分析力学基础-机械动力学课件

在空间：一个自由质点位置需要3个独立参数，即自由质点在空间有3个自由度。

在平面：需要2个独立参数，即质点有2个自由度。受到运动约束：质点自由度数将减少。完整约束：约束方程中不含速度项；稳定（定常）约束：约束方程中不显含时间t若具有n个质点的质点系，有s个完整约束方程：§1自由度和广义坐标则：n个质点的质点系总自由度数为：描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标；完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。×在空间：一个自由质点位置需要3个独立参数，即自由质1由无重刚杆与小球构成平面摆，做定轴转动，摆长为l，是具有1个质点的平面质点系，自由度为2，有1个约束方程：用一个独立参数ψ表示。若质点限定在半球面上运动，球半径为R，是具有1个质点的空间质点系，自由度数为3，有1个约束方程：自由度数为：通常用2个独立参数ψ和θ表示自由度数为：×由无重刚杆与小球构成平面摆，做定轴转动，摆长为l，是具有1个2用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标：对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。进行变分计算：设n个质点组成质点系受s个双面约束×用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标：进行变分计算：设n个3为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。同理：×为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。同理：×4在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移之间的关系。若直接用广义坐标变分来表示虚位移，广义虚位移之间相互独立，虚位移原理可表示为简洁形式。§2以广义坐标表示的质点系平衡条件×在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。§5设：则：它的量纲由对应的广义虚位移而定。为广义虚位移称为广义力δk为线位移，Qk

量纲是力的量纲；δk为角位移，Qk量纲是力矩的量纲。由于广义坐标都是独立的，广义虚位移是任意的。上式成立必须满足：质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零×设：则：它的量纲由对应的广义虚位移而定。为广义虚位移称为广义6质点系具有N个自由度，有N个广义力，则有N个平衡方程是互相独立的，可联立求解质点系的平衡问题。大多数工程机构只有一个自由度，这只需要列出一个广义力等于零的平衡问题。广义力求解方法有两种：法1.给质点系一个广义虚位移不等于零，而其它（N-1）个广义虚位移等于零。法2.×质点系具有N个自由度，有N个广义力，则有N个平衡7质点系在势力场中，质点系上的主动力都为有势力，则势能应为各质点坐标的函数，总势能为V表示为：虚功为：虚位移原理表达为：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。×质点系在势力场中，质点系上的主动力都为有势力，则势能应为各质8用广义坐标表示质点系位置。在势力场中，质点系势能可表示为广义坐标函数，总势能为V为：广义力为：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。平衡条件为：法3:×用广义坐标表示质点系位置。在势力场中，质点系势能可表示为广义9例1复合摆机构，A、B点位置作用力F1,F2，F.。用广义坐标表示A、B点位置，求平衡时作用力F1,F2，F与ψ1，ψ2关系。解：方法1：1）取整个系统为研究对象，A,B2个质点具有4个自由度。两个约束方程：该质点系自由度数为：4-2=2,可以用2个独立参数。表示2）用广义坐标表示A,B×例1复合摆机构，A、B点位置作用力F1,F2，F.10××11××12（4）虚位移原理：直接计算：×（4）虚位移原理：直接计算：×13××14方法2：不变，给虚位移×方法2：不变，给虚位移×15不变，给虚位移选题×不变，给虚位移选题×16

设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质点质量为mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi.如果假想地加上该质点的惯性力FIi=-miai，由达朗贝尔原理，Fi、Fni、FIi构成平衡力系。整个质点系应组成平衡力系，质点系具有理想约束.应用虚位移原理，得到：§3动力学普遍方程×

设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质17在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。称为动力学普遍方程。

得到：×在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬18例1图示滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为m1的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂质量m2重物，滑轮和绳子重量以及轮轴摩擦忽略不计，求m2重物下降的加速度。

解：（1）取整个系统为研究对象，（2）受力分析系统的主动力为：m1g、m2g

2）给系统虚位移s1和s2惯性力为：

×设m2重物下降的加速度为a2，设m1重物下降的加速度为a1。例1图示滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为m1的重物，绳子绕过定19代入加速度和虚位移关系得到：3）动力学普遍方程：

选题×代入加速度和虚位移关系得到：3）动力学普遍方程：选题×20o例3-5如图二相同圆轮半径皆为R，质量皆为m，轮Ⅰ可绕O轴转动，二轮相连绳铅直时，轮Ⅱ中心C的加速度。解：（1）取系统为研究对象（2）力分析：作用的主动力mg（3）设轮Ⅰ的角加速度为α1 轮Ⅱ的角加速度为α2轮Ⅰ惯性力偶：MIⅠ=J1α1轮ⅠI惯性力偶：MIⅡ=J2α2 惯性力：FI=maC×o例3-5如图二相同圆轮半径皆为R，质量皆为m，轮Ⅰ可绕O214)加虚位移：轮Ⅰ：δψⅠ轮ⅠI：δψⅡI轮定轴转动II轮平面运动取B为基点×4)加虚位移：I轮定轴转动II轮平面运动×225)动力学普遍方程：×5)动力学普遍方程：×23由虚位移的任意性：

解得：选题×由虚位移的任意性：解得：选题×24§4第一类拉格朗日方程设n个质点组成质点系受s个双面约束设：由动力学普遍定理：第一类拉格朗日方程ק4第一类拉格朗日方程设n个质点组成质点系受s个双面约束25例3-6如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统微幅摆动的周期。解：1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2、y2。2）运动分析：系统受到水平面和刚性杆的约束，有2个约束方程。×例3-6如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M126××27约束方程微分，消去×约束方程微分，消去×28当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关系不方便。动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，可推导出第二类拉格朗日方程，这种方法便于求解非自由质点系的动力学问题。设一质点系由n个质点组成，系统具有s个完整理想约束，具有N=3n-s个自由度。用q1、q2、…qn表示系统的广义坐标。设系统中第i个质点的质量为m1，矢径为ri，矢径ri可表示为广义坐标和时间的函数：§5第二类拉格朗日方程×当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关29由质点系普遍方程：

上式第一项又可以表示为：

注意：这里不是研究平衡问题，所以Qk不一定为零。×由质点系普遍方程：上式第一项又可以表示为：注意：这里不是30

代入上式第二项得:×代入上式第二项得:×31对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。所以广义坐标的变分是任意的，为使上式成立，必须有：

这是具有N个方程的方程组，其中第二项与广义力对应，称为广义惯性力。表明广义力与广义惯性力相平衡，是达朗伯原理的广义坐标表示。 对广义力做如下变换×对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。321.证明：

进一步简化，先证明两个等式对时间求导数

其中

是广义坐标和时间的函数，而不是广义速度的函数。再对求偏导数：得证在完整约束下×1.证明：进一步简化，先证明两个等式对时间求导数其中是33对某qj求偏导数

将

对时间求导数得：2.证明：由此得证

×对某qj求偏导数将对时间求导数得：2.证明：由此得证34××35其中

上式称为拉格朗日方程×其中

为系统的动能其中

为质点系的势能其中

为系统的散逸函数其中

其中上式称为拉格朗日方程×其中为系统的动能其中为质点系36列出系统的势能、动能和散逸函数后，由拉格朗日方程可得到n自由度系统的运动方程×是n×n矩阵是n×1向量方程是由n个二阶常微分方程组成的方程组列出系统的势能、动能和散逸函数后，由拉格朗日方程可×是n×n37解：1）取系统为研究对象此系统具有一个自由度。以物块平衡位置为原点，取x为广义坐标如图。2）以平衡位置为重力势能零点，系统在任意位置x处的势能为例6如图所示的系统中，A轮沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为m1的物块C以细绳跨过定滑轮B联于A点。A、B二轮皆为均质圆轮，半径为R，质量为m2。弹簧刚度为k，质量不记。当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系统的运动微分方程。0为平衡位置弹簧伸长量。×解：例6如图所示的系统中，A轮沿水平面纯滚动，轮心以水平382）运动分析；B轮角速度为A轮质心速度为A轮角速度为物块速度为此系统的动能为：×2）运动分析；B轮角速度为A轮质心速度为A轮角速度为物393）代入拉格朗日方程4）系统的运动微分方程为得注意系统的动势为：选题×3）代入拉格朗日方程4）系统的运动微分方程为得注意系统的动40例7如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统微幅摆动的周期。解：1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2、y2。2）运动分析：系统受到水平面和刚性杆的约束，所以具有两个自由度。×例7如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质413）拉格朗日方程列出系统的微分方程。系统的动能为：选x1和为广义坐标，则有：其中：×选x1和为广义坐标，则有：其中：×42选M1在水平面上而M2在最低处为系统的零势能位置，则系统的势能为：×选M1在水平面上而M2在最低处为系统的零势能位置，则系统的势43××44代入拉格朗日方程×代入拉格朗日方程×45如果M2摆动很小，则可近似地认为且可忽略高阶小量，上式可改写为×如果M2摆动很小，则可近似地认为且可忽略高阶小量，上式可改46解为：圆频率为：

摆动周期如果m1远大于m2，则M1的位移x1将很小，M2的摆动周期将趋近于普通单摆的周期：选题×解为：圆频率为：

摆动周期如果m1远大于m2，则M1的位47§6拉格朗日方程的初积分对于保守系统，在一定条件下，可以直接给出初积分的一般形式。1.能量积分若系统所受到的约束均为定常约束，则式（3－4）中不显含时间t，从而（3－27）§6拉格朗日方程的初积分对于保守系统，在一定条件下，可以48为关于的二次齐次函数，其中是广义坐标的函数，称为广义质量，容易证明（3－28）上式也称为关于齐次函数的欧拉定理，注意势能V不含项，从而为关于的二次齐次函数，其中是广义坐标的函数，称为广义49将式（3－26b）对k求和（3－29）积分上式，有2T-L=T+V=常数（3－30）这就是保守系统的机械能守恒定律。也称为保守系统中拉格朗日方程的能量积分。将式（3－26b）对k求和（3－29）积分上式，有2T-L=502.循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某广义坐标，则称该坐标为循环坐标，此时从而有常数（3－31）上式称为拉格朗日方程的循环积分。如果引入广义动量则有常数（3－31a）式（3－31a）也称为广义动量守恒2.循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某广义坐标51例3-9：图表示一个均质圆柱体，可绕其垂直中心轴自由转动，圆柱表面上刻有一倾角为θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自静止开始沿槽下滑，同时使圆柱体绕轴线转动，设小球质量为，圆柱体的质量为，半径为R，不计摩擦。求：当小球下降的高度为h时，小球相对于圆柱体的速度以及圆柱体的角速度。例3-9：图表示一个均质圆柱体，可绕其垂直中心轴自由转动，52解：小球与圆柱体组成的系统是具有两个自由度的系统，并具有稳定、完整、理想约束，因为系统所受的主动力是重力，所以是保守系统。取圆柱体的转角，和沿螺旋槽方向的弧坐标s为广义坐标。取小球为动点，圆柱体为动系，利用点的速度合成公式，则小球的动能为圆柱体的动能为解：小球与圆柱体组成的系统是具有两个自由度的系统，并具有稳定53系统的动能为可见此时动能T是广义速度和的二次齐次函数。若选择小球起点为零势能点。则系统势能V可表示为系统的拉格朗日函数为：由于L中不显含时间t和广义坐标，系统有能量积分和循环积分，于是我们有两个一次积分式系统的动能为可见此时动能T是广义速度和的二次齐54将动能和势能表达式代入上式得（a）（b）将初始条件t=0时，代入上式得，由此，从式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得将动能和势能表达式代入上式得（a）（b）将初始条件t=0时，55由此得小球相对于圆柱体的速度为（d）再由式（c）得圆柱体转动的角速度为由此得小球相对于圆柱体的速度为（d）再由式（c）得圆柱体转动56平面机构自由度分析及应用举例一、运动副的自由度和约束二、平面机构自由度计算公式三、机构可能运动条件及机构具有确定运 动条件四、计算机构自由度应注意的问题平面机构自由度分析及应用举例一、运动副的自由度和约束57一、运动副的自由度和约束运动副对该两构件独立运动所加的限制称为约束。约束数目等于被其限制的自由度数。

图1.1.17平面构件未组成运动副前三个自由度一、运动副的自由度和约束运动副对该两58图1.1.18组成运动副后构件2相对运动自由度（一）转动副：只能绕垂直于xoy平面的轴的相对转动

（二）移动副：使其只能沿x轴方向移动。

（三）高副：可沿t-t方向独立移动和绕过k点垂直于运动平面的轴的独立转动

图1.1.18组成运动副后构件2相对运动自由度（一）转动副59二、平面机构自由度计算公式式中F——平面机构的自由度；n——该机构的总构件数(包括机架),(n-1) 则为机构的活动构件数；PL——该机构中的低副（转动副、移动副）数；PH——该机构中的高副数。二、平面机构自由度计算公式式中F——平面机构的自由度；60结论（一）机构可能运动的条件为：机构自由度数大于等于1。（二）机构具有确定运动的条件为：机构输入的独立运动数目等于机构的自由度数。三、机构可能运动条件及机构具有确定运动条件图1.1.19机构自由度与确定运动结论（一）机构可能运动的条件为：机构自由度数大于等于161（一）复合铰链

四、计算机构自由度时应注意的问题两个以上构件同在一处以转动副相联接即构成复合铰链。m个构件以复合铰链联接所构成的转动副数为(m-1)个注意：复合铰链只存在于转动副中。

图1.1.20复合铰链（一）复合铰链四、计算机构自由度时应注意的问题62机构的自由度与确定运动条件

图1.1.21局部自由度（二）局部自由度机构中有些构件所具有的自由度只与该构件自身的局部运动有关，不影响其它构件的运动，即对整个机构的运动输出无关，则称这种自由度为局部自由度。机构的自由度与确定运动条件

图1.1.21局部自由度（二63在机构自由度计算时，还需注意，在某些特定的几何条件或结构条件下，某些运动副所引入的约束可能与其它运动副引入的约束是重复的，这种不起独立约束作用的重复约束称为虚约束。在计算机构自由度时，应将虚约束除去不计。常见的虚约束发生在以下场合：

（三）虚约束在机构自由度计算时，还需注意，在某些特定的几何条件或结构条件64图1.1.22两构件或多个运动副满足特定几何条件时形成虚约束两构件组成若干个转动副，但其轴线互相重合；两构件组成移动副，其导路互相平行或重合;1．两构件间构成多个运动副图1.1.22两构件或多个运动副满足特定几何条件时形成虚约652．联接构件与被联接构件上联接点的轨迹重合;

图1.1.23轨迹重合形成虚约束 图1.1.24两构件上某两点距离不变形成虚约束3．在机构整个运动过程中，两构件上某两点之间的距离始终不变。2．联接构件与被联接构件上联接点的轨迹重合;

图1.1.266机构的自由度与确定运动条件图1.1.25对运动不起作用的对称部分形成虚约束4．机构中对运动不起作用的对称部分机构的自由度与确定运动条件图1.1.25对运动不起作用的67例题1.1.3试计算如图所示大筛机构的自由度。分析：该机构具有5个活动构件，有7个转动副，即低副，没有高副。于是机构自由度为例题1.1.3试计算如图所示大筛机构的自由度。分析：68第四章多自由度机械动力学利用拉格朗日方程分析问题思路：选定系统的广义坐标列出系统动能、势能和广义力表达式代入拉格朗日方程列出运动微分方程求解微分方程第四章多自由度机械动力学利用拉格朗日方程分析问题思路：选69二自由度系统，广义坐标设为q1、q2选定系统的广义坐标若不考虑重力，且无其它有势力的作用，二自由度系统，广义坐标设为q1、q2选定系统的广义坐标若不考70动能列出系统动能、势能和广义力表达式动能列出系统动能、势能和广义力表达式71广义力代入拉格朗日方程列出运动微分方程如系统能直接写出主动力功率与广义速度的关系式广义力代入拉格朗日方程列出运动微分方程如72降阶处理求解微分方程（二阶非线性微分方程）四阶龙格—库塔法降阶处理求解微分方程（二阶非线性微分方程）四阶龙格—库塔法73分析力学基础--机械动力学课件74四元一阶微分方程组。应用龙格—库塔法四元一阶微分方程组。应用龙格—库塔法75由初始条件和四阶龙格—库塔法的递推公式可求得广义坐标值和广义速度值由初始条件和四阶龙格—库塔法的递推公式可求得广义坐标值和广义76已知各轮齿数以及转动惯量，固联的行星轮2.3齿轮组的质量为m23，设作用在轮1、4和系杆H上的力矩分别为M1、M4、MH，试求差动轮系在力矩下的运动为分方程。已知各轮齿数以及转动惯量，固联的行星77二自由度机械手的动力学问题二自由度机械手的动力学问题78广义位移θ1，θ2广义位移θ1，θ279分析力学基础--机械动力学课件80分析力学基础--机械动力学课件81分析力学基础--机械动力学课件82两臂转角的运动规律应保证加速度连续两臂转角的运动规律应保证加速度连续83第五章含间隙机构的动力学问题考虑运动副间隙影响的连杆机构动力学问题凸轮机构和间歇机构中的横越冲击现象第五章含间隙机构的动力学问题考虑运动副间隙影响的连杆机构动力845.1考虑运动副间隙影响的连杆机构动力学问题含间隙刚体机构动力学分析方法5.1考虑运动副间隙影响的连杆机构动力学问题含间隙刚体机构动851、三状态运动模型拉格朗日方程1、三状态运动模型拉格朗日方程86分析力学基础--机械动力学课件87接触状态接触状态88自由状态自由状态89碰撞过程碰撞过程902、二状态运动模型推到机构动力学方程牛顿力学2、二状态运动模型推到机构动力学方程牛顿力学91分析力学基础--机械动力学课件92牛顿力学建立各构件的力平衡方程牛顿力学建立各构件的力平衡方程933、连续接触模型推到机构动力学方程将间隙视为一个无质量刚性杆，称为间隙杆3、连续接触模型推到机构动力学方程将间隙视为一个无质量刚性杆945.2凸轮机构和间隙机构中的横越冲击现象5.2凸轮机构和间隙机构中的横越冲击现象95分析力学基础--机械动力学课件96在空间：一个自由质点位置需要3个独立参数，即自由质点在空间有3个自由度。

在平面：需要2个独立参数，即质点有2个自由度。受到运动约束：质点自由度数将减少。完整约束：约束方程中不含速度项；稳定（定常）约束：约束方程中不显含时间t若具有n个质点的质点系，有s个完整约束方程：§1自由度和广义坐标则：n个质点的质点系总自由度数为：描述质点系在空间位置的独立参数，称广义坐标；完整系统，广义坐标数目等于自由度数目。×在空间：一个自由质点位置需要3个独立参数，即自由质97由无重刚杆与小球构成平面摆，做定轴转动，摆长为l，是具有1个质点的平面质点系，自由度为2，有1个约束方程：用一个独立参数ψ表示。若质点限定在半球面上运动，球半径为R，是具有1个质点的空间质点系，自由度数为3，有1个约束方程：自由度数为：通常用2个独立参数ψ和θ表示自由度数为：×由无重刚杆与小球构成平面摆，做定轴转动，摆长为l，是具有1个98用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标：对完整约束质点系，各质点坐标可表示为广义坐标的函数。进行变分计算：设n个质点组成质点系受s个双面约束×用q1、q2、…qN表示质点系广义坐标：进行变分计算：设n个99为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。同理：×为广义虚位移。虚位移用广义坐标表示。同理：×100在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。这些虚位移通常不独立，需要建立虚位移之间的关系。若直接用广义坐标变分来表示虚位移，广义虚位移之间相互独立，虚位移原理可表示为简洁形式。§2以广义坐标表示的质点系平衡条件×在虚位移原理中，以质点直角坐标的变分表示虚位移。§101设：则：它的量纲由对应的广义虚位移而定。为广义虚位移称为广义力δk为线位移，Qk

量纲是力的量纲；δk为角位移，Qk量纲是力矩的量纲。由于广义坐标都是独立的，广义虚位移是任意的。上式成立必须满足：质点系的平衡条件是所有的广义力都等于零×设：则：它的量纲由对应的广义虚位移而定。为广义虚位移称为广义102质点系具有N个自由度，有N个广义力，则有N个平衡方程是互相独立的，可联立求解质点系的平衡问题。大多数工程机构只有一个自由度，这只需要列出一个广义力等于零的平衡问题。广义力求解方法有两种：法1.给质点系一个广义虚位移不等于零，而其它（N-1）个广义虚位移等于零。法2.×质点系具有N个自由度，有N个广义力，则有N个平衡103质点系在势力场中，质点系上的主动力都为有势力，则势能应为各质点坐标的函数，总势能为V表示为：虚功为：虚位移原理表达为：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。×质点系在势力场中，质点系上的主动力都为有势力，则势能应为各质104用广义坐标表示质点系位置。在势力场中，质点系势能可表示为广义坐标函数，总势能为V为：广义力为：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个坐标的偏导数分别等于零。平衡条件为：法3:×用广义坐标表示质点系位置。在势力场中，质点系势能可表示为广义105例1复合摆机构，A、B点位置作用力F1,F2，F.。用广义坐标表示A、B点位置，求平衡时作用力F1,F2，F与ψ1，ψ2关系。解：方法1：1）取整个系统为研究对象，A,B2个质点具有4个自由度。两个约束方程：该质点系自由度数为：4-2=2,可以用2个独立参数。表示2）用广义坐标表示A,B×例1复合摆机构，A、B点位置作用力F1,F2，F.106××107××108（4）虚位移原理：直接计算：×（4）虚位移原理：直接计算：×109××110方法2：不变，给虚位移×方法2：不变，给虚位移×111不变，给虚位移选题×不变，给虚位移选题×112

设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质点质量为mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力的合力为FNi.如果假想地加上该质点的惯性力FIi=-miai，由达朗贝尔原理，Fi、Fni、FIi构成平衡力系。整个质点系应组成平衡力系，质点系具有理想约束.应用虚位移原理，得到：§3动力学普遍方程×

设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质113在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。称为动力学普遍方程。

得到：×在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬114例1图示滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为m1的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂质量m2重物，滑轮和绳子重量以及轮轴摩擦忽略不计，求m2重物下降的加速度。

解：（1）取整个系统为研究对象，（2）受力分析系统的主动力为：m1g、m2g

2）给系统虚位移s1和s2惯性力为：

×设m2重物下降的加速度为a2，设m1重物下降的加速度为a1。例1图示滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为m1的重物，绳子绕过定115代入加速度和虚位移关系得到：3）动力学普遍方程：

选题×代入加速度和虚位移关系得到：3）动力学普遍方程：选题×116o例3-5如图二相同圆轮半径皆为R，质量皆为m，轮Ⅰ可绕O轴转动，二轮相连绳铅直时，轮Ⅱ中心C的加速度。解：（1）取系统为研究对象（2）力分析：作用的主动力mg（3）设轮Ⅰ的角加速度为α1 轮Ⅱ的角加速度为α2轮Ⅰ惯性力偶：MIⅠ=J1α1轮ⅠI惯性力偶：MIⅡ=J2α2 惯性力：FI=maC×o例3-5如图二相同圆轮半径皆为R，质量皆为m，轮Ⅰ可绕O1174)加虚位移：轮Ⅰ：δψⅠ轮ⅠI：δψⅡI轮定轴转动II轮平面运动取B为基点×4)加虚位移：I轮定轴转动II轮平面运动×1185)动力学普遍方程：×5)动力学普遍方程：×119由虚位移的任意性：

解得：选题×由虚位移的任意性：解得：选题×120§4第一类拉格朗日方程设n个质点组成质点系受s个双面约束设：由动力学普遍定理：第一类拉格朗日方程ק4第一类拉格朗日方程设n个质点组成质点系受s个双面约束121例3-6如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统微幅摆动的周期。解：1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2、y2。2）运动分析：系统受到水平面和刚性杆的约束，有2个约束方程。×例3-6如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1122××123约束方程微分，消去×约束方程微分，消去×124当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关系不方便。动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，可推导出第二类拉格朗日方程，这种方法便于求解非自由质点系的动力学问题。设一质点系由n个质点组成，系统具有s个完整理想约束，具有N=3n-s个自由度。用q1、q2、…qn表示系统的广义坐标。设系统中第i个质点的质量为m1，矢径为ri，矢径ri可表示为广义坐标和时间的函数：§5第二类拉格朗日方程×当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关125由质点系普遍方程：

上式第一项又可以表示为：

注意：这里不是研究平衡问题，所以Qk不一定为零。×由质点系普遍方程：上式第一项又可以表示为：注意：这里不是126

代入上式第二项得:×代入上式第二项得:×127对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。所以广义坐标的变分是任意的，为使上式成立，必须有：

这是具有N个方程的方程组，其中第二项与广义力对应，称为广义惯性力。表明广义力与广义惯性力相平衡，是达朗伯原理的广义坐标表示。 对广义力做如下变换×对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。1281.证明：

进一步简化，先证明两个等式对时间求导数

其中

是广义坐标和时间的函数，而不是广义速度的函数。再对求偏导数：得证在完整约束下×1.证明：进一步简化，先证明两个等式对时间求导数其中是129对某qj求偏导数

将

对时间求导数得：2.证明：由此得证

×对某qj求偏导数将对时间求导数得：2.证明：由此得证130××131其中

上式称为拉格朗日方程×其中

为系统的动能其中

为质点系的势能其中

为系统的散逸函数其中

其中上式称为拉格朗日方程×其中为系统的动能其中为质点系132列出系统的势能、动能和散逸函数后，由拉格朗日方程可得到n自由度系统的运动方程×是n×n矩阵是n×1向量方程是由n个二阶常微分方程组成的方程组列出系统的势能、动能和散逸函数后，由拉格朗日方程可×是n×n133解：1）取系统为研究对象此系统具有一个自由度。以物块平衡位置为原点，取x为广义坐标如图。2）以平衡位置为重力势能零点，系统在任意位置x处的势能为例6如图所示的系统中，A轮沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为m1的物块C以细绳跨过定滑轮B联于A点。A、B二轮皆为均质圆轮，半径为R，质量为m2。弹簧刚度为k，质量不记。当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下，求此系统的运动微分方程。0为平衡位置弹簧伸长量。×解：例6如图所示的系统中，A轮沿水平面纯滚动，轮心以水平1342）运动分析；B轮角速度为A轮质心速度为A轮角速度为物块速度为此系统的动能为：×2）运动分析；B轮角速度为A轮质心速度为A轮角速度为物1353）代入拉格朗日方程4）系统的运动微分方程为得注意系统的动势为：选题×3）代入拉格朗日方程4）系统的运动微分方程为得注意系统的动136例7如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统微幅摆动的周期。解：1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2、y2。2）运动分析：系统受到水平面和刚性杆的约束，所以具有两个自由度。×例7如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质1373）拉格朗日方程列出系统的微分方程。系统的动能为：选x1和为广义坐标，则有：其中：×选x1和为广义坐标，则有：其中：×138选M1在水平面上而M2在最低处为系统的零势能位置，则系统的势能为：×选M1在水平面上而M2在最低处为系统的零势能位置，则系统的势139××140代入拉格朗日方程×代入拉格朗日方程×141如果M2摆动很小，则可近似地认为且可忽略高阶小量，上式可改写为×如果M2摆动很小，则可近似地认为且可忽略高阶小量，上式可改142解为：圆频率为：

摆动周期如果m1远大于m2，则M1的位移x1将很小，M2的摆动周期将趋近于普通单摆的周期：选题×解为：圆频率为：

摆动周期如果m1远大于m2，则M1的位143§6拉格朗日方程的初积分对于保守系统，在一定条件下，可以直接给出初积分的一般形式。1.能量积分若系统所受到的约束均为定常约束，则式（3－4）中不显含时间t，从而（3－27）§6拉格朗日方程的初积分对于保守系统，在一定条件下，可以144为关于的二次齐次函数，其中是广义坐标的函数，称为广义质量，容易证明（3－28）上式也称为关于齐次函数的欧拉定理，注意势能V不含项，从而为关于的二次齐次函数，其中是广义坐标的函数，称为广义145将式（3－26b）对k求和（3－29）积分上式，有2T-L=T+V=常数（3－30）这就是保守系统的机械能守恒定律。也称为保守系统中拉格朗日方程的能量积分。将式（3－26b）对k求和（3－29）积分上式，有2T-L=1462.循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某广义坐标，则称该坐标为循环坐标，此时从而有常数（3－31）上式称为拉格朗日方程的循环积分。如果引入广义动量则有常数（3－31a）式（3－31a）也称为广义动量守恒2.循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某广义坐标147例3-9：图表示一个均质圆柱体，可绕其垂直中心轴自由转动，圆柱表面上刻有一倾角为θ的螺旋槽，今在槽中放一小球M，自静止开始沿槽下滑，同时使圆柱体绕轴线转动，设小球质量为，圆柱体的质量为，半径为R，不计摩擦。求：当小球下降的高度为h时，小球相对于圆柱体的速度以及圆柱体的角速度。例3-9：图表示一个均质圆柱体，可绕其垂直中心轴自由转动，148解：小球与圆柱体组成的系统是具有两个自由度的系统，并具有稳定、完整、理想约束，因为系统所受的主动力是重力，所以是保守系统。取圆柱体的转角，和沿螺旋槽方向的弧坐标s为广义坐标。取小球为动点，圆柱体为动系，利用点的速度合成公式，则小球的动能为圆柱体的动能为解：小球与圆柱体组成的系统是具有两个自由度的系统，并具有稳定149系统的动能为可见此时动能T是广义速度和的二次齐次函数。若选择小球起点为零势能点。则系统势能V可表示为系统的拉格朗日函数为：由于L中不显含时间t和广义坐标，系统有能量积分和循环积分，于是我们有两个一次积分式系统的动能为可见此时动能T是广义速度和的二次齐150将动能和势能表达式代入上式得（a）（b）将初始条件t=0时，代入上式得，由此，从式（a）中解得（c）代入式（b），并令，得将动能和势能表达式代入上式得（a）（b）将初始条件t=0时，151由此得小球相对于圆柱体的速度为（d）再由式（c）得圆柱体转动的角速度为由此得小球相对于圆柱体的速度为（d）再由式（c）得圆柱体转动152平面机构自由度分析及应用举例一、运动副的自由度和约束二、平面机构自由度计算公式三、机构可能运动条件及机构具有确定运 动条件四、计算机构自由度应注意的问题平面机构自由度分析及应用举例一、运动副的自由度和约束153一、运动副的自由度和约束运动副对该两构件独立运动所加的限制称为约束。约束数目等于被其限制的自由度数。

图1.1.17平面构件未组成运动副前三个自由度一、运动副的自由度和约束运动副对该两154图1.1.18组成运动副后构件2相对运动自由度（一）转动副：只能绕垂直于xoy平面的轴的相对转动

（二）移动副：使其只能沿x轴方向移动。

（三）高副：可沿t-t方向独立移动和绕过k点垂直于运动平面的轴的独立转动

图1.1.18组成运动副后构件2相对运动自由度（一）转动副155二、平面机构自由度计算公式式中F——平面机构的自由度；n——该机构的总构件数(包括机架),(n-1) 则为机构的活动构件数；PL——该机构中的低副（转动副、移动副）数；PH——该机构中的高副数。二、平面机构自由度计算公式式中F——平面机构的自由度；156结论（一）机构可能运动的条件为：机构自由度数大于等于1。（二）机构具有确定运动的条件为：机构输入的独立运动数目等于机构的自由度数。三、机构可能运动条件及机构具有确定运动条件图1.1.19机构自由度与确定运动结论（一）机构可能运动的条件为：机构自由度数大于等于1157（一）复合铰链

四、计算机构自由度时应注意的问题两个以上构件同在一处以转动副相联接即构成复合铰链。m个构件以复合铰链联接所构成的转动副数为(m-1)个注意：复合铰链只存在于转动副中。

图1.1.20复合铰链（一）复合铰链四、计算机构自由度时应注意的问题158机构的自由度与确定运动条件

图1.1.21局部自由度（二）局部自由度机构中有些构件所具有的自由度只与该构件自身的局部运动有关，不影响其它构件的运动，即对整个机构的运动输出无关，则称这种自由度为局部自由度。机构的自由度与确定运动条件

图1.1.21局部自由度（二159在机构自由度计算时，还需注意，在某些特定的几何条件或结构条件下，某些运动副所引入的约束可能与其它运动副引入的约束是重复的，这种不起独立约束作用的重复约束称为虚约束