪88《作为教育任务的数学》介绍共19章:(1)数学的传统；(2)今日数学；(3)传统和教育；(4)数学教育的用处和目的；(5)苏格拉底法；(6)再创造；(7)用数学化的方法组织一个域；(8)数学的严谨性；(9)教学；——手中的书厚了，心中的书才能薄

(10)数学教师；(11)数的概念；(12)数的概念发展1；(13)数的概念的发展2；(14)数的概念发展3；(15)集合与函数；(16)几何的情况；(17)分析学；(18)概率与统计；(19)逻辑。《作为教育任务的数学》介绍共19章:(10)数学教师；89——情景问题是教学的平台——数学化是数学教育的目标——学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分——“互动”是主要的学习方式——学科交织是数学教育内容的呈现方式“现实”、“数学化”、“再创造”（三）弗赖登塔尔数学教育的主要特征——情景问题是教学的平台（三）弗赖登塔尔数学教育的主要特征90何谓数学教育中的“现实”数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实例题生活化，问题情境化何谓数学教育中的“现实”数学教育中的现实——数学来源于现实，91运用“现实的数学”进行教学需明确以下认识第一，把最能反映现代生产，现代社会生活需要的最基本最核心的数学知识和技能，应作为数学教育的内容．第二，数学教育的内容不能只考虑代数、几何、三角之间的联系，还应该研究数学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系第三，不同专业所需的数学知识不尽相同，数学教育应为不同的人提供不同层次的数学知识，即不同的人应有不同需要的“现实的数学”．运用“现实的数学”进行教学需明确以下认识第一，把最能反映现代92什么是“数学化”人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程——即数学地组织现实世界的过程就是数学化抽象化、公理化、模型化、形式化等等，都可看成是数学化数学化的两种形式：一是实际问题转化为数学问题，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理基本流程P168什么是“数学化”人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用93数学学习的“再创造”学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doingmathematics)的过程。其核心是数学过程再现。不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。”也不是简单地“教师指导下的学生活动。”而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行组织的学习方式。数学学习的“再创造”学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一94作业简评弗赖登塔尔的数学教育思想（可选其中的某一方面，例如关于数学教育目的、数学教育原则、教师培训，等等）作业简评弗赖登塔尔的数学教育思想（可选其中的某一方面，例如关95二、波利亚的解题理论

二、波利亚的解题理论

96(一)波利亚的生平

乔治·波利亚（GeorgePolya,1887~1985）美籍匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。1940年移居美国1942年起任美国斯坦福大学教授他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的名字命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。(一)波利亚的生平

乔治·波利亚（GeorgePolya,97

主要著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》先后被译成14种文字多次出版，风行世界。20世纪80年代中期，三本著作的中译本问世，数学解题理论成为数学教育研究的热点。主要思想：倡导教会思考学习原则：主动学习原则培养创造精神最佳动机原则探索式教学阶段序进原则波利亚的“怎样解题表”：提出问题、拟定计划、实行计划、回顾。主要著作：《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》先98《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”——范.德.瓦尔登《怎样解题》《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册99对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于1000字的小论文作业对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于1000字的小论100三、建构主义的数学教育理论

三、建构主义的数学教育理论

101《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）在树林旁边的池塘里，有一条小鱼和一只蝌蚪在水草间游来游去。他们形影不离。《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）在树林旁边102《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）鸟就是有翅膀的鱼《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）鸟就是有103《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）奶牛是长着四条腿的鱼

《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）奶牛是长104《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）人成了有尾巴走路的鱼

《鱼就是鱼》（LeoLionni李欧.李奥尼）人成了有105这个故事说明了什么呢？这个故事说明了什么呢？106鱼是按照已有的知识在认知新事物。所以，不难解释为什么神、鬼、魔、妖都有人的样子。没有人见过，所以人只能按已有的知识去建构新的事物。对于学习，因为要学不知道的东西，一定要注意“建构”的思想，你得先知道学习者现有的知识结构，用现有的知识去认知陌生的内容。对于谈话，你得看清楚对方是什么人，然后你才会知道他会怎样去建构你所说的陌生的东西。对于记忆，最好能把不知道的东西转化为自己熟悉的东西。对于理解，我们应该知道，每个人建构的东西是不同的，很多都不应强求统一。所以每个人都可以学到自己的“语文、数学、英语”，这倒是有合理的一面的。……鱼是按照已有的知识在认知新事物。107建构主义学习理论的主要观点从方法论角度而言,建构主义认为，“人类是认识的主体，人的行为是有目的的，今天人类具有高度发展的组织知识的能力”。这种认识在教育学意义就是，教师必须知道学生正在想什么，他们对所呈现的材料有何反应，教师要重视诊断学生的工具，教师不要整天或长年让学生做练习，而要训练学生建构重要概念和原则的技能，教师要向学生提供促进建构数学对象和关系的材料、工具、模型的良好的学习环境。

从认知理论的观点来看，建构主义认为，“知识不是通过感官或交流被动获得的，而是通过认识主体的反省抽象来主动建构的，有目的的活动和认知结构的发展存在着必然的联系，儿童是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展”。建构主义学习理论的主要观点108建构主义数学知识观的主要论点·数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也不是绝对真实的表征。它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，它不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，出现新的解释和假设。数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程。否则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习。建构主义数学知识观的主要论点·数学知识不是对现实的纯粹客观的109建构主义数学学习观的主要论点建构主义认为学习是获取知识的过程，但不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式获得。建构主义学习理论认为“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”是学习环境中的四大要素。

建构主义数学学习观的主要论点建构主义认为学习是获取知识的过程110建构主义数学教学观的主要论点教师应把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验。教师不是仅仅作为知识的呈现者，也不是知识权威的象征，而应该重视学生自己对各种现象的理解，倾听他们时下的看法，思考他们这些想法的由来，并以此为据，引导学生丰富或调整自己的解释。教师不唯一着眼于结论，而是更加注重过程的分析；变“问题解决”为“数学地思考”，并以此为中心。建构主义数学教学观的主要论点教师应把学习者原有的知识经验作为111建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）(美国,)杜宾斯基)（以函数概念为例）Action（操作）阶段：理解函数需要活动或操作。通过操作活动，理解函数的意义Process（过程）阶段：把上述操作活动综合为一个函数过程。xx2，xf(x)Obiect（对象）过程：把函数过程当作一个独立的对象来处理。函数的加减乘除、复合运算Scheme（模型）阶段：函数概念以一种综合的模型存于大脑，形成知识的体系（完整）。建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）(美国,)杜宾斯基112建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）（以代数式概念为例）代数式的本质在于“不定元”和数字可以像数一样进行运算A：通过运算活动理解具体的代数式P：体验代数式的过程O：对代数式的形式化表述S：建立综合的模型。学生头脑中建立代数式的心理表征：具体实例，运算过程，字母表示一类数的数学思想，代数式的定义，能运用建构主义教学原理的应用举例（APOS理论）（