高中数学常见题型解法归纳-第05招 函数解析式的求法

【知识要点】一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：1、定系数法：如果已知函数析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法.2、代入法：如果已知原函数f(x

的解析式，求复合函数[g()]

的解析式时，可以用代入.3、元法：如果已知复合函数[g)]时，注意新“元”的范围.

的解析式，求原函数f()

的解析式时，可以用换元法.换解方程组法：如果已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，以用解方程组的方法实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析.【方法讲评】方法一使用情景解题步骤

待定系数法已知函数的类型根据已知先设出函数的解析式，再列方程（组）求待定系.【例1】已知f)

是一次函数，且满足f(f(x

，求f()

.【点评）本题由于已知函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.（）由于(f(

对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的ax

实际上是一个恒等式，所以可以比较等式两边的系数分别相等列方程.【例2】已知函数y（

的图形的一个最高点为（，2这个最高点到相邻的最低点时曲线经过6，这个函数的解析式.【解析】由题得

A

2y2sin(wx

)由题得函数的最小正周期(6

w

w

8f()8

函数的图像过点）2=sin(8f()2sin(x)4

2【点评】对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过已知条件找到关于待定系数的方（组对三角函数yA

来说一般利用最小正周期得到

的方程用值得到A

的方程，利用最值点得到的程【反馈检测1】已知f()

为二次函数，且f(2)f(，(0),图象在轴上截得的线段长为2

,求f(x)

的解析式.方法二使用情景解题步骤

代入法（）知原函数的解析式，求复合函数的解析式已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析式（）接代入原函数的解析式即可一般先在所求的函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方.【例3】已知函数

f(x

2

求函数f(

的表达.【解析】由题得

f(x2x2x【点评】本题就是已知原函数的解析式，求复合函数的解析式，所以只需直接用”代换原函数中的“

”即可这是代入法求函数的解析.【例4】已知函数x)

是定义在R上的奇函数，且当x(0,时f()x)

，求当x时f(x

的函数解析.fxfx【点评】本题就是已知某区间的函数的解析式，求对称区间的解析一般在所求的函数的图像上任意取一点，然后求出它的对称点的坐标，再把对称点的坐标代入对称点满足的方程.这是高中学常见到的一种题型，要好好地理解和掌.学网【反馈检测2】设函数(x)函数g()的表达式.方法三

的图象为C，C关于点(2,1)称的图象为，求对的11换元法使用情景解题步骤

已知复合函数的解析式，求原函数的解析.先换元，求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析.【例5】已知f(x，f()x

.22【解析】令（tx，∴f(t)xtt

，所以()

x

.【点评）本题就是已知复合函数的解析式，求原函数的解析式.一先换元，再求出函数的自变量的表达式，再代入复合函数得到函数的解析2）换元时，一定要注意新元的取值范围，它就是所求函数的定义域.【反馈检测3】已f(1)cos2x方法四

求

解方程组法使用情景解题步骤

已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变.利用已知构造另一个方程，得到一个方程组，解方程组即.【例6】已知f()满2(x)()x，f(x)

．【解析】

f()f()x

①，把①中的

3换成，得()(x)x

②，①

②得)

1，∴()x

．【点评】在已知的方程中有自变量和，们为倒数，所以可以把方程中x的方统一换成，xx从而又得到一个关于f(xf(的方程，解关于(),f()xx

的方程组即.【反馈检测5定义在区间(1,1)

上的函数f()

满足2fx)()x

求fx)

的表达式.方法五使用情景解题步骤

实际问题法实际问题一般情况下根据函数的意义求出函数的解析式，要注意函数的定义.【例7】某人开汽车以

60kmh

的速度从A

地到

km

远处的B

地，在B

地停留

后，再以

0/的速度返回A

地，把汽车离开A

地的路程

表示为时间

t

地出发是开始）的函数，再把车速

/h

表示为时间

t

的函数．【点评】实际问题中求函数的解析式难度比较大，一般要认真读题，再根据函数的意义、自变的意义及其它们之间的关系建立它们之间的函数关.写函数的解析式时，要注意函数的定义.【反馈检测】某司生产一种产品的固定成本为万元，但每生产100件需要增加投入万元，市场对此产品的需要量为5件销售收入为函数

R

2

万元，其中x是产品售出的数量（单位：百件.（）利润表示为年产量的函数

f

；（）年量为多少时，当年公所得利润最.高中数学常见题型解归纳及反馈检测第05讲：函数解析式的法参考答案【反馈检测1答】(x)x

x【反馈检测1详解析】

设二函数解析为

2

bx(a由题得二次函数的抛物线的对称轴是

a

af(0)

抛物x轴上截得的线段长2|1

b

2acb2|a|解方程组

bab2a|a

2

11得=(x)x22

2

【反馈检测2答】yx

(4)【反馈检测2详细析】设x,y)

是函数(x

图象上任一点，关于A对称点(42)

在y(

上，即：2

1即：yxx故yg()

x

(

.【反馈检测3答】f(x2)

4

2

(x

【反馈检测5答】

f()

x(x3【反馈检测5详解析】的x有-x由2f()fx）得2(-xf(x)x2）消f21f(x)=lg(x+1)+lg(-x+1)（x