《数学分析续论》教学大纲

PAGEPAGE13《数学分析续论》教学大纲《数学分析续论》教学大纲数学分析"是数学系本科生一门重要的基础课，恰当的习题配置和解题指导是几何、常微分方程等一门学科．辅导怎样"答"题的同时，还通过"敲条件，举反例""""提问题"．设置本课程的目的是：一方面使学生学好作为数学基础的数学54学时，33个课时．.社．20045月．教学手段：课堂讲授为主，习题课，试卷为辅考核方法：闭卷书面考试教学进程安排表周次学时数132333435363738393103113123133143153163173183193203第一章不等式

教学主要内容介绍不等式的各种求解方法：初等方法，导数方法，强调积分方法．讲解北京大学考研试题一套．介绍求极限的简单方法：定义法，几何比率方法和单调有界方法．讲解北京大学考研试题一套．介绍求极限的高级方法：Stocks公式，极限与其它知识混合问题的求解方法．讲解北京大学考研试题一套．讨论连续函数的有关性质．讲解北京大学考研试题一套．讨论一致连续函数的有关性质．讲解北京大学考研试题一套．导数的定义和计算，讲解北京大学考研试题一套．用常微分方程求解方法证明 Lagrange一类问题的求解．讲解中科大考研试题一套．讨论有关多项式一类问题的求解方法．讲解中科大考研试题一套．极值问题，讨论了二次规划的求解方法．讲解中科大考研试题一套．介绍级数的有关性质及其证明方法．讲解中科大考研试题一套．，TaylorFouier级数．讲解中科大考研试题一套．基于定积分性质的证明．讲解中科大考研试题一套．多元函数的性质，讲解中科院考研试题一套．积分交换，讲解中科院考研试题一套．基于对称性的积分求解方法，讲解中科院考研试题一套．实变和泛函分析有关题目，讲解中科院考研试题一套．（一套．讲解考研试题两套讲解考研试题两套讲解考研试题两套

教学方法相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合相结合一、学习目的,不等式的Lagrange明不等式．对涉及到Taylor级数展开式的不等式证明将在后面介6学时．二、课程内容§1.1数学归纳法在证明含有自然数的不等式中，数学归纳法是首先考虑到的证明方法．§1.2初等证明方法单的形式，对问题的解决会有意想不到的结果．§1.3Lagrange中值定理Lagrange熟悉．§1.4积分证明的另一种重要的证明方法．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、数学归纳法；2、初等证明方法；3、Lagrange中值定理；4、积分．（二）教学手段四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）一、学习目的,本章介绍各种求极限的方法,希望能加强读者对极限的理解.在这里我们将数列和函数的极限一起讨论,包含函数连续性的证明．通过本章的学习，熟练掌握求极限的几种简单方法：定义法，几何比率方法，单调有界方法，Stocks6二、课程内容§2.1几何数列对于一般由递推公式给出的数列,我们可以求出的解,然后证明数列是比率小于1的几何数列来证明.利用几何级数的比率小于1来证明级数收敛是一个非常有效,且也是简单的方法．§2.2夹逼定理利用夹逼定理来求极限的关键是寻求数列的上下界,然后证明数列的上下界收敛到同一个数值．§2.3单调有界有极限定理利用单调有界有极限定理求极限．§2.4Taylor级数利用函数的Taylor级数展开式求极限也是一种有效的方法,特别对一些问题,利用一般的夹逼方法是无效的情形．§2.5Stocks公式利用Stocks三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、几何数列；2、夹逼定理；34、Taylor级数；5、Stocks公式．（二）教学手段四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）一、学习目的6学时．二、课程内容§3.1连续函数的有关性质熟练掌握连续函数的几种性质．熟练应用连续函数的性质解题．§3.2一致连续函数的有关性质质．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、连续函数的有关性质；2、一致连续函数的有关性质；3、连续函数和一致连续函数的联系和区别．（二）教学手段四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第四章级数一、学习目的数的基本性质，Gauchy收敛法则．正项级收敛判别法：比较法、比6学时．二、课程内容§4.1数项级数熟练掌握级数的收敛性、级数的和的概念，收敛级数的基本性质，Gauchy的阿贝尔判别法与狄里克勒判别数法．绝对收敛级数的重排定理．§4.2函数列与函数项级数熟练掌握函数列与函数项级的收敛与一致收敛概念．一致收敛的Gauchy优级数判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项可积性与逐项可微性．§4.3幂级数等函数的泰勒展开；近似计算（e,л的近似计算与e的无理性证明．§4.4Fouier级数熟练掌握三角级数．三角函数系的正交性．傅立叶级数．奇函数与偶函数的傅立叶级数．以2Π为周期的函数的傅立叶级数的收敛性定理．按段光滑且以2Π为周期的函数展开为傅立叶级数的收敛性定理．§4.5Taylor级数熟练掌握TaylorTaylor（皮亚诺型与拉格朗日型一些初等函数的Taylor级数展开式．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、数项级数；2、函数列与函数项级数；3、幂级数；4、Fouier级数及其展开式；5、Taylor级数及其展开式；6、条件收敛、一致收敛、和函数的分析性质．（二）教学手段四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第五章曲线积分、曲面积分与场论一、学习目的通过本章的学习，要求理解第一、二类曲线积分与曲面积分的概念；掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法；理解曲线积分与路径无关的条件；理解梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念．本章计划6学时．二、课程内容§5.1第一类曲线积分与第一类曲面积分第一类曲面积分的概念、计算及应用．§5.2第二类曲线积分与第二类曲面积分第二类曲线积分的概念及性质：方向性、线性性与路径可加性；第二类曲线积分的计算公式及其应用；理解曲面的侧的相关概念及应用；第二类曲面积分的概念及性质：方向性、线性性与曲面可加性；第二类曲面积分的计算及应用．§5.3Green公式、GaussStokes公式GreenGreen公式与Newton-Leibniz用Green条件及其应用；Gauss公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green公式、Gauss公式和Stokes公式三者之间的关系．§5.4微分形式的外微了解外微分的概念及性质；外微分的应用．§5.5场论初步应用；HamiltonGreen第一公式和Green三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、第一、二类曲线积分与曲面积分的概念与计算；2、GreenGauss公式和Stokes3、梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念及应用；4、微分形式的外微分及其应用．（二）教学手段四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）一、学习目的6二、课程内容§6.1二元函数掌握二元函数概念，二重极限，累次极限，二重极限与累次极限的关系，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值．§6.2偏导数与全微分偏导数﹑方向导数﹑梯度与全微分的概念；函数的偏导数﹑方向导数﹑梯度﹑及其计算．§6.3多元复合函数求导法则偏导数；一阶全微分的形式不变性．§6.4偏导数与在几何中的应用空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用．§6.5Lagrange乘数法Lagrange算；条件极值在几何﹑不等式及其它实际问题中的应用．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、偏导数和高阶偏导数；2、全微分的意义及其几何意义；3、微分、偏导数与连续三者之间的关系；4、隐函数的导数；5、无条件极值与条件极值的求法．（二）教学手段四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）阅读书目（或参考文献）[1].陈纪修於崇华金路编著，数学分析：上下册（第二版育出版社，2004[2].裴礼文著，数学分析中的典型问题和方法，高等教育出版