2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课

第二课时一元二次不等式及其解法习题课第二课时一元二次不等式及其解法习题课[目标导航]课标要求1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能够根据一元二次不等式的解集,确定不等式中参数的值.2.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.素养达成通过对本节习题课的学习,培养学生逻辑推理与数学建模能力.[目标导航]课标要求1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能题型一三个“二次”关系的应用课堂探究·素养提升题型一三个“二次”关系的应用课堂探究·素养提升方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的.方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的即时训练1-1:(1)(2019·泰安高二检测)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx2-5x+a>0的解集为(

)答案:(1)B即时训练1-1:(1)(2019·泰安高二检测)已知不等式a答案:(2)-10答案:(2)-10[备用例1](1)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于(

)[备用例1](1)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求不等式cx2-bx+a>0的解集.(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3题型二不等式中的恒成立问题[例2]设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;题型二不等式中的恒成立问题[例2]设函数f(x)=mx2-(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课方法技巧(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法.a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max(f(x)存在最大值);a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min(f(x)存在最小值).(2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方.方法技巧(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.即时训练2-1:关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1对x∈R恒成立,求实数m的取值范围.即时训练2-1:关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2[备用例2](1)(2019·山东师大附中高二月考)已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.[备用例2](1)(2019·山东师大附中高二月考)已知f(2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.①如果对一切x∈R,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;解:(2)①由于对一切x∈R,f(x)>0恒成立,故Δ=4(a-2)2-16<0⇒0<a<4.(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.解:(2)①由②如果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.②如果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求实数a的取值题型三一元二次不等式的实际应用[例3]某摩托车生产企业,上年度生产车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆,本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式;规范解答:(1)每辆车投入成本增加的比例为x,则每辆车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元,年销量为1000×(1+0.6x)辆.……3分所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0<x<1).…………6分题型三一元二次不等式的实际应用[例3]某摩托车生产企业,上(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例方法技巧用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;(3)求解:解一元二次不等式;(4)还原:把数学结论还原为实际问题.方法技巧用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤(2)建模:即时训练3-1:某企业上年度的年利润为200万元,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本,投入成本增加的比例为x(0<x<1).现在有甲、乙两种方案可供选择,通过市场调查后预测,若选用甲方案,则年利润y万元与投入成本增加的比例x的函数关系式为y=f(x)=-20x2+60x+200(0<x<1);若选用乙方案,则y与x的函数关系式为y=g(x)=-30x2+65x+200(0<x<1).试讨论根据投入成本增加的比例x,如何选择最适合的方案?即时训练3-1:某企业上年度的年利润为200万元,本年度为适2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课[备用例3](1)(2019·温州高二检测)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt.按规定,农民向国家纳税:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的取值范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[备用例3](1)(2019·温州高二检测)国家原计划以2(2)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.(2)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课题型四易错辨析——忽略对二次项系数的讨论致误【例4】

若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.纠错:当a-2=0时,原不等式不是一元二次不等式,不能应用根的判别式.题型四易错辨析——忽略对二次项系数的讨论致误【例4】若不2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课学霸经验分享区(1)“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据,还可以确定参数的值或范围.(2)解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用,同时要结合二次函数的图象求解.(3)解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解,同时还应注意变量的实际意义.学霸经验分享区(1)“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不课堂达标解析:由题意知,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下.故选B.1.已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β},则(

)(A)a>0 (B)a<0 (C)a≥0 (D)a≤0B课堂达标解析:由题意知,二次函数y=ax2+bx+c的图象开2.已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a,b的值为(

)C2.已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2(A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4} (C){a|0<a≤4} (D){a|0≤a≤4}解析:法一

用a=0,4验证均合适,故选D.D(A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4} 解析:法4.设a为常数,对于任意的x∈R,ax2+ax+1>0恒成立,则a的取值范围是

.

答案:[0,4)4.设a为常数,对于任意的x∈R,ax2+ax+1>0恒成立5.设产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是

台.

答案:150解析:设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000,令f(x)≥0,得x≥150或x≤-200(舍去),所以生产者不亏本时的最低产量是150台.5.设产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y点击进入课时作业点击进入周练卷点击进入课时作业点击进入周练卷2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课第二课时一元二次不等式及其解法习题课第二课时一元二次不等式及其解法习题课[目标导航]课标要求1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能够根据一元二次不等式的解集,确定不等式中参数的值.2.能够求解与一元二次不等式相关的不等式恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.素养达成通过对本节习题课的学习,培养学生逻辑推理与数学建模能力.[目标导航]课标要求1.在掌握一元二次不等式解法的基础上,能题型一三个“二次”关系的应用课堂探究·素养提升题型一三个“二次”关系的应用课堂探究·素养提升方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的.方法技巧(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的即时训练1-1:(1)(2019·泰安高二检测)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx2-5x+a>0的解集为(

)答案:(1)B即时训练1-1:(1)(2019·泰安高二检测)已知不等式a答案:(2)-10答案:(2)-10[备用例1](1)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于(

)[备用例1](1)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求不等式cx2-bx+a>0的解集.(2)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3题型二不等式中的恒成立问题[例2]设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;题型二不等式中的恒成立问题[例2]设函数f(x)=mx2-(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课方法技巧(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法.a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max(f(x)存在最大值);a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min(f(x)存在最小值).(2)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方.方法技巧(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.即时训练2-1:关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2+1对x∈R恒成立,求实数m的取值范围.即时训练2-1:关于x的不等式(1+m)x2+mx+m<x2[备用例2](1)(2019·山东师大附中高二月考)已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.[备用例2](1)(2019·山东师大附中高二月考)已知f(2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.①如果对一切x∈R,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围;解:(2)①由于对一切x∈R,f(x)>0恒成立,故Δ=4(a-2)2-16<0⇒0<a<4.(2)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.解:(2)①由②如果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.②如果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,求实数a的取值题型三一元二次不等式的实际应用[例3]某摩托车生产企业,上年度生产车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆,本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销量增加的比例为0.6x,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x之间的关系式;规范解答:(1)每辆车投入成本增加的比例为x,则每辆车投入成本为1×(1+x)万元,出厂价为1.2×(1+0.75x)万元,年销量为1000×(1+0.6x)辆.……3分所以y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0<x<1).…………6分题型三一元二次不等式的实际应用[例3]某摩托车生产企业,上(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例方法技巧用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤(1)审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;(3)求解:解一元二次不等式;(4)还原:把数学结论还原为实际问题.方法技巧用一元二次不等式求解实际应用题的一般步骤(2)建模:即时训练3-1:某企业上年度的年利润为200万元,本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本,投入成本增加的比例为x(0<x<1).现在有甲、乙两种方案可供选择,通过市场调查后预测,若选用甲方案,则年利润y万元与投入成本增加的比例x的函数关系式为y=f(x)=-20x2+60x+200(0<x<1);若选用乙方案,则y与x的函数关系式为y=g(x)=-30x2+65x+200(0<x<1).试讨论根据投入成本增加的比例x,如何选择最适合的方案?即时训练3-1:某企业上年度的年利润为200万元,本年度为适2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课[备用例3](1)(2019·温州高二检测)国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品mt.按规定,农民向国家纳税:每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律,税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点.试确定x的取值范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.[备用例3](1)(2019·温州高二检测)国家原计划以2(2)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B为直角,AB长40米,BC长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.(2)如图,某校有一块形如直角三角形ABC的空地,其中∠B2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课题型四易错辨析——忽略对二次项系数的讨论致误【例4】

若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.纠错:当a-2=0时,原不等式不是一元二次不等式,不能应用根的判别式.题型四易错辨析——忽略对二次项系数的讨论致误【例4】若不2020版人教A数学必修5-课件：第二课时-一元二次不等式及其解法习题课学霸经验分享区(1)“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据,还可以确定参数的值或范围.(2)解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用,同时要结合二次函数的图象求解.(3)解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示