高一上学期数学微专题训练-函数单调性的应用讲义(一)

PAGE3函数单调性的应用(一)构造函数比较大小一般地，在不等式中若同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,x)))′；(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；(5)f′(x)－f(x)→eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,ex)))′.例、(1)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝f（e）/e，b＝f(ln2)/ln2，c＝f(-3)/(-3)，则a，b，c的大小关系正确的是()A．a＜b＜c B．b＜c＜aC．a＜c＜b D．c＜a＜b(2)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))满足f′(x)·cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) B．eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))C.eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＞eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) D．eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))解、(1)设g(x)＝f(x)/x，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则g′(x)＜0，即函数g(x)在x∈(0，＋∞)时为减函数．由函数y＝f(x)为奇函数知f(－3)＝－f(3)，∵a＝g(e)，b＝g(ln2)，c＝g(3)且3＞e＞ln2，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，即c＜a＜b，故选D.(2)设g(x)＝f(x)/cosx，则g′(x)＝eq\f(1＋lnx,cos2x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).令g′(x)＝0得x＝eq\f(1,e)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))时g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，\f(π,2)))时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增．∵eq\f(1,e)＜eq\f(π,6)＜eq\f(π,4)＜eq\f(π,3)＜eq\f(π,2)，∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，即eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))),\f(1,2))＞eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))),\f(\r(2),2))＞eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),\f(\r(3),2))，化简得eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，eq\r(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＞eq\r(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，故选B.eq\a\vs4\al([跟进训练])已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立，则()A．4f(1)＜f(2) B．4f(1)＞f(2)C．f(1)＜4f