（渝皖琼）2019学年高中数学 第一章 立体几何初步章末复习学案 北师大版2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE19学必求其心得，业必贵于专精第一章立体几何初步章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识。2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的直观图,能计算几何体的表面积与体积．1．空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S直棱柱侧＝Ch,C为底面的周长，h为高V＝Sh棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S正棱锥侧＝eq\f(1,2)Ch′，C为底面的周长，h′为斜高V＝eq\f（1，3)Sh，h为高棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分S正棱台侧＝eq\f（1，2）(C＋C′）h′，C，C′为底面的周长,h′为斜高V＝eq\f(1，3）(S上＋S下＋eq\r（S上S下）)h，h为高旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝2πrh，r为底面半径,h为高V＝Sh＝πr2h圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧＝πrl，r为底面半径，h为高，l为母线V＝eq\f（1，3）Sh＝eq\f(1,3）πr2h圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分S侧＝π（r1＋r2）l，r1，r2为底面半径，l为母线V＝eq\f（1，3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f（1,3）π(req\o\al（2,1）＋req\o\al(2,2）＋r1r2)h球以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体S球面＝4πR2，R为球的半径V＝eq\f(4，3)πR32．空间几何体的直观图（1）斜二测画法:主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤:①画轴；②画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段:平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．（2)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．②等积变换，如三棱锥转移顶点等．③复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等．3．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．4．直线与直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（平行,相交））,异面直线:不同在任何一个平面内，没有公共点))5．平行的判定与性质(1）直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅aα,b⊈α，a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b（2）面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβ结论α∥βα∥βa∥ba∥α(3)空间中的平行关系的内在联系6．垂直的判定与性质(1）直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的任意直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m,nα,m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α,bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b（2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（lβ，l⊥α))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1（α⊥β,α∩β＝a,lβ,l⊥a))⇒l⊥α（3)空间中的垂直关系的内在联系7．空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角）．②范围：设两异面直线所成角为θ，则0°〈θ≤90°。(2)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．②二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面,若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n。（×)2．已知a，b是两异面直线,a⊥b，点P∉a且P∉b，一定存在平面α，使P∈α，a∥α且b∥α.(√）3．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是垂直．(√）4．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径．（√）5．若m,n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则nα或n∥α。（√)类型一平行问题例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB,PB＝2MA。在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置;若不存在，请说明理由．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题解当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝eq\f（1，2)PB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OF∥PD.又OF⊈平面PMD，PD平面PMD,∴OF∥平面PMD。又MA∥PB，MA＝eq\f(1,2)PB，∴PF∥MA，PF＝MA.∴四边形AFPM是平行四边形．∴AF∥PM.又AF⊈平面PMD,PM平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD。反思与感悟(1）证明线线平行的依据①平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行）；②公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理；⑤线面垂直的性质定理．（2)证明线面平行的依据①定义；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质．(3)证明面面平行的依据①定义；②面面平行的判定定理；③线面垂直的性质；④面面平行的传递性．跟踪训练1如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2eq\r（17）.点G，E，F，H分别是棱PB,AB，CD，PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH。(1)证明：GH∥EF；（2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1）证明因为BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH,所以GH∥BC。同理可证EF∥BC，因此GH∥EF。（2）解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K,连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD。又BD∩AC＝O，且AC,BD平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD。又因为平面GEFH⊥平面ABCD，所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线，所以PO平行于这条垂线，且PO⊈平面GEFH，所以PO∥平面GEFH。又因为平面PBD∩平面GEFH＝GK,PO平面PBD，所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD。又EF平面ABCD，所以GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝eq\f(1，4)BD＝eq\f(1，2)OB，即K是OB的中点．再由PO∥GK得GK＝eq\f（1,2）PO，所以G是PB的中点,且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由已知可得OB＝4eq\r（2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r（68－32）＝6，所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝eq\f(GH＋EF,2）·GK＝eq\f（4＋8,2）×3＝18。类型二垂直问题例2如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC,E是PC的中点．证明:(1)CD⊥AE;（2）PD⊥平面ABE。考点直线与平面垂直的判定题点直线与平面垂直的证明证明（1）在四棱锥P－ABCD中,∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD,∴PA⊥CD。∵AC⊥CD,PA∩AC＝A，PA,AC平面PAC,∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2）由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA。∵E是PC的中点，∴AE⊥PC。由（1）知,AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，∴AE⊥PD。∵PA⊥底面ABCD，AB底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA,AD平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB,AE平面ABE,∴PD⊥平面ABE。反思与感悟(1)两条异面直线相互垂直的证明方法①定义；②线面垂直的性质．（2）直线和平面垂直的证明方法①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理．（3)平面和平面相互垂直的证明方法①定义；②面面垂直的判定定理．跟踪训练2如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1。（1)求证：平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；（2）求证：BC1⊥AB1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1）设BC的中点为M，∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC平面ABC，∴B1M⊥AC。又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，B1M，BC平面B1C1CB，∴AC⊥平面B1C1CB。又∵AC平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB。(2)连接B1C。∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中,∵BC＝CC1。∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1。又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1。类型三空间角问题例3如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M,N分别是A1B1,BC,C1D1和B1C1的中点．（1）求证：平面MNF⊥平面ENF;（2)求二面角M－EF－N的正切值．考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直（1）证明连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN。又∵M，E均为所在棱的中点，∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形．∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°,∴∠MNE＝90°,∴MN⊥NE,又NE∩NF＝N,∴MN⊥平面NEF.而MN平面MNF，∴平面MNF⊥平面ENF.（2)解在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG。由(1）知MN⊥平面NEF，又EF平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG。∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角．设该正方体的棱长为2，在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF，EF)＝eq\f（2\r(3),3),∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f（MN，NG)＝eq\f(\r（2)，\f(2\r（3)，3))＝eq\f(\r（6),2).∴二面角M－EF－N的正切值为eq\f(\r(6),2).反思与感悟(1)面面垂直的证明要化归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法；（2)找二面角的平面角的方法有以下两种：①作棱的垂面;②过一个平面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线．跟踪训练3如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝eq\r（2),⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．（1)证明：平面POD⊥平面PAC;(2)求二面角B－PA－C的余弦值．考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直(1）证明连接OC.∵PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O,∴AC⊥PO。∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又∵OD∩PO＝O，∴AC⊥平面POD。又∵AC平面PAC,∴平面POD⊥平面PAC。(2）解在平面POD内，过点O作OH⊥PD于点H。由(1）知，平面POD⊥平面PAC，又平面POD∩平面PAC＝PD，∴OH⊥平面PAC.又∵PA平面PAC,∴PA⊥OH.在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，连接HG，则有PA⊥平面OGH,∴PA⊥HG.故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．∵C是的中点，AB是直径，∴OC⊥AB.在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝eq\f(\r（2）,2）.在Rt△POD中,OH＝eq\f(PO·OD，PD)＝eq\f（PO·OD，\r(PO2＋OD2））＝eq\f(\r（2)×\f（\r(2）,2)，\r（2＋\f（1，2）)）＝eq\f（\r(10)，5）.在Rt△POA中，OG＝eq\f(PO·OA,PA)＝eq\f（PO·OA，\r（PO2＋OA2）)＝eq\f（\r（2)×1，\r（2＋1））＝eq\f(\r（6),3)。在Rt△OHG中，sin∠OGH＝eq\f(OH,OG）＝eq\f（\f（\r（10),5），\f（\r(6），3）)＝eq\f(\r(15),5).∴cos∠OGH＝eq\r(1－sin2∠OGH)＝eq\r（1－\f(15，25))＝eq\f(\r（10),5).故二面角B－PA－C的余弦值为eq\f(\r（10）,5）.1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台 B．②是圆台C．③是棱锥 D．④不是棱柱考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案C解析图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥，图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故选C.2．设m，n是两条不同的直线,α，β,γ是三个不同的平面,给出下列四个说法：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ,m∥α,则m∥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确说法的序号是（）A．①B．②③C．③④D．①④考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案A解析②如果mγ，则m不平行于γ；③若m∥α，n∥α,则m,n相交，平行或异面，④若α⊥γ,β⊥γ，则α,β相交或平行．3．正方体的8个顶点中，有4个为每个面都是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（)A．1∶eq\r（2）B．1∶eq\r（3)C．2∶eq\r(2）D．3∶eq\r（6)考点题点答案B解析设正方体棱长为a，S正方体表面积＝6a2，正三棱锥侧棱长为eq\r(2)a，则三棱锥表面积为S三棱锥表面积＝4×eq\f(\r（3)，4）×2a2＝2eq\r(3)a2。∴eq\f（S三棱锥表面积，S正方体表面积)＝eq\f（2\r(3)a2,6a2）＝eq\f（1，\r（3)）.4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f（\r(3）,2）,那么原△ABC是一个(）A．等边三角形B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案A解析由图形，知在原△ABC中,AO⊥BC。∵A′O′＝eq\f(\r（3），2）,∴AO＝eq\r（3）。∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2,AB＝AC＝2，∴△ABC为等边三角形．故选A.5。如图,在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O,M分别为AB，VA的中点．(1）求证：VB∥平面MOC；(2）求证：平面MOC⊥平面VAB。考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明（1）因为O，M分别为AB,VA的中点,所以OM∥VB.又因为VB⊈平面MOC，OM平面MOC,所以VB∥平面MOC.（2）因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB。又因为平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又因为OC平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB。1。转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路,其关系为一、选择题1．给出下列说法中正确的是（)A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．棱柱的底面一定是平行四边形D．棱锥的底面一定是三角形考点多面体的结构特征题点多面体的结构特征答案A解析平行于棱柱底面的平面可以把棱柱分成两个棱柱,故A正确;三棱柱的底面是三角形,故C错误；底面是矩形的平行六面体的侧面不一定是矩形,故它也不一定是长方体,故B错误；四棱锥的底面是四边形,故D错误．故选A.2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为(）A．6 B．3eq\r(2)C．6eq\r（2) D．12答案D解析由斜二测画法规则可知，△OAB为直角三角形，且两直角边长分别为4和6，故面积为12.3．下列说法正确的是（)A．经过空间内的三个点有且只有一个平面B．如果直线l上有一个点不在平面α内,那么直线上所有点都不在平面α内C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台考点线、面关系的综合问题题点线、面关系的其他综合问题答案C解析在A中,经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面,故A错误；在B中，如果直线l上有一个点不在平面α内,那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面α内,故B错误;在C中,如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故C正确；在D中，用一个平行于底面的平面去截棱锥,得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台,故D错误．故选C。4．设α－l－β是二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a,b与l均不垂直，则(）A．a与b可能垂直也可能平行B．a与b可能垂直，但不可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系的判定答案A解析∵α－l－β是二面角,直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a,b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故B与D不正确；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l与已知矛盾，若二面角不是直二面角,则a，b可以垂直，且满足条件，故C不正确；∴a与b有可能垂直,也有可能平行，故选A。5．在空间中,a，b是不重合的直线,α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是(）A．aα，bβ,α∥β B．a∥α，bαC．a⊥α，b⊥α D．a⊥α，bα考点直线与平面垂直的性质题点应用线面垂直的性质定理判定线线平行答案C解析对于A,若aα，bβ,α∥β，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面；对于B，若a∥α，bα，则a与b没有公共点，即a与b平行或异面;对于C，若a⊥α，b⊥α,由线面垂直的性质定理,可得a∥b;对于D,若a⊥α，bα，则由线面垂直的定义可得a⊥b,故选C.6．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术:置如其周，令相乘也,又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq\f（7，264)L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（)A。eq\f(157，50)B。eq\f(25，8)C.eq\f(23,7）D.eq\f(22,7）考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案D解析设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，∴r＝eq\f(L，2π),∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f（L2h，12π）。令eq\f(L2h，12π）＝eq\f（7，264)L2h，得π＝eq\f(22,7），故选D.7．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(）A.eq\f（\r（2),6)B.eq\f（\r(3)，6)C.eq\f（\r（2)，3)D。eq\f(\r（2），2)答案A解析由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1,如图所示，S△ABC＝eq\f(\r（3)，4）×AB2＝eq\f(\r（3),4),高OD＝eq\r（12－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3),3))）2)＝eq\f（\r(6),3）,∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2×eq\f（1,3)×eq\f（\r（3）,4）×eq\f（\r(6)，3）＝eq\f（\r(2）,6）。8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中,若AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2），则二面角C1－BD－C的大小为(）A．30°B．45°C．60°D．90°考点二面角题点知题作角答案A解析如图,连接AC交BD于点O，连接OC1。因为AB＝AD＝2eq\r(3),所以AC⊥BD,又易知BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥OC1，所以∠COC1为二面角C1－BD－C的一个平面角．因为在△COC1中，OC＝eq\r（6)，CC1＝eq\r(2），所以tan∠COC1＝eq\f(\r（3），3)，所以二面角C1－BD－C的大小为30°.二、填空题9．圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为________．考点题点答案a，2a解析如图，画出圆台轴截面,由题设，得∠OPA＝30°,AB＝2a，设O1A＝r,PA＝x，则OB＝2r，x＋2a＝4r，且x＝2r,∴a＝r，即两底面圆的半径分别为a,2a。10.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________．考点直线与平面平行的性质题点与性质有关的计算问题答案eq\f(a2，4）解析在平面VAC内作直线PD∥AC，交VC于D,在平面VBA内作直线PF∥VB，交AB于F，过点D作直线DE∥VB，交BC于E，连接EF.∴PF∥DE，∴P，D，E,F四点共面，且面PDEF与VB和AC都平行，则四边形PDEF为边长为eq\f（1，2)a的正方形，故其面积为eq\f(a2,4）.11。如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案eq\r(5)∶2解析由题意,两个矩形的对角线长分别为5，2eq\r（5)，所以cosα＝eq\f（5,\r（25＋4)）＝eq\f(5，\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5），\r(29))，所以cosα∶cosβ＝eq\r（5）∶2。三、解答题12．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点,P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为eq\r(29）.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;（2)PC和NC的长．考点多面体表面上绕线最短距离问题题点棱柱体表面上绕线最短距离问题解(1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，所以对角线的长为eq\r(42＋92）＝eq\r（97)。（2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示．设PC的长为x，则MP2＝MA2＋(AC＋x）2.因为MP＝eq\r(29），MA＝2，AC＝3,所以x＝2（负值舍去)，即PC的长为2。又因为NC∥AM,所以eq\f（PC,PA）＝eq\f（NC，AM)，即eq\f(2，5)＝eq\f（NC,2)，所以NC＝eq\f(4，5).13．如图所示，在几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC。(1)求几何体ABCDFE的体积;(2）证明：平面ADE∥平面BCF.考点题点（1)解取BC的中点为O，ED的中点为G，连接AO，OF，FG，AG.∵AO⊥BC,AO平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC＝BC，∴AO⊥平面BCED。同理FG⊥平面BCED。∵AO＝FG＝eq\r（3)，∴VA