应力分析与应变分析课件

应力分析与应变分析§1.1应力与点的应力状态§1.2点的应力状态分析§1.3应力张量的分解与几何表示§1.4应力平衡微分方程§1.5应变与位移关系方程§1.6点的应变状态§1.7应变增量§1.8应变速度张量§1.9主应变图与变形程度表示应力分析与应变分析§1.1应力与点的应力状态1§1.1

应力与点的应力状态外力(load)与内力(internalforce)

外力P：施加在变形体上的外部载荷。

内力Q：变形体抗衡外力机械作用的体现。

§1.1应力与点的应力状态2应力（stress）应力S是内力的集度内力和应力均为矢量应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。应力（stress）3应力可以进行分解Sn

n、n（n—normal,法向）

某截面（外法线方向为n）上的应力：

或者（求和约定的缩写形式）

全应力(stress)正应力(normalsress)剪应力(shearstress)应力可以进行分解Snn、n（n—norma4一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等情况。一点的应力状态的描述：数值表达：x=50MPa，xz=35MPa图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图1-2）

张量表达：(i,j=x,y,z)

（对称张量，9个分量，6个独立分量。）一点的应力状态及应力张量一点的应力状态及应力张量5

应力分量图示图1-2平行于坐标面上应力示意图

应力分量图示图1-2平行于坐标面上应力示意图6应力的分量表示及正负符号的规定ij

xx、xz……（便于计算机应用）

i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外法线方向平行的坐标轴)j——应力分量本身作用的方向当i=j时为正应力i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）当i≠j时为剪应力i、j同号为正，异号为负

应力的分量表示及正负符号的规定7应力的坐标变换（例题讲解）*

实际应用：晶体取向、织构分析等应力莫尔圆**：

二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）应力的坐标变换（例题讲解）*8§1.2点的应力状态分析§1.2.1主应力及应力张量不变量§1.2.2主剪应力和最大剪应力§1.2.3八面体应力与等效应力§1.2点的应力状态分析§1.2.1主应力及应力张量不9

§1.2.1

主应力及应力张量不变量

设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力均为零）的存在，可得应力特征方程：

§1.2.1主应力及应力张量不变量10应力不变量式中应力不变量式中11讨论：

1.可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；2.三个主平面是相互正交的；3.三个主应力均为实根，不可能为虚根；4.应力特征方程的解是唯一的；5.对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性；6.应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性变形无关。7.应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。

讨论：

1.可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的12主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材）主应力的图示

主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材）13§1.2.2主剪应力和最大剪应力主剪应力(principalshearstress)：极值剪应力（不为零）平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。最大剪应力(maximunshearstress)：

通常规定：则有最大剪应力：或者：其中：且有：§1.2.2主剪应力和最大剪应力通常规定：则有最大剪应力：14§1.2.3八面体应力与等效应力

即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。这组截面的方向余弦为：

正应力剪应力

总应力八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。§1.2.3八面体应力与等效应力15八面体应力的求解思路：因为八面体应力的求解思路：因为16等效应力

讨论：1.等效的实质？是（弹性）应变能等效（相当于）。2.什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效3.如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。4.等效的意义？屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。等效应力17§1.3应力张量的分解与几何表示

(i,j=x,y,z)其中即平均应力，为柯氏符号。

即

§1.3应力张量的分解与几何表示18讨论：

分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。为引起形状改变的偏应力张量(deviatoricstresstensor)，为引起体积改变的球张量(sphericalstresstensor)（静水压力）。与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：

（体现变形体形状改变的程度）讨论：（体现变形体形状改变的程度）19§1.4应力平衡微分方程直角坐标下的应力平衡微分方程*

即（不计体力）

物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。§1.4应力平衡微分方程的关系。对弹性变形和塑性变形均适用20

推导原理：静力平衡条件：

静力矩平衡条件：泰勒级数展开：

推导原理：21圆柱坐标下的应力平衡微分方程

球坐标下的应力平衡微分方程？

圆柱坐标下的应力平衡微分方程22§1.5应变与位移关系方程§1.5.1几何方程§1.5.2变形连续方程§1.5应变与位移关系方程§1.5.1几何方程23

§1.5.1

几何方程

§1.5.1几何方程24讨论：1.物理意义：表示位移(displacement)与应变(strain)之间的关系；2.位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（平动和转动）；3.工程剪应变理论剪应变：

讨论：254.应变符号规定：正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。4.应变符号规定：26§1.5.2变形连续方程§1.5.2变形连续方程27讨论：

1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。讨论：28§1.6

点的应变状态

指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化情况。可表示为张量形式：

应变张量（straintensor）也可进行与应力张量类似的分析。(i,j=x,y,z)§1.6点的应变状态(i,j=x,y,z)29§1.7应变增量

全量应变与增量应变的概念前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称作全量应变增量应变张量§1.7应变增量

全量应变与增量应变的概念30§1.8应变速度张量设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移速度。代入增量应变张量，有：令即为应变速率张量§1.8应变速度张量设某一瞬间起dt时间内，产生位移31§1.9主应变图与变形程度表示主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主变形图只可能有三种形式§1.9主应变图与变形程度表示主变形图是定性判断塑性变形类32主应力、主应变图示：主应力—9种；主应变—3种[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？]主应力、主应变图示：33变形程度表示绝对变形量——指工件变形前后主轴方向上尺寸的变化量相对变形——指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率真实变形量——即变形前后尺寸比值的自然对数变形程度表示绝对变形量34应力应变分析的相似性与差异性相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似

应力应变分析的相似性与差异性35

差异性：概念：应力研究面元ds上力的集度应变研究线元dl的变化情况内部关系：应力—应力平衡微分方程应变—应变连续（协调）方程弹性变形：相容方程塑性变形：体积不变条件

差异性：36等效关系：等效应力—弹性变形和塑性变形表达式相同等效应变—弹性变形和塑性变形表达式不相同对于弹性变形：（——泊松比）对于塑性变形：等效关系：37应力分析与应变分析§1.1应力与点的应力状态§1.2点的应力状态分析§1.3应力张量的分解与几何表示§1.4应力平衡微分方程§1.5应变与位移关系方程§1.6点的应变状态§1.7应变增量§1.8应变速度张量§1.9主应变图与变形程度表示应力分析与应变分析§1.1应力与点的应力状态38§1.1

应力与点的应力状态外力(load)与内力(internalforce)

外力P：施加在变形体上的外部载荷。

内力Q：变形体抗衡外力机械作用的体现。

§1.1应力与点的应力状态39应力（stress）应力S是内力的集度内力和应力均为矢量应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2

1MPa=106N/m2应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。应力（stress）40应力可以进行分解Sn

n、n（n—normal,法向）

某截面（外法线方向为n）上的应力：

或者（求和约定的缩写形式）

全应力(stress)正应力(normalsress)剪应力(shearstress)应力可以进行分解Snn、n（n—norma41一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等情况。一点的应力状态的描述：数值表达：x=50MPa，xz=35MPa图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图1-2）

张量表达：(i,j=x,y,z)

（对称张量，9个分量，6个独立分量。）一点的应力状态及应力张量一点的应力状态及应力张量42

应力分量图示图1-2平行于坐标面上应力示意图

应力分量图示图1-2平行于坐标面上应力示意图43应力的分量表示及正负符号的规定ij

xx、xz……（便于计算机应用）

i——应力作用面的外法线方向(与应力作用面的外法线方向平行的坐标轴)j——应力分量本身作用的方向当i=j时为正应力i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）当i≠j时为剪应力i、j同号为正，异号为负

应力的分量表示及正负符号的规定44应力的坐标变换（例题讲解）*

实际应用：晶体取向、织构分析等应力莫尔圆**：

二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书）应力的坐标变换（例题讲解）*45§1.2点的应力状态分析§1.2.1主应力及应力张量不变量§1.2.2主剪应力和最大剪应力§1.2.3八面体应力与等效应力§1.2点的应力状态分析§1.2.1主应力及应力张量不46

§1.2.1

主应力及应力张量不变量

设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力均为零）的存在，可得应力特征方程：

§1.2.1主应力及应力张量不变量47应力不变量式中应力不变量式中48讨论：

1.可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；2.三个主平面是相互正交的；3.三个主应力均为实根，不可能为虚根；4.应力特征方程的解是唯一的；5.对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性；6.应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性变形无关。7.应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。

讨论：

1.可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的49主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材）主应力的图示

主应力的求解（略，见彭大暑《金属塑性加工力学》教材）50§1.2.2主剪应力和最大剪应力主剪应力(principalshearstress)：极值剪应力（不为零）平面上作用的剪应力。主应力空间的｛110｝面族。最大剪应力(maximunshearstress)：

通常规定：则有最大剪应力：或者：其中：且有：§1.2.2主剪应力和最大剪应力通常规定：则有最大剪应力：51§1.2.3八面体应力与等效应力

即主应力空间的｛111｝等倾面上的应力。这组截面的方向余弦为：

正应力剪应力

总应力八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。§1.2.3八面体应力与等效应力52八面体应力的求解思路：因为八面体应力的求解思路：因为53等效应力

讨论：1.等效的实质？是（弹性）应变能等效（相当于）。2.什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效3.如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。4.等效的意义？屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。等效应力54§1.3应力张量的分解与几何表示

(i,j=x,y,z)其中即平均应力，为柯氏符号。

即

§1.3应力张量的分解与几何表示55讨论：

分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。为引起形状改变的偏应力张量(deviatoricstresstensor)，为引起体积改变的球张量(sphericalstresstensor)（静水压力）。与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：

（体现变形体形状改变的程度）讨论：（体现变形体形状改变的程度）56§1.4应力平衡微分方程直角坐标下的应力平衡微分方程*

即（不计体力）

物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。§1.4应力平衡微分方程的关系。对弹性变形和塑性变形均适用57

推导原理：静力平衡条件：

静力矩平衡条件：泰勒级数展开：

推导原理：58圆柱坐标下的应力平衡微分方程

球坐标下的应力平衡微分方程？

圆柱坐标下的应力平衡微分方程59§1.5应变与位移关系方程§1.5.1几何方程§1.5.2变形连续方程§1.5应变与位移关系方程§1.5.1几何方程60

§1.5.1

几何方程

§1.5.1几何方程61讨论：1.物理意义：表示位移(displacement)与应变(strain)之间的关系；2.位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（平动和转动）；3.工程剪应变理论剪应变：

讨论：624.应变符号规定：正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。4.应变符号规定：63§1.5.2变形连续方程§1.5.2变形连续方程64讨论：

1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。讨论：65§1.6