《矩形的性质和判定》同步练习与答案

..矩形的性质和判定一．填空题1．如图,矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD边于点E,点F是CD的中点,连接EF．若AB=8,且EF平分∠BED,则AD的长为．题1题3题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是．4．如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E．若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为．5．如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE．若BC=7,AE=4,则CE=．题5题6题76．如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF=cm．7．如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,还要添加条件,才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使四边形ABCD为矩形,则需添加的条件为〔填一个即可．题8题11题129．已知四边形ABCD为平行四边形,要使得四边形ABCD为矩形,则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框,长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框〔填"合格"或"不合格"11．如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请补充一个条件,使四边形ABCD成为矩形,这个条件是．12．如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件,使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图,在▱ABCD中,∠BAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,∠F=45°．〔1求证：四边形ABCD是矩形；〔2若AB=14,DE=8,求sin∠AEB的值．14．如图,AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点,延长DO到E,使OE=OD,连接AE,CE．〔1求证：四边形ADCE的是矩形；〔2若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积．15．如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,F为DC上一点,且FC=AB,E为AD上一点,EC交AF于点G．〔1求证：四边形ABCF是矩形；〔2若EA=EG,求证：ED=EC．16．如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E点,延长BC至F点使CF=BE,连接AF,DE,DF．〔1求证：四边形AEFD是矩形；〔2若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长．17．平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF,AF．〔1求证：四边形BFDE是矩形；〔2若AF平分∠BAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题〔共12小题1．如图,矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD边于点E,点F是CD的中点,连接EF．若AB=8,且EF平分∠BED,则AD的长为12．[分析]根据两直线平行,内错角相等求出∠AEB=∠EBC,再求出∠ABE=∠EBC,根据等角对等边可得AE=AB,然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．[解答]解：∵矩形ABCD中,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵∠ABC的平分线交AD边于点E,∴∠ABE=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE=8,同理得出ED=DF=DC=4,∴AD=AE+ED=8+4=12,故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是80°．[分析]因为两条对角线相交所成的锐角只有一个,直接应用三角形的内角和定理求解即可．[解答]解：由矩形的对角线相等且互相平分,所构成的三角形为等腰三角形,利用等边对等角,所以另一底角为40°,两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图,在矩形ABCD中,AB=,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是．[分析]根据四边形ABCD是矩形,得到∠ABE=∠BAD=90°,根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB,根据相似三角形的性质得到BE=1,求得BC=2,根据勾股定理得到AE==,BD==,根据三角形的面积公式得到BF==,过F作FG⊥BC于G,根据相似三角形的性质得到CG=,根据勾股定理即可得到结论．[解答]解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABE=∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AFB=90°,∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°,∴∠BAE=∠ADB,∴△ABE∽△ADB,∴,∵E是BC的中点,∴AD=2BE,∴2BE2=AB2=2,∴BE=1,∴BC=2,∴AE==,BD==,∴BF==,过F作FG⊥BC于G,∴FG∥CD,∴△BFG∽△BDC,∴==,∴FG=,BG=,∴CG=,∴CF==．故答案为：．4．如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E．若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为．[分析]由AAS证明△ABM≌△DEA,得出AM=AD,证出BC=AD=3EM,连接DM,由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在Rt△ABM中,由勾股定理得出方程,解方程即可．[解答]解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC=1,∠B=∠C=90°,AD∥BC,AD=BC,∴∠AMB=∠DAE,∵DE=DC,∴AB=DE,∵DE⊥AM,∴∠DEA=∠DEM=90°,在△ABM和△DEA中,,∴△ABM≌△DEA〔AAS,∴AM=AD,∵AE=2EM,∴BC=AD=3EM,连接DM,如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中,,∴Rt△DEM≌Rt△DCM〔HL,∴EM=CM,∴BC=3CM,设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在Rt△ABM中,由勾股定理得：12+〔2x2=〔3x2,解得：x=,∴BM=；故答案为：．5．如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE．若BC=7,AE=4,则CE=5．[分析]首先证明AB=AE=CD=4,在Rt△CED中,根据CE=计算即可．[解答]解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB=CD,BC=AD=7,∠D=90°,∴∠AEB=∠EBC,∵∠ABE=∠EBC,∴AB=AE=CD=4,在Rt△EDC中,CE===5．故答案为56．如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF=2.5cm．[分析]根据勾股定理求出AC,根据矩形性质得出∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD,求出BD、OD,根据三角形中位线求出即可．[解答]解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD,∵AB=6cm,BC=8cm,∴由勾股定理得：BD=AC==10〔cm,∴DO=5cm,∵点E、F分别是AO、AD的中点,∴EF=OD=2.5cm,故答案为：2.5．7．如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,还要添加AC⊥BD条件,才能保证四边形EFGH是矩形．[分析]根据三角形的中位线平行于第三边,HG∥BD,EH∥AC,根据平行线的性质∠EHG=∠1,∠1=∠2,根据矩形的四个角都是直角,∠EFG=90°,所以∠2=90°,因此AC⊥BD．[解答]解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点,∴HG∥BD,EH∥AC,∴∠EHG=∠1,∠1=∠2,∴∠2=∠EHG,∵四边形EFGH是矩形,∴∠EHG=90°,∴∠2=90°,∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD,才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使四边形ABCD为矩形,则需添加的条件为∠DAB=90°〔填一个即可．[分析]根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形,添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．[解答]解：可以添加条件∠DAB=90°,∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠DAB=90°,∴四边形ABCD是矩形,故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形,要使得四边形ABCD为矩形,则可以添加一个条件为∠BAD=90°．[分析]根据矩形的判定方法：已知平行四边形,再加一个角是直角填空即可．[解答]解：∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,故答案为：∠BAD=90°〔答案不唯一．10．木匠做一个矩形木框,长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框合格〔填"合格"或"不合格"[分析]只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方,如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形,由此可得到每个角都是直角,根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形,可得此桌面合格．[解答]解：解：∵802+602=10000=1002,即：AD2+DC2=AC2,∴∠D=90°,同理：∠B=∠BCD=90°,∴四边形ABCD是矩形,故答案为合格．11．如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请补充一个条件,使四边形ABCD成为矩形,这个条件是∠A=90°．[分析]根据有一个角是90°的平行四边形是矩形,即可解决问题．[解答]解：∵AB∥DC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴当∠A=90°时,四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．〔填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以12．如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件EB=DC,使四边形DBCE是矩形．[解答]解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴DE∥BC,又∵DE=AD,∴DE=BC,∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC,∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题〔共6小题13．如图,在▱ABCD中,∠BAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,∠F=45°．〔1求证：四边形ABCD是矩形；〔2若AB=14,DE=8,求sin∠AEB的值．[分析]〔1欲证明四边形ABCD是矩形,只需推知∠DAB是直角；〔2如图,过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中,由勾股定理得．在Rt△AHB中,BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．[解答]〔1证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°,∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线,∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形．〔2解：如图,过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠DCB=∠D=90°．∵AB=14,DE=8,∴CE=6．在Rt△ADE中,∠DAE=45°,∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中,由勾股定理得．在Rt△AHB中,∠HAB=45°,∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中,∠BHE=90°,∴sin∠AEB=．14．如图,AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点,延长DO到E,使OE=OD,连接AE,CE．〔1求证：四边形ADCE的是矩形；〔2若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积．[分析]〔1根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形,根据垂直推出∠ADC=90°,根据矩形的判定得出即可；〔2求出DC,根据勾股定理求出AD,根据矩形的面积公式求出即可．[解答]〔1证明：∵点O是AC中点,∴AO=OC,∵OE=OD,∴四边形ADCE是平行四边形,∵AD是等腰△ABC底边BC上的高,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形；〔2解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高,BC=16,AB=17,∴BD=CD=8,AB=AC=17,∠ADC=90°,由勾股定理得：AD===15,∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,F为DC上一点,且FC=AB,E为AD上一点,EC交AF于点G．〔1求证：四边形ABCF是矩形；〔2若EA=EG,求证：ED=EC．[分析]〔1由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形,再由∠B=90°可证得结论；〔2利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC,再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD,可证得ED=EC．[解答]证明：〔1∵AB∥CD,且FC=AB,∴四边形ABCF为平行四边形,∵∠B=90°,∴四边形ABCF是矩形；〔2∵EA=EG,∴∠EAG=∠EGA=∠FGC,∵四边形ABCF为矩形,∴∠AFC=∠AFD=90°,∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°,∴∠D=∠ECD,∴ED=EC．16．如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E点,延长BC至F点使CF=BE,连接AF,DE,DF．〔1求证：四边形AEFD是矩形；〔2若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长．[分析]〔1先证明四边形AEFD是平行四边形,再证明∠AEF=90°即可．〔2证明△ABF是直角三角形,由三角形的面积即可得出AE的长．[解答]〔1证明：∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC．即EF=BC．∵在▱ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；〔2解：∵四边形AEFD是矩形,DE=8,∴AF=DE=8．∵AB=6,BF=10,∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF,∴△ABF的