（江苏专用版 ）2019学年高中数学 学业分层测评13 平摆线与圆的渐开线 苏教版选修4-4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE3学必求其心得，业必贵于专精学业分层测评(十三）平摆线与圆的渐开线(建议用时：45分钟）［学业达标］1．求平摆线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t－sint,,y＝1－cost)）（0≤t＜2π)与直线y＝1的交点的直角坐标．【解】由题意知，y＝1－cost＝1，∴cost＝0，∴sint＝1，∴t＝2kπ＋eq\f（π,2)(k∈Z)，又∵0≤t＜2π，∴t＝eq\f（π，2)。∴x＝eq\f（π,2)－1.∴交点的直角坐标为（eq\f（π，2）－1，1)．2．已知圆的渐开线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ＋φsinφ，,y＝rsinφ－φcosφ））（φ为参数，0≤φ＜2π）上有一点的坐标为(3，0)，求渐开线对应的基圆的面积．【解】把已知点（3，0)代入参数方程得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝rcosφ＋φsinφ，，0＝rsinφ－φcosφ，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(φ＝0，,r＝3.)）所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π。3．已知摆线的生成圆的直径为80mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．【解】因为摆线的生成圆的半径r＝40mm，所以此摆线的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝40t－sint，，y＝401－cost.))它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm),拱高为2r＝2×40＝80(mm）．4．抛物线y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．【解】抛物线方程可化为(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ）,所以其顶点的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ,,y＝3sinθ,））普通方程为eq\f(x2，16）＋eq\f（y2,9）＝1。5．已知椭圆eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝5cosθ，,y＝4sinθ）)(θ为参数）,F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不在x轴上的一点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程．【解】F1(－3,0）、F2（3，0)，设P(5cosθ，4sinθ)、G（x，y),所以G的轨迹方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5cosθ，3)，,y＝\f（4sinθ，3)））(θ为参数，sinθ≠0)．6．如图4­4。9，已知半圆x2＋y2＝1(y≥0)，定点A（－2,0)，设B为圆上一动点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心,求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线．【导学号：98990040】图4。4­9【解】设轨迹上任意一点为P(x，y)，又设D(x0，y0)，∠xOB＝θ(0≤θ≤π),则B（cosθ,sinθ)，eq\o(AB,\s\up6(→）)＝(cosθ＋2，sinθ)，eq\o（AD，\s\up6（→））＝（x0＋2,y0)．由eq\o(AB,\s\up6（→））⊥eq\o(AD,\s\up6（→））且|eq\o（AB,\s\up6(→）)｜＝｜eq\o(AD,\s\up6（→))｜,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(cosθ＋2x0＋2＋y0sinθ＝0,，cosθ＋22＋sin2θ＝x0＋22＋y\o\al（2，0)。))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x0＝－sinθ－2,,y0＝cosθ＋2.)）因为P是BD的中点，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（cosθ－sinθ－2,2)＝\f(\r（2),2)cosθ＋\f（π,4)－1，,y＝\f（cosθ＋sinθ＋2，2）＝\f（\r(2）,2）sinθ＋\f（π,4）＋1)）(0≤θ≤π）．消去θ,得点P的轨迹方程是（x＋1）2＋（y－1）2＝eq\f（1，2)（－eq\f（2＋\r(2），2)≤x≤－eq\f(1,2)，eq\f（1,2)≤y≤eq\f（2＋\r(2)，2））,它表示以（－1，1)为圆心，eq\f(\r(2)，2）为半径的半圆的一部分．7．如图4。4.10所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位）为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程．图4­4。10【解】当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为（2α，2),向量eq\o(OB,\s\up6（→)）＝(2α，2)，向量eq\o（MB,\s\up6(→)）＝（2sinα，2cosα)，eq\o(BM，\s\up6（→））＝（－2sinα，－2cosα)，因此eq\o（OM，\s\up6（→）)＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝（2α－2sinα,2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2（1－cosα））．动点M的坐标为（x，y)，向量eq\o(OM，\s\up6（→）)＝（x，y),所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2α－sinα,,y＝21－cosα。)）这就是所求摆线的参数方程．[能力提升］8．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．【解】以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量eq\o（OM0,\s\up6(→））的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记eq\o（OA，\s\up6(→）)和x轴正向所夹的角为θ（以弧度为单位），则AM＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线,由三角函数和向量知识，得eq\o（OA，\s\up6（→)）＝(4cosθ,4sinθ)．由几何知识知∠MAB＝θ，eq\o（AM，\s\up6(→））＝(4θsinθ，－4θcosθ)，得eq\o（OM，\s\up6（→）)＝eq\o(OA，\s\up6（→）)＋eq\o(AM，\s\up6（→））＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝