切线的判定与性质课件

切线的判定与性质切线的判定与性质直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有回顾：直线与圆的相交相切相离图形图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？探究：Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？探究：Ol方法（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？（3）由此你发现了什么？

O请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考：lA操作与观察：（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

对定理的理解：切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．AOl切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的Orl

A∵OA是半径，l

⊥OA于A∴l是⊙O的切线定理的数学语言表达：OrlA∵OA是半径，l⊥O(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A．

则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法——切线的判定定理．AOl发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；这样我们就

利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画⊙O的切线吗？讨论交流：OP利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画⊙O1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不可1、判断：×××OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？

归纳：切线的判定方法有三种：判定直线与圆相切有哪些方法？归纳：例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC

分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。例题：有交点，连半径，证垂直例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，OBAC例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED无交点，作垂直，证半径例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一OABCED无OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如1、如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODECB证明：连接OD．∵BD＝CD，OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC.又∵

∠DEC＝90°,∴∠ODE＝90°.又∵

D在圆周上,∴DE是⊙O的切线.巩固：有交点，连半径，证垂直1、如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA巩固：无交点，作垂直，证半径2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO有交点，连半径，证垂直3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB4、如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．4、如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C5．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线.

分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，再证明DE⊥OD.5．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，E和F分别为AB和AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切.

分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证明OH等于直径EF的一半.H6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，7．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB·PC，求证：PA是⊙O的切线.分析：∵PA过⊙O上一点A，要证PA为切线，只要证PA⊥AO，为此，作直径AD，并连结CD，只要证PA⊥AD即可.7．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？探究：OAl如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是垂直呢？AOL分析：假设OA与L不垂直，过点作OM⊥L，垂足为M。根据垂线段最短的性质，有OM﹤OA，这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是圆O的切线相矛盾。因此，OA与直线L垂直。AOLM如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。归纳：OAl∵l是⊙O的切线，切点为A∴l

⊥OA切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。归纳：O①过半径外端;②垂直于这条半径.切线①圆的切线;②过切点的半径.切线垂直于半径切线判定定理：切线性质定理：比较：OAl①过半径外端;切线①圆的切线;切线垂直于半径切线判定定理：切例3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，两切线相交于点P,若∠P=420，求∠ACB的度数。BPCAOPCBCAO‘mm例题：例3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，两切线相1、如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？巩固：注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。1、如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）

A、600

B、1200

C、600或1200

D、1400或600BPCAO2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600，点P练习与巩固：2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___

_度.

1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）A.70°B.35°C.20° D.10°OABC（2）（1）3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2,0B=6，⊙O与AB相切于点A,则⊙O的直径为

。OAB（3）练习与巩固：2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=14、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（）A. B. C.10 D.5

（5）（4）辅助线的作法：作过切点的半径4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠AP变式一：在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则BC的长为

。ABC6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切于点D，则BD的长为

。ABCD变式二：如图，点A是圆O外一点，OA=4，AB与圆相切于点B，且AB=2，弦BC∥OA，则BC的长为

。AOBC变式一：在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。AOBCD（7）8、如图,AB为⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线。AOBCD（8）7、如图,AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切切线的判定与性质切线的判定与性质直线与圆的位置关系相交相切相离图形

公共点个数

公共点名称

直线名称圆心到直线距离d与半径r的关系2个交点割线1个切点切线d<rd=rd>r没有回顾：直线与圆的相交相切相离图形图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？探究：Ol方法1：直线与圆有唯一公共点方法2：直线到圆心的距离等于半径注意：实际证明过程中，通常不采用第一种方法;方法2从“量化”的角度说明圆的切线的判定方法。图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？探究：Ol方法（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？（3）由此你发现了什么？

O请在⊙O上任意取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA。思考：lA操作与观察：（1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

对定理的理解：切线必须同时满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．AOl切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的Orl

A∵OA是半径，l

⊥OA于A∴l是⊙O的切线定理的数学语言表达：OrlA∵OA是半径，l⊥O(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A．

则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从“位置”的角度圆的切线的判定方法——切线的判定定理．AOl发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；这样我们就

利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画⊙O的切线吗？讨论交流：OP利用上面的定理，过圆上任意一点，你会用三角尺画⊙O1、判断：(1)过半径的外端的直线是圆的切线（）(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（）(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不可1、判断：×××OrlAOrlAOrlA巩固：两个条件缺一不切线的判定方法有三种：①直线与圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆的半径；③切线的判定定理．即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.判定直线与圆相切有哪些方法？

归纳：切线的判定方法有三种：判定直线与圆相切有哪些方法？归纳：例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC

分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。例题：有交点，连半径，证垂直例1如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，OBAC例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED无交点，作垂直，证半径例2如图，已知：O为∠BAC平分线上一OABCED无OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径.OBACOABCED归纳：例1与例2的证法有何不同?(1)如1、如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC.求证：DE是⊙O的切线．AODECB证明：连接OD．∵BD＝CD，OA=OB,∴OD是△ABC的中位线.∴OD//AC.又∵

∠DEC＝90°,∴∠ODE＝90°.又∵

D在圆周上,∴DE是⊙O的切线.巩固：有交点，连半径，证垂直1、如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，DE⊥AC2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线.FECOBA巩固：无交点，作垂直，证半径2、如图,△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O，OE⊥AC3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.求证:DC是⊙O的切线.ABCDO有交点，连半径，证垂直3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB4、如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB．AODCB证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.∴∠ACO＝∠CAD.又∵OC=OD,∴∠CAO＝∠ACO

∴∠CAD＝∠CAO

,故AC平分∠DAB．4、如图，AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点，AD和过点C5．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线.

分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，再证明DE⊥OD.5．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，E和F分别为AB和AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切.

分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证明OH等于直径EF的一半.H6．如图，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝BC/2，7．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB·PC，求证：PA是⊙O的切线.分析：∵PA过⊙O上一点A，要证PA为切线，只要证PA⊥AO，为此，作直径AD，并连结CD，只要证PA⊥AD即可.7．如图(3)，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？探究：OAl如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是垂直呢？AOL分析：假设OA与L不垂直，过点作OM⊥L，垂足为M。根据垂线段最短的性质，有OM﹤OA，这说明圆心O到直线L的距离小于半径OA，于是直线L就要与圆相交，而这与直线L是圆O的切线相矛盾。因此，OA与直线L垂直。AOLM如果直线L是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线L是不是切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。归纳：OAl∵l是⊙O的切线，切点为A∴l

⊥OA切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。归纳：O①过半径外端;②垂直于这条半径.切线①圆的切线;②过切点的半径.切线垂直于半径切线判定定理：切线性质定理：比较：OAl①过半径外端;切线①圆的切线;切线垂直于半径切线判定定理：切例3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，两切线相交于点P,若∠P=420，求∠ACB的度数。BPCAOPCBCAO‘mm例题：例3、如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，两切线相1、如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？巩固：注：已知切线、切点，则连接半径，应用切线的性质定理得到垂直关系，从而应用勾股定理计算。1、如图,⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）

A、600

B、1200

C、600或1200

D、1400或600BPCAO2、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若