与数列奇偶项有关的问题专题

**3xn1nn1nn1**3xn1nn1nn12*与数列奇偶项有关的问题有关数列奇偶项的问题是高考经常涉及的问决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公(比等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运.例题：已知数{}足，a＋＝－∈)．nnn(1)若数列{}等差数列，求的；n1(2)当＝时求列{a}前项和.1nn2x＋1变式设函数＝(x>0)数列{}足＝，a＝f∈N，且n≥．n1(1)求数列{}通项公式；n(2)设＝－a＋a－a＋＋－n1234实数的值范围．

，若

≥tn对n∈N恒立求nn54ininnn*nnnn54ininnn*nnn222*nnnn14串讲已知等差数列{}前项和为n(1)求数列{}前n项；nn

，且2a－＝13，S＝16.(2)设Tn

n

(－对一切正整数等λT<[a＋(]·2

n

1

恒成立i

1求实数λ的值范围．串讲已知数列{}前n项为Sn

，n

∈满足

S－＝且a

1

＝1，并且正项数列{}足n

－b＝＋(n∈nn1n

，其前7项和为(1)求数列{}{}通公式；n(2)令c＝＋，数{}前项为Tnn

n

，若任意正整数都有

≥2n＋a求实n数a的取值范围；(3)将数列{}{}项按照“当为奇数时a放前面；当为数b放前n面”的要求进行排列得到一个新的数列abbabbb…求这个新数列的前n项.nnn，，，a，a*nn23444582222k12212k2nnn，，，a，a*nn23444582222k12212k2nn22n*2221132k22k22123m(2018·南市、泰州市三第一次调研测)若数列{}时足①对于任意的正整n数na≥恒立；②若对于给定的整数a＋a＝2对任的正整数(n>)nnnn恒成立则数{}“()数列”．n1n为奇，(1)已知＝判断数列{}否为R数列，并说明理由；n为偶数(2)已知数列{b}“(3)数列，且存在整数pp，得bn成等差数列证：{b}等差数列．n

3p3p13p(2018·盐高三第三次拟考)在数列{}已＝，＝满an12

2n2n11

，…

2n

是等差数列其中≥，∈且当为数，公差为d当n为偶数时公为d(1)当λ＝，＝1时求的；8(2)当≠0时求：数列{a－a|}(n∈N2n

)是等比数列；(3)当λ≠1时记足＝的有构的一个单调递增数列{}试求数列{b}m2的通项公式．n＋（为偶数）答案：(1)3略；(3)b＝2－（为奇数）解析：(1)＝d，所以＝1，2

，a，a为差数列且公差为，2分所以＝－＝－1又，，…

为等差数列且公差为，所以＝＋＝3.484(2)当＝2k＋1时，，…2所以＝＋26分2222k

21

是等差数列且公差为，同理可得＝－d两相，得2222

－a

＝；当＝2k时同理可得－＝d所以a－＝d.7分222nna－|2又因为≠0，所以＝＝2(≥2)a－a|212n所以数列{

－a|}(n∈N)是以2为比的等比数.分2n(3)因为＝所以＝a－d＝－2，由(2)知24

＝a221

＋2，所以＝＋d＋2＋2d10分2222k122k3依次下推，得a＝a＋＋＋…＋2所以221

1

＝＋(2－当

2

1

≤n≤2

2

时a＝a－(－n1

＝＋

2－nd由a＝a，得m2n3332n22k222k222≤≤22222k42n3332n22k222k222≤≤22222k424n33m22nnnn1

2－，3222所以＝－所以＝－(n为奇数；分由(2)知

＝a－＝2222

22

－2－2d下a

＝a－dd－…－2d－，（－）所以＝－dd当22

时a＝n22k

＋－

)＝＋

2－－d322由＝，m＋，所以＝＋所以b＝＋(为数．综上所述，b＝例答：(1)－；

2＋（为数3分2－（为奇数3＝n

2－3n＋，为数2－3n，n偶.解：(1)若数{}是等差列则a＝＋(n－，＝a＋由a＋＝4nnn1n＋11n＋n－，得(and)＋[a＋(n1)d]＝＋2a－d＝－3，所以2d＝4，－d－3解得111＝2a＝.由a＋a＝4n－3得aa＝4n＋1(n∈N．两相，－a＝4.所n＋1nn＋2n＋1n＋2数{a}是项a差的差数数{a}是首项a差4的差列，2n－112由＋a＝1a＝2得a＝－1.所以＝2112n

n，n－，

n为奇数n为偶数解1当为偶时＝a＋＋…＋a)＋a＋＋…a)＝13n－24n

＋2n－）·2－＋2－5＋·＝2n－n②n为奇时S＝nnn－1n－1n－1122mnnn－1n－1n－1122m（－12－3n－）22－3n＋＋＝所以2S＝

n－n＋，n为数n－n，为偶数解2①偶时S＝(a＋a)(a＋)＋＋(＋)＝19…(4n－1234－1n－n7)＝；②n为奇时S＝a＋a＋…＋a＝(a＋)＋a＋a)＋＋a＋a)＋a＝112n1234－n－nn－n＋＋…(4n－11)2＝.以S＝

n－n＋，n为数n－n，为偶数变式联想变1＋1答：(1)a＝；－∞－．解：(1)因为a＝f(＝n1×＋322＝＋，(n∈N*，n≥2)，所－＝因为a＝1，以列a}33×n－12n＋1是1为项公为的等数．以a＝.3①n＝2，∈N*时T＝T＝aa－a＋－＋…(－2233445－a)a(－a＋＋(－a)342mm－1m＋－＋a＋…＋am)24＋a－××m＝21－(82＋m＝(2n＋6n)9

2－1

aa＝(a22m＋21②n＝m－，∈N时，＝T＝－－1)2－12－12m

aa＝m2＋12＋2mm＋1112＋m3)(8m＋＋3)＝n299

＋n＋．222nn222nn所T－（2＋6），为偶，＋6＋7，为数要Ttn2对n∈N恒成立16只使(2n＋n≥tn(偶)成，只使(2)≥对n为数成9立故数的取范为(∞－]说：列的数、数数问实上对个列成两新数进考，搞的新列原列项、差公的定串讲激活串1答：(1)S＝n2；(2)(－4，．n解：(1)设数列{a}的公差为d.因2a－＝，S＝16，所以n534a1＋4d）－a1＋）＝，＋6d＝，＝，解所以a＝2n－，S＝n.2，解1：当为偶时设n2k，k∈*，则T＝(a－a)(－)a22143k－a)2代不式λT<[＋－1)n＋]·22k－1n＋1

n－1

，λ·2k<4k，而λ.设fkk4k144k（k－）＝f(＋1)－f(k＝－＝.因k∈N*以k1)fk)>0k2k＋）2（k＋）所f(是增，所f()＝2min所λ②n为奇时设＝－1k∈*则＝T－－1)2ka2－(4k－1)＝－k.2k－22k代不式λT<[＋(1)＋a]·2n－，得·(1－2kk－1)4k，而λ>4因n＋1k*，以4k的大为－，所λ－4.综，的值围(42)．解2当n偶时设n＝，kN，则T＝a＋a＋＋a)(＋＋…＋a2k42132)2，下法1－1串2答：(1)a＝nbn2nn

－，32n＋1nnn＋12n＋1n＋nn－)12k－12k2n＋1nnn＋12n＋1n＋nn－)12k－12k＝n

32＋n，＝2k，2＋6n－3，＝4k－，∈N*，n2＋n＋，n＝k－解：(1)∵

SS11－＝，∴列首为，公为的等数，＝1(n11（n＋1）（n＋）（n＋2－1)×＝＋，即S＝n∈N*，a＝S－＝2222

－n（n＋）

＝n＋1(∈N*，a1∴＝(∈N*)1∵b2－b＝b2＋，n＋1n＋n∴b＋b－b－＝0又b>0，b－＝1，n＋1n＋1nn＋∴列b}等数，公差d＝，{}的前和B，∵B＝7b＋n7

7×6

×1＝42，b＝3∴b＝3＋(－1)＝n2(n∈N*)1b＋2n由(1)知c＝＋＝＋＝＋an＋n1111111－)∴T＝＋…c＝2n＋2(1＋－＋…－)＝n＋＋n＋21224n＋2111－－)2＋32(＋，n＋1n＋＋1n＋2∴T－2＝32(

111＋)设R＝3－2(＋)，R－R＝n＋1n＋2n＋＋n1

1n＋1n＋4，∴列{R}为递数，()＝R＝，∵对意整，（n＋）n3）nmin13都T－2≥恒立4∴a≤，实a的取值围－，3数{}的n项S＝n

（n＋），列b}前n项B＝

n（＋），当n＝kk∈N)，P＝S＋B＝k

k（＋）k（k＋）13＋＝k＋＝()＝n2＋n；22242②n＝k－3(∈N*)，P＝S＋B2k－12k－2

＝（k－k＋（k－）2＋32＋－3＝k2－＝，特地当＝1时，P＝1也合式4（－）k（2k＋）③n＝k－1(∈N*)，P＝S＋B＋＝42＋422n3n－213n－1211n2n3n－213n－1211n＋1＝

n2＋n＋

综，P＝3n2＋nn＝kn2＋n－，n＝－3，k∈2＋n＋，n＝－1新题在线答：(1)是；略

*解：(1)n为奇时a－a＝2(n＋1)－－(2－1)＝2>0所≥.a＋n1n＋1n－2a＝2(n2)－1n＋2)－＝n－1)＝a；当n为数，a－＝n＋1)n＋2n＋1n＝，所a.a＋a2(n－2)＋2(n＋＝4＝2所以数}是“R数＋1nn－n＋2列．由意得b＋＝2，则列bb，b，…等数列设公为d，数n－n＋3n147列b，b，b，…是等数，其差d，数b，b，b，…等数，其差25869为d，为≤b，所b≤b≤b，所b＋nd≤b＋nd≤b＋(＋1)d，所3nn＋13n＋13＋3＋112211nd－≥－b，2112nd－≤b－b＋.②21121若－<0，当n21

b－b12d－d21

时①成；－d>0则n>21

b－b＋121d－d21

时②成立若d－d＝，①②成立所d＝.理d＝，以d＝＝d，d＝21123121d＝d＝d.b－＝－＝b－b＝λ，则b－b＝＋n－p)d－23p－13－3p＋1p－13p33p＋n－3－23－b＋(－p－1)＝－＋d＝d－.理得－b＝－b＝dλ所以3p＋13p－13p13nn－13n＋13b