两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计

《两角与的正弦余、正切式》教设计一教分1.两和与差的正弦余弦正公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们是角的余弦只是角形式不同不角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即+β=α-(-β)关系，从而由公式C推公式C，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5（6即可推得公式S

、S等2.通对“两角和与差的正弦、弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意.3.本的几个公式是相互联系的推导过程也充分说明了它们之间的内在联系学深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记.节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性步培养他们良好的思维习惯学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导例在面对问题时要注意先认真分析条件明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视.二三目1.知与能在学习两角差的余弦公式的基础上过让学生探索发现并推导两角与差的正弦、余弦、正切公,了它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能.2.过与法通过两角和与差的正弦弦切公式的运用会进行简单的求值简、恒等证明使生深刻体会联系化的观点觉地利用联系变化的观点来分析问题高学生分析问题解决问题的能力./93.情态与值：过本节学习使学生掌握寻找学规律的方法高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素.三教重难教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证.四教用三角板，彩色粉笔，幻灯片五教方教法：引导探究，归纳总结学法：合作讨论，自主学习六教过．导新(问题导入教出示问题先学生计算以下几个题目可以复习回顾上节所学公式又为本节新课作准备.若sinα=，α∈(0,，cos,β∈(0,),求cos(α-β),cos(β)的值学利公式C很易求得cosβ，但是如果求cos（+β）的值就得想法转化为公式的形式来求，此时思路受阻,从引出新课题，并由此展开联想探究其他公式.．推新提问①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出.②在公式

中，角β是任意角，请学生思考角-中β换成β是否可以？此时观察角α+β与α-(-之的联系如何利用公式C

来推导cos(β)=?③分析观察C

的结构有何特征？④在公式、C的础上能否推导α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式

、S

的结构特征如何？⑥对比分析公式C

、S、S，能否推导出α-β)=?tan（α+）=？⑦分析观察公式T

、T的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？/9活动：问题①，学生默写完后，教师播放幻灯片，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较α-与cos(α+中角的内在联系，学生有的会发现-β中的角β可以变为β以-(-β)=〔有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角-(-β)的形式这时教师适时引导学生转移到公式上来这就很自然地得到cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosβ-sinαsinβ.所以有如下公式：cos(αβ)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作

.对问题②，教师引导学生细心观察公式C

的结构特征可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积同让学生对比公式C进记忆并空cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③上学生推得了两角与差的余弦公式师引导学生观察思考怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(有的会想到利用同角的平方和关系式sinα+cosα=1来互化，此法让学生课下进)因此有sin(α+β)=cos［-(α+］=cos［(-α)-］=cos(-β+sin(-α)sin=sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S、S

.α+β)=sinαsinβ,/9α-β)=sinαsinβ.对问题④⑤师导学生观察式的结构特征并结合推导过程进行记忆时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称.为强化记忆，教师可让学生填,如sin(φ)=___________，sin=_____.对问题⑥，教师引导学生思考，在我们推出了公式、C、S、S

后自想到两角和与差的正切公式么来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出.当cos(β)时，tan(β)=如果cosαcosβ即cosα≠0β≠0时分、分母同除以αcosβ得tan(α+则有tan(α-β)=

，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-代之，由此推得两角和、差的正切公式，简记为T

.tan(α+β)=tan(α-β)=对问题⑥让学生自己联想思考两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±都不能等于导学生分析公式结构特征，加深公式记.

+kπ(k∈Z)，并引对问题⑦⑧，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得C

、S

、T

叫和角公式S

、C叫角公式并学生归纳总结以上六个公式的推导/9（α±β）（α±β）过程从而得出以下逻辑联系.可让学生自己画出这六个框.通过逻辑联系图刻解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公.时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形如两角和与差的正切公式的变形式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtan，tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)在简求值中就经常应用解题过程大大简化也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式，当tanα，tan或tanα±β）的值不存在时，不能使用T处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(-，因为

的值不存在，所以改用诱导公式tan(

-β)=

来处理.应示例1已sin,α是第象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值活：师引导学生分析题目中角的关系在面问题时要注意认真分析条件确要求再考应该联系什么公式用公式时要有什么准备备作怎么进行.例如本题中，要先求出α,tanα的，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完.解由α=,α是第四象限，得cos./9∴tanα==.于是有sin(-α)=sincosα-cossinα=cos(+α)=coscosα-sinsintan(α-)==.点：例是运用和差角公式的基础题排个例题的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习.变训11.不表求cos75°,tan105°的值.解cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=,tan105°=tan(60°+45°)==-(2+).2.设∈(0,),若sinα=,2sin(α+)等于(A.B.C.D.4答：例2

已知sinα=

,α,β=,β∈(π,)，求sin(α-β),cos(α+β),tan(β)．活：师可先让学生自己探究解决探究困的学生教师给以适当的点拨导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联.根据公式S、T应求/9出cosα、sinβ、tanα、tan的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号.解由sinα=,α∈(,π),cosα==-=，∴tan.又由cos,β∈(π,).sinβ==,∴tanβ=.∴sin(α-β)=sinβ-cosαsin=×()-(.∴cos(α+αcosβ-sinαsinβ=()-×()=∴tan(α+β)=

=.点：题仍是直接利用公式计算求值的基题目还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.变训2引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意.解设电视发射塔高米∠CAB=，则sinα=，在eq\o\ac(△,Rt)ABD中，tan(45°+α)=

tanα./9于是,又∵sin,α∈(0,),∴cosα≈,tan≈.tan(45°+α)==3,∴x=-30=150(米.答：这座电视发射塔的高度约为150米例3在ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=，sinC与cosC的值活：题是解三角形问题在必修5中还作专门的探究这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题，难度不大，但应是学生必须熟练掌握.同时也能加强学生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题的能.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决对有困难的学生教师导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系找出解决问题的路子教要提醒学生注意角的范围这一暗含条.解∵在△ABC中A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).又∵sinA=又∵cosB=

且0°<A<45°,∴cosA=.且45°<B<90°,.∴sinC=sin［180°-(A+B)=×+×=,［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB=×-×=./9点：题是利用两角和差公式来解决三角形题的典型例子养了学生的应用意识，也使学生更加认识了公式的作用,解三角形问题时,要注三角形内角和等于180°这一暗含条件.变训3在△中已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,△是)A.锐角三角形B.钝三角形C.直三角形D.等非直角三角形答：七课小1.学提契：学生回顾本节都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式