选修2-1抛物线及其标准方程课时作业

选修2-1抛物线及其标准方程课时作业选修2-1抛物线及其标准方程课时作业选修2-1抛物线及其标准方程课时作业资料仅供参考文件编号：2022年4月选修2-1抛物线及其标准方程课时作业版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：课时作业13抛物线及其标准方程时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝eq\f(9,4)xB．x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,4)x或x2＝－eq\f(4,3)yD．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y【答案】D【解析】∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p，p＝eq\f(9,4)；4＝6p′，p′＝eq\f(2,3).2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8【答案】B【解析】∵y＝ax2，∴x2＝eq\f(1,a)y，其准线方程为y＝2，∴a<0,2＝eq\f(1,－4a)，∴a＝－eq\f(1,8).3．设定点M(3，eq\f(10,3))与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，点P到抛物线准线l的距离为d2，则d1＋d2取最小值时，点P坐标为()A．(0,0) B．(1，eq\r(2))C．(2,2) D．(eq\f(1,8)，－eq\f(1,2))【答案】C【解析】连接PF，则d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知d1＋d2的最小值是|MF|，当且仅当M，P，F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y＝eq\f(4,3)(x－eq\f(1,2))与y2＝2x，联立求得x＝2，y＝2；x＝eq\f(1,8)，y＝－eq\f(1,2)(舍去)，此时，点P的坐标为(2,2)．4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1DA．直线B．圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【解析】由于C1D1⊥平面BB1C1C，连接PC1，则PC1⊥C1D1，即点P到直线C1D1的距离即PC1.因此，动点P到定点C1与定直线BC5．抛物线y＝eq\f(1,4a)x2(a≠0)的焦点坐标为()A．a>0时为(0，a)，a<0时为(0，－a)B．a>0时为(0，eq\f(a,2))，a<0时为(0，－eq\f(a,2))C．(0，a)D．(eq\f(1,a)，0)【答案】C【解析】a>0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a<0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条 B．有且仅有两条C．有无穷多条 D．不存在【答案】B【解析】当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)＝5，∴k2＝eq\f(4,3)，即k＝±eq\f(2\r(3),3).因而这样的直线有且仅有两条．二、填空题(每小题10分，共30分)7．(2013·北京文)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．【答案】2x＝－1【解析】由eq\f(p,2)＝1知p＝2，则准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－1.8．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.【答案】2【解析】如图，设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.9．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使该抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．【答案】②⑤【解析】由抛物线方程y2＝10x知，它的焦点在x轴上，∴②适合．又∵它的焦点坐标为F(eq\f(5,2)，0)，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可知kPO·kPF＝－1，∴⑤也适合，而①显然不成立，通过计算可知③、④不合题意．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知抛物线的方程如下，分别求它们的焦点坐标和准线方程．(1)y2＝ax(a>0)；(2)3x＝2y2.【分析】先根据抛物线的标准方程，求出p，然后写出焦点坐标和准线方程．【解析】(1)由抛物线的标准方程y2＝ax(a>0)知，2p＝a.故eq\f(p,2)＝eq\f(a,4).因此，所给抛物线的焦点为(eq\f(a,4)，0)，准线方程为x＝－eq\f(a,4).(2)把所给的抛物线方程变形为标准方程得y2＝eq\f(3,2)x，故2p＝eq\f(3,2)，即eq\f(p,2)＝eq\f(3,8).因此，所给抛物线的焦点为(eq\f(3,8)，0)，准线方程为x＝－eq\f(3,8).【总结】根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化成标准方程，求出eq\f(p,2)的值，即可写出焦点坐标和准线方程．11．(13分)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．【分析】如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．【解析】∵点A(－2,4)在抛物线x2＝8y内部，如上图所示，设抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.由抛物线的定义可知|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|.当且仅当A，P，Q三点共线时，|PF|＋|PA|的值最小，此时点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq\f(1,2)，故当点P的坐标为(－2，eq\f(1,2))时，|PF|＋|PA|的值最小．12．(14分)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，求eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)的值．【解析】已知焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，设AB方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(k2p2,4)＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)，且x1＋x2＝eq\f(k2p＋2p,k2)，x1x2＝eq\f(p2,4).∴eq\f(1,|AF|)＋eq\