ARIMA非平稳序列的随机分析课件

ARIMA非平稳序列的随机分析ARIMA非平稳序列的随机分析本章结构差分运算ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型本章结构差分运算5.1差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分5.1差分运算差分运算的实质差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息

差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳

序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用

例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量差分后序列时序图一阶差分二阶差分差分后序列时序图一阶差分二阶差分例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息

例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分过差分

足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费

过差分足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定例5.4假设序列如下

考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差例5.4假设序列如下比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大比较一阶差分二阶差分（过差分）5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构ARIMA模型结构使用场合ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodelARIMA模型族d=0随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？随机游走模型(randomwalk)模型结构ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+dARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型ARIMA模型建模步骤获平稳性差分YN白噪声Y分N拟合例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模

例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序一阶差分序列时序图一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图和偏自相关图一阶差分序列自相关图和偏自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615拟合MA(1)模型拟合MA(1)模型拟合AR(1)模型拟合AR(1)模型拟合ARMA(1,1)模型拟合ARMA(1,1)模型建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著建模定阶ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理

Green函数递推公式ARIMA模型预测原则预测值预测值例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为预测值等价形式计算预测值预测值等价形式计算置信区间Green函数值方差95％置信区间计算置信区间Green函数值例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测

例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模

例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序一阶差分一阶差分一阶差分后序列的自相关图和偏自相关图一阶差分后序列的自相关图和偏自相关图goptionsvsize=7cmhsize=10cm;dataa;inputyearx@@;dif=dif(x);cards;1917 183.11918 183.91919 163.11920 179.51921 181.41922 173.41923 167.61924 177.41925 171.71926 170.11927 163.71928 151.91929 145.41930 1451931 138.91932 131.51933 125.71934 129.51935 129.61936 129.51937 132.21938 134.11939 132.11940 137.41941 148.11942 174.11943 174.71944 156.71945 143.31946 189.71947 2121948 200.41949 201.81950 200.71951 215.61952 222.51953 231.51954 237.91955 2441956 259.41957 268.81958 264.31959 264.51960 268.11961 2641962 252.81963 2401964 229.11965 204.81966 193.31967 1791968 178.11969 181.11970 165.61971 159.81972 136.11973 126.31974 123.31975 118.5;proc

gplot;plotx*yeardif*year;symbolc=blacki=joinv=square;proc

arima;identifyvar=x(1);estimatep=(1

4)noint;forecastlead=5id=yearout=out;proc

gplotdata=out;plotx*year=1forecast*year=2l95*year=3u95*year=3/overlay;symbol1c=blacki=nonev=star;symbol2c=redi=joinv=none;symbol3c=greeni=joinv=none;run;goptionsvsize=7cmhsize=10cm;疏系数模型ARIMA((1,4),1,0)疏系数模型ARIMA((1,4),1,0)建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著建模定阶季节模型简单季节模型乘积季节模型

季节模型简单季节模型简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下

简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列

例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下

差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.0001差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计模型拟合定阶模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟统计量P值拟合效果图拟合效果图乘积季节模型使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下

乘积季节模型使用场合例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列

例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序差分平稳一阶、12步差分差分平稳一阶、12步差分差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计乘积季节模型拟合模型定阶模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟统计量P值乘积季节模型拟合效果图乘积季节模型拟合效果图5.3Auto-Regressive模型构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息

5.3Auto-Regressive模型构造思想Auto-Regressive模型结构Auto-Regressive模型结构对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立季节自回归模型对季节效应的常用拟合方法给定季节指数例5.6续使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中国农业实际国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型

例5.6续使用Auto-Regressive模型分析1952趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值

趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数趋势拟合效果图趋势拟合效果图残差自相关检验检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质残差自相关检验检验原理Durbin-Waston检验（DW检验）

假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性

备择假设：残差序列存在一阶自相关性

Durbin-Waston检验（DW检验）假设条件DW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系DW统计量构造统计量DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042DW统计量的判定结果正相不相关相负042例5.6续

检验第一个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。例5.6续检验第一个确定性趋势模型DW检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001DW检验结果检验结果DW统计量的值P值0.13781.421Durbinh检验

DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判

Durbinh检验Durbinh检验DW统计量的缺陷例5.6续检验第二个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。例5.6续检验第二个确定性趋势模型Dh检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025Dh检验结果检验结果Dh统计量的值P值2.80380.002残差序列拟合确定自回归模型的阶数参数估计模型检验残差序列拟合确定自回归模型的阶数例5.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列进行拟合例5.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列残差序列自相关图残差序列自相关图残差序列偏自相关图残差序列偏自相关图模型拟合定阶AR(2)参数估计方法极大似然估计最终拟合模型口径模型拟合定阶例5.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果例5.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976Auto－Regressive模型一：260.8454267.2891Auto－Regressive模型二：250.6317253.7987三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模5.4异方差的性质异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。

5.4异方差的性质异方差的定义异方差直观诊断残差图残差平方图异方差直观诊断残差图残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图残差平方图原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳

残差平方图原理例5.11直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。

例5.11直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国一阶差分后残差图一阶差分后残差图一阶差分后残差平方图一阶差分后残差平方图异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化5.5方差齐性变换使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系

其中：是某个已知函数处理思路尝试寻找一个转换函数，使得经转换后的变量满足方差齐性5.5方差齐性变换使用场合转换函数的确定原理转换函数在附近作一阶泰勒展开求转换函数的方差转换函数的确定转换函数的确定原理转换函数在附近作一阶泰勒常用转换函数的确定假定转换函数的确定常用转换函数的确定假定例5.11续对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析

假定函数变换例5.11续对美国1963年4月——1971年7月短期国库券对数序列时序图对数序列时序图一阶差分后序列图一阶差分后序列图白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.7337121拟合模型口径及拟合效果图拟合模型口径及拟合效果图5.6条件异方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的变体EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型5.6条件异方差模型ARCH模型ARCH模型假定原理通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数

ARCH(q)模型结构ARCH模型假定ARCH(q)模型结构GARCH模型结构使用场合ARCH模型实际上适用于异方差函数短期自相关过程

GARCH模型实际上适用于异方差函数长期自相关过程

模型结构GARCH模型结构使用场合模型结构GARCH模型的约束条件参数非负

参数有界

GARCH模型的约束条件参数非负EGARCH模型EGARCH模型IGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型GARCH-M模型AR-GARCH模型AR-GARCH模型GARCH模型拟合步骤回归拟合残差自相关性检验异方差自相关性检验ARCH模型定阶参数估计正态性检验GARCH模型拟合步骤回归拟合例5.12使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。例5.12使用条件异方差模型拟合某金融时间序列。回归拟合拟合模型参数估计参数显著性检验P值<0.0001,参数高度显著

回归拟合拟合模型残差自相关性检验残差序列DW检验结果Durbinh=-2.6011

拟合残差自回归模型方法：逐步回归模型口径残差自相关性检验残差序列DW检验结果异方差自相关检验PortmanteaQ检验拉格朗日乘子（LM）检验异方差自相关检验PortmanteaQ检验PortmanteaQ检验假设条件检验统计量检验结果拒绝原假设接受原假设PortmanteaQ检验假设条件LM检验假设条件检验统计量检验结果拒绝原假设接受原假设LM检验假设条件例5.12残差序列异方差检验例5.12残差序列异方差检验ARCH模型拟合定阶：GARCH(1,1)参数估计：极大似然估计拟合模型口径：AR(2)-GARCH(1,1)ARCH模型拟合定阶：GARCH(1,1)模型检验检验方法：正态性检验假设条件：检验统计量检验结果拒绝原假设接受原假设模型检验检验方法：正态性检验例5.13正态性检验结果

P值＝0.5603

AR(2)-GARCH(1,1)模型显著成立例5.13正态性检验结果ARIMA非平稳序列的随机分析ARIMA非平稳序列的随机分析本章结构差分运算ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型本章结构差分运算5.1差分运算差分运算的实质差分方式的选择过差分5.1差分运算差分运算的实质差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息

差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳

序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用

例5.1【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息例5.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量差分后序列时序图一阶差分二阶差分差分后序列时序图一阶差分二阶差分例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息

例5.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分过差分

足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费

过差分足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定例5.4假设序列如下

考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差例5.4假设序列如下比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大比较一阶差分二阶差分（过差分）5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型5.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构ARIMA模型结构使用场合ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodelARIMA模型族d=0随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？随机游走模型(randomwalk)模型结构ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5.5ARIMA(0,1,0)时序图ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+dARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型ARIMA模型建模步骤获平稳性差分YN白噪声Y分N拟合例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模

例5.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序一阶差分序列时序图一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图和偏自相关图一阶差分序列自相关图和偏自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615拟合MA(1)模型拟合MA(1)模型拟合AR(1)模型拟合AR(1)模型拟合ARMA(1,1)模型拟合ARMA(1,1)模型建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著建模定阶ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理

Green函数递推公式ARIMA模型预测原则预测值预测值例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

例5.7已知ARIMA(1,1,1)模型为预测值等价形式计算预测值预测值等价形式计算置信区间Green函数值方差95％置信区间计算置信区间Green函数值例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测

例5.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模

例5.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序一阶差分一阶差分一阶差分后序列的自相关图和偏自相关图一阶差分后序列的自相关图和偏自相关图goptionsvsize=7cmhsize=10cm;dataa;inputyearx@@;dif=dif(x);cards;1917 183.11918 183.91919 163.11920 179.51921 181.41922 173.41923 167.61924 177.41925 171.71926 170.11927 163.71928 151.91929 145.41930 1451931 138.91932 131.51933 125.71934 129.51935 129.61936 129.51937 132.21938 134.11939 132.11940 137.41941 148.11942 174.11943 174.71944 156.71945 143.31946 189.71947 2121948 200.41949 201.81950 200.71951 215.61952 222.51953 231.51954 237.91955 2441956 259.41957 268.81958 264.31959 264.51960 268.11961 2641962 252.81963 2401964 229.11965 204.81966 193.31967 1791968 178.11969 181.11970 165.61971 159.81972 136.11973 126.31974 123.31975 118.5;proc

gplot;plotx*yeardif*year;symbolc=blacki=joinv=square;proc

arima;identifyvar=x(1);estimatep=(1

4)noint;forecastlead=5id=yearout=out;proc

gplotdata=out;plotx*year=1forecast*year=2l95*year=3u95*year=3/overlay;symbol1c=blacki=nonev=star;symbol2c=redi=joinv=none;symbol3c=greeni=joinv=none;run;goptionsvsize=7cmhsize=10cm;疏系数模型ARIMA((1,4),1,0)疏系数模型ARIMA((1,4),1,0)建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著建模定阶季节模型简单季节模型乘积季节模型

季节模型简单季节模型简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下

简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列

例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下

差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.0001差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计模型拟合定阶模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟统计量P值拟合效果图拟合效果图乘积季节模型使用场合序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中的相关关系构造原理短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构如下

乘积季节模型使用场合例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列

例5.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序差分平稳一阶、12步差分差分平稳一阶、12步差分差分后序列自相关图差分后序列自相关图差分后序列偏自相关图差分后序列偏自相关图简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计乘积季节模型拟合模型定阶模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟统计量P值乘积季节模型拟合效果图乘积季节模型拟合效果图5.3Auto-Regressive模型构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息

5.3Auto-Regressive模型构造思想Auto-Regressive模型结构Auto-Regressive模型结构对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立季节自回归模型对季节效应的常用拟合方法给定季节指数例5.6续使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中国农业实际国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型

例5.6续使用Auto-Regressive模型分析1952趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值

趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数趋势拟合效果图趋势拟合效果图残差自相关检验检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质残差自相关检验检验原理Durbin-Waston检验（DW检验）

假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性

备择假设：残差序列存在一阶自相关性

Durbin-Waston检验（DW检验）假设条件DW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系DW统计量构造统计量DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042DW统计量的判定结果正相不相关相负042例5.6续

检验第一个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。例5.6续检验第一个确定性趋势模型DW检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001DW检验结果检验结果DW统计量的值P值0.13781.421Durbinh检验

DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判

Durbinh检验Durbinh检验DW统计量的缺陷例5.6续检验第二个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。例5.6续检验第二个确定性趋势模型Dh检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025Dh检验结果检验结果Dh统计量的值P值2.80380.002残差序列拟合确定自回归模型的阶数参数估计模型检验残差序列拟合确定自回归模型的阶数例5.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列进行拟合例5.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列残差序列自相关图残差序列自相关图残差序列偏自相关图残差序列偏自相关图模型拟合定阶AR(2)参数估计方法极大似然估计最终拟合模型口径模型拟合定阶例5.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果例5.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976Auto－Regressive模型一：260.8454267.2891Auto－Regressive模型二：250.6317253.7987三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模5.4异方差的性质异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。

5.4异方差的性质异方差的定义异方差直观诊断残差图残差平方图异方差直观诊断残差图残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图残差平