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文档简介
2023高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.2.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为A. B.C.2 D.3.已知数列满足,(),则数列的通项公式()A. B. C. D.4.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.5.关于函数,下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数一个递增区间为C.函数的图像关于直线对称D.将函数图像向左平移个单位可得函数的图像6.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知,,,,.若实数,满足不等式组,则目标函数()A.有最大值,无最小值 B.有最大值,有最小值C.无最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值8.已知数列的前n项和为,,且对于任意,满足,则()A. B. C. D.9.tan570°=()A. B.- C. D.10.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.11.若复数z满足,则()A. B. C. D.12.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.将函数的图象向左平移个单位长度,得到一个偶函数图象,则________.14.在中,,,,则________,的面积为________.15.某校高三年级共有名学生参加了数学测验(满分分),已知这名学生的数学成绩均不低于分,将这名学生的数学成绩分组如下:,,,,,,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法中正确的是________(填序号).①;②这名学生中数学成绩在分以下的人数为;③这名学生数学成绩的中位数约为;④这名学生数学成绩的平均数为.16.在边长为的菱形中,点在菱形所在的平面内.若,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0018.(12分)已知是等腰直角三角形,.分别为的中点,沿将折起,得到如图所示的四棱锥.(Ⅰ)求证:平面平面.(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大值时,求平面与平面所成角的正弦值.19.(12分)在如图所示的多面体中,平面平面,四边形是边长为2的菱形,四边形为直角梯形,四边形为平行四边形,且,,(1)若分别为,的中点,求证:平面;(2)若,与平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数只有一个零点,求正实数的值.21.(12分)已知函数,.(Ⅰ)判断函数在区间上零点的个数,并证明;(Ⅱ)函数在区间上的极值点从小到大分别为,,证明:22.(10分)已知函数,其中为实常数.(1)若存在,使得在区间内单调递减,求的取值范围;(2)当时,设直线与函数的图象相交于不同的两点,,证明:.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【答案解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.2.A【答案解析】
准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a关系,可求双曲线的离心率.【题目详解】设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径,为圆心.,又点在圆上,,即.,故选A.【答案点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.3.A【答案解析】
利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可.【题目详解】数列满足:,,可得以上各式相加可得:,故选:.【答案点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力.4.D【答案解析】
由题知,又,代入计算可得.【题目详解】由题知,又.故选:D【答案点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.5.B【答案解析】
化简到,根据定义域排除,计算单调性知正确,得到答案.【题目详解】,故函数的定义域为,故错误;当时,,函数单调递增,故正确;当,关于的对称的直线为不在定义域内,故错误.平移得到的函数定义域为,故不可能为,错误.故选:.【答案点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.6.C【答案解析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.7.B【答案解析】
判断直线与纵轴交点的位置,画出可行解域,即可判断出目标函数的最值情况.【题目详解】由,,所以可得.,所以由,因此该直线在纵轴的截距为正,但是斜率有两种可能,因此可行解域如下图所示:由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选:B【答案点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题,考查了数形结合思想,考查了不等式的性质应用.8.D【答案解析】
利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可.【题目详解】当时,.所以数列从第2项起为等差数列,,所以,,.,,.故选:.【答案点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.9.A【答案解析】
直接利用诱导公式化简求解即可.【题目详解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故选:A.【答案点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,主要考查诱导公式的应用,属于基础题.10.C【答案解析】
确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【题目详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【答案点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.11.D【答案解析】
先化简得再求得解.【题目详解】所以.故选:D【答案点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.D【答案解析】
由可得,O在AB的中垂线上,结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上,从而可求.【题目详解】因为,所以O在AB的中垂线上,即O在两个圆心的连线上,,,三点共线,所以,得,故选D.【答案点睛】本题主要考查圆的性质应用,几何性质的转化是求解的捷径.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【答案解析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称,进而利用特殊值构造方程,从而求得结果.【题目详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象,即关于轴对称关于对称即:本题正确结果:【答案点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题,关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴,进而利用特殊值的方式来进行求解.14.【答案解析】
利用余弦定理可求得的值,进而可得出的值,最后利用三角形的面积公式可得出的面积.【题目详解】由余弦定理得,则,因此,的面积为.故答案为:;.【答案点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积的计算,考查计算能力,属于基础题.15.②③【答案解析】
由频率分布直方图可知,解得,故①不正确;这名学生中数学成绩在分以下的人数为,故②正确;设这名学生数学成绩的中位数为,则,解得,故③正确;④这名学生数学成绩的平均数为,故④不正确.综上,说法正确的序号是②③.16.【答案解析】
以菱形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系,再设,根据求出的坐标,进而求得即可.【题目详解】解:连接设交于点以点为原点,分别以直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则:设得,解得,,或,显然得出的是定值,取则,.故答案为:.【答案点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解向量数量积的有关问题,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),,,;(2)【答案解析】
(1)根据第1组的频数和频率求出,根据频数、频率、的关系分别求出,进而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根据分层抽样原则,分别从抽出2人,2人,1人,并按照所在组对抽出的5人编号,列出所有2名负责人的抽取方法,得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数,由古典概型概率公式,即可求解.【题目详解】(1),,,由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为:(2)因为第3、4、5组共有50名学生,所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生,每组分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取2人,2人,1人设第3组的3位同学为、,第4组的2位同学为、,第5组的1位同学为,则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下:,,,,,,,,,,其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法,故所求的概率为.【答案点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率,属于基础题.18.(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【答案解析】
(I)证明平面得出平面,根据面面垂直的判定定理得到结论;(II)当平面时,棱锥体积最大,建立空间坐标系,计算两平面的法向量,计算法向量的夹角得出答案.【题目详解】(I)证明:分别为的中点,,又平面平面,又平面平面平面(II),为定值当平面时,三棱锥的体积取最大值以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系则,设平面的法向量为,则即,令可得平面是平面的一个法向量平面与平面所成角的正弦值为【答案点睛】本题考查了面面垂直的判定,二面角的计算,关键是能够根据体积的最值确定垂直关系,从而可以建立起空间直角坐标系,利用空间向量法求得二面角,属于中档题.19.(1)见解析(2)【答案解析】试题分析:(1)第(1)问,转化成证明平面,再转化成证明和.(2)第(2)问,先利用几何法找到与平面所成角,再根据与平面所成角的正弦值为求出再建立空间直角坐标系,求出二面角的余弦值.试题解析:(1)连接,因为四边形为菱形,所以.因为平面平面,平面平面,平面,,所以平面.又平面,所以.因为,所以.因为,所以平面.因为分别为,的中点,所以,所以平面(2)设,由(1)得平面.由,,得,.过点作,与的延长线交于点,取的中点,连接,,如图所示,又,所以为等边三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因为为平行四边形,所以,所以平面.又因为,所以平面.因为,所以平面平面.由(1),得平面,所以平面,所以.因为,所以平面,所以是与平面所成角.因为,,所以平面,平面,因为,所以平面平面.所以,,解得.在梯形中,易证,分别以,,的正方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.则,,,,,,由,及,得,所以,,.设平面的一个法向量为,由得令,得m=(3,1,2)设平面的一个法向量为,由得令,得.所以又因为二面角是钝角,所以二面角的余弦值是.20.(1)证明见解析;(2).【答案解析】
(1)把转化成,令,由题意得,即证明恒成立,通过导数求证即可(2)直接求导可得,,令,得或,故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【题目详解】证明:(1)令,则.分析知,函数的增区间为,减区间为.所以当时,.所以,即,所以.所以当时,.解:(2)因为,所以.讨论:①当时,,此时函数在区间上单调递减.又,故此时函数仅有一个零点为0;②当时,令,得,故函数的增区间为,减区间为,.又极大值,所以极小值.当时,有.又,此时,故当时,函数还有一个零点,不符合题意;③当时,令得,故函数的增区间为,减区间为,.又极小值,所以极大值.若,则,得,所以,所以当且时,,故此时函数还有一个零点,不符合题意.综上,所求实数的值为.【答案点睛】本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题,本题的难点在于把导数化成因式分解的形式,如,进而分类讨论,本题属于难题21.(Ⅰ)函数在区间上有两个零点.见解析(Ⅱ)见解析【答案解析】
(Ⅰ)根据题意,,利用导函数研究函数的单调性,分类讨论在区间的单调
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