相似三角形的判定讲义全

相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1:如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定定理2:两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等"；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF^AE于点F。（1）求证：aABEsaDFA;（2）若AB=6,AD=12,AE=10，求DF的长。变式练习：1、如图，变式练习：1、如图，DE//BC,EF//AB,则图中相似的三角形一共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）A、有一个角是40°两个等腰三角形 B、两个等腰直角三角形C、有一个角为100°的两个等腰三角形 D、两个等边三角形例2已知：如图，在四边形ABCD中，/B=/ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=71,求2AD的长。变式练习:1、如图，在4ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定aABCsaAED的是（）1、如图，在4ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定aABCsaAED的是（）A、ZAED=/BB、/ADE=/CaADACC、 = AEABD、2、已知，P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC,M是CD的中点，求证:△ADM^AMCPoB pC（第2题）ADAEABAC变式练习:例3如图，小正方形的边长为1,则下列选项中的三角形（阴影部分）与MBC相似的是（）1、在4ABC和aA'B'C'中，AB=3cm,BC=6cm,CA=5cm,AB'=3cm,B'C'=2.5cm,ACz=1.5cm,则下列说法中，错误的是（）A、4ABC与aA'B'0'相似B、AB与A'B'是对应边 C、相似比为2：1D、AB与A'C'是对应边2、网格图中每个方格都是边长为12、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：MBCsaDEFo（二）判定定理的运用例4如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC,过点E作直线EF交AB于点F。当EF与CE满足什么条件时，4AEF与4DCE相似？并说明理由。变式练习:1、如图，在4ABC中，/ADE=/C,则下列等式成立的是（ ）八ADAB AEADA、=——B、——=——八ADAB AEADA、=——B、——=——ABAC BCBDC、DE_AE

BC-AD、DE_AD

BC-AB第3题第1题 第2题2、如图，/ABD=/C,AB=5,AD=3.5,则AC=。3、如图，D是AC上一点，BE//AC,BE=AD,AE分别交BD、80于点F、G,/1=/2。求证：FD2=FG-FE.反馈练习基础夯实1、如图，ADLBC于点D,CELAB于点E交AD于点F,则图中与4AEF相似的三角形的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个D（第1题）B C（第2题）即 1（第3题）D（第1题）B C（第2题）即 1（第3题）RDD（第4题）（第5题）2、如图，在RtaABC中，/ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则CE的长为（）A、B、D、23、如图，4ABC中，AB=AC,/A=36°,BD平分/ABC,3、如图，4ABC中，AB=AC,/A=36°CD;③BC2=AC・CD;④AD：DC=AB：BC,其中正确的结论有（A、A、1个B、2个C、3个D、4个4、A、/ABD=/ACBB、/4、A、/ABD=/ACBB、/ADB=/ABCC>AB2=AD-ACD、ADABAB

B如下图，下列条件不能判定aADBs^ABC的是（）5、A、△ADC^AACBB>ABDC^ABCAC>AADC^ACDBD、无相似三角形6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（）A、/A=60°,AB=5cm,AC=10cm；/A'=60°,A'B'=3cm,AC=10cmB、/A=45°,AB=4cm5、A、△ADC^AACBB>ABDC^ABCAC>AADC^ACDBD、无相似三角形6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（）A、/A=60°,AB=5cm,AC=10cm；/A'=60°,A'B'=3cm,AC=10cmB、/A=45°,AB=4cm,BC=6cm；/D=45°,DE=2cm,DF=3cmC、/C=/E=30°,AB=8cm,BC=4cm；DF=6cm,FE=3cmD、/A=/A'，且AB・A'C’=AC・A'B’7、如图，已知AB^BD,ED1BD,C是线段BD的中点，且AC^CE,ED=1,BD=4,那么AB=8、如图，在DABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E,BP//DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形第7题第8题第9题第10题第11题如图，在aABC中，D是AB上一点，且AC2=AD-AB,则9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,/ADE=60°,则AE的长为。10、如图，在4ABC中，D是ABA边上一点，连接CD，要使4ADC与4ACB相似，应添加的条件是 。(写出一个即可)11、如图，在MBC中，CDLAB,垂足为D,下列条件中，能证明MBC是直角三角形的有①/A+/B=90°;②AB2=AC2+BC2；③AC=CD；@CD2=AD-BDOABBD12、如图，已知，/ACB=/ABD=90°,BC=6,AC=8,当BD=图中的两个直角三角形相似。13、如图，/1=/2,/B=/D,AB=DE=5,BC=4。(1)求证：aABCsaADE;(2)求AD的长。14、如图，4ABC中，CD是边AB上的高，且AD=CD。CDBD(1)求证：aACDsaCBD;(2)求/ACB的大小。15、如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm,AB=130cm。球目前在点E的位置，AE=60cm,如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置。(1)求证：△BEFsaCDF;(2)求CF的长。

AFAF16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与^AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。能力提升17、如图，在直角梯形能力提升17、如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,/C=90°,/BDA=90则下列等式成立的是（）,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,AD=c,A、A、b2=ac B、b2=ceC、be=ac D、bd=aeDdB第17题第18题DdB第17题第18题D第19题18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从点A出发到点B为止，动点E从点C出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与^ABC相似时，运动的时间是（）A、3秒或4.8秒B、3秒C、4.5秒D、4.5秒或4.8秒19、如图，D是等边4ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2,现将4ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）A3456A、一B、一C、一D、一456720、如图，4AOB是直角三角形，/AOB=90°,OB=2OA,点A在反比例函数y=1的图像上，若点B在反x比例函数y=-的图像上，则k的值为（ ） A、-4 B、4C、-2D、2x第20题 第21题 第22题21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A（4,0）,B（0,2）,如果点C在x轴上（点C与点A不重合），当点C的坐标为时，使得以点B、O、C为顶点的三角形与4AOB相似。22、已知，如图，DABCD的对角线相交于点O,点E在边BC上延长线上，且OE=OB,连接DE。求证：（1）DE1BE;（2）如果OE^CD,求证：△CEDsaDEB。23、如图，在DABCD中，过点A作AE^BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且/AFE=/B°(1)求证：△ADFsaDEC;(2)若AB=8,AD=6<3,AF=4,3，求AE的长。24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足,或 ，两个直角三角形相似”；“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。已知：如图， 。求证：RtaABCsRtaA'B'C'。25、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF1AE,EF分别交AC、CD于点M、F,BG^AC,垂足为G,BG交AE于点H。(1)求证：△ABEsaECF;(2)找出与^ABH相似的三角形，并证明；(3)若E是BC中点，BC=2AB,AB=2,求EM的长。思维拓展26、如图1,直线AB分别与两坐标轴将于点A(4,0),B(0,8),点C的坐标为(2,0)。(1)求直线AB的解析式；(2)在线段AB上有一动点P。①如图2,过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F,若矩形OEPF的面积为6,求点P的坐标;②连接CP,是否存在点P,使4ACP与^AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm,AB=acm(a>3)。动点M、N同时从点B出发，分别沿"/运动，速度是1cm/s。过点M作直线垂直于AB,分别交AN、CD于点P、Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。(1)若a=4cm，t=1s，则PM=cm；(2)连接PD、PB,若a=5cm,求运动时间t,命名△PNBs^PAD,并求出它们的相似比；(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围。参考答案反馈练习基础夯实1、C 2、B3、D4、D5、A6、D 1、C 2、B3、D4、D5、A6、D 7、48>ADCF^AEBF9、710、ADACAC

A11、①②④15-4012、二或二2 313、(1)25T14、(1)略(2)90°15、(1)16916、上5或2.<5

5 5能力提高能力提高17、17、A18、A19、聚源里歌普工式箱黯僦对苣蒸丽演技；ZEDF=ZC=600,CE=]聚源里歌普工式箱黯僦对苣蒸丽演技；ZEDF=ZC=600,CE=]相等的两三角相相似可得△AEDS21EDK所以