八年级上册11三角形内角课件(人教版)

第十一章

三角形11.2.1三角形的内角第十一章

三角形11.2.1三角形的内角1教学目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）3.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）4.掌握直角三角形的判定.（难点）5.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）教学目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用新课导入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.情境引入新课导入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的新课导入我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？新课导入我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180新课导入三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.一、三角形的内角和定理的证明新课导入三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果∵∠AOB=∠COD，(两直线平行，内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，内错角相等)为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB∴∠A=∠1.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？三角形内角和等于180°∠A+∠B=90°.问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？掌握直角三角形的判定.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∵∠DFB+∠BFC=180°，在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.新知探究验证结论三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)

∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12∵∠AOB=∠COD，新知探究验证结论三角形三个内角的和等于新知探究证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12新知探究证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，CBAED新知探究CBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)

∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？新知探究CBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.新知探究思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mCBA12新知探究思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什新知探究知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线新知探究知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的新知探究例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.二、三角形的内角和定理的运用新知探究例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,新知探究【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，

求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.新知探究【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，新知探究例2如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.新知探究例2如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D新知探究基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.总结归纳4新知探究基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠∴∠B=∠1.了解直角三角形两个锐角的关系.例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，∵∠A+∠B=90°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，=180°-60°-30°=90°.∠AED+∠EDF=180°，思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.=180°-60°-30°=90°.∴∠A+∠D=90°，=42°．解：∵∠A+∠ADE=180°，∠A+∠AED=180°,∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.∠A+∠AED=180°,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB新知探究例3

在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋

15)°，从而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，

33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.∴∠B=∠1.新知探究例3在△ABC中，∠A的度数是新知探究【变式题】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE，即可求得∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.新知探究【变式题】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠A新知探究解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.新知探究解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，新知探究②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是_________三角形.

练一练：①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°新知探究②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△新知探究北.AD北.CB.东E例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.新知探究北.A北.CB.东E例4如图，C岛在A岛的北偏新知探究解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.北.AD北.CB.东E新知探究解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-5新知探究【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.解：如图，由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°，

∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC

=180°-55°-40°=85°．DE新知探究【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在新知探究问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°问题引导三、直角三角形的两个锐角互余新知探究问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之新知探究问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A

+∠B+∠C=90°,即∠A

+∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？新知探究问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐新知探究ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A

+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以写成Rt△ABC．总结归纳新知探究ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：直角三∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.几何问题借助方程来解.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．∠DBE=90°-∠BED.我的形状最大，那我的内角和最大.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）比例关系可考虑用方程思想求角度.解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求∴∠A=∠1.∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.与图有哪些共同点与不同点？已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，∴∠ACE＝×90°＝45°，我的形状最大，那我的内角和最大.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠EBA=∠BAD=40°，新知探究方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？图典例精析┐┐∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.新知探究方法一新知探究解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与

∠C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？┐新知探究解：∠A=∠C.理由如下：（2）如图，∠B=∠D=新知探究例2

如图，∠C=∠D=90°,AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中,

∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.新知探究例2如图，∠C=∠D=90°,AD，BC相交于新知探究解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠BDF=90°，∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？┐┐新知探究解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E【变式题】如图，新知探究思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D总结归纳┐┐┐新知探究思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？新知探究问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.四、有两个角互余的三角形是直角三角形BCA新知探究问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在△新知探究ABC应用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.

总结归纳新知探究ABC应用格式：有两个角互余的三角形是直角三角形.新知探究典例精析例3

如图，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE((12解：是.理由：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2,∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.新知探究典例精析例3如图，∠C=90°,∠1=∠新知探究例4

如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.新知探究例4如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△A课堂小结三角形的内角和定理证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内角和等于180°直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余判定有两个角互余的三角形是直角三角形课堂小结三角形的证明了解添加辅助线的方法及其目的内容三角形内从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.=180°-60°-30°=90°.【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.三角形内角和等于180°如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=___.(两直线平行,内错角相等)∴∠A=∠1.∴∠EBA=∠BAD=40°，如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？所以3x＝99，x＋15＝48.∴∠A+∠B+∠ACB=180°.=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°又∵∠CFD＝∠AFE，了解添加辅助线的方法及其目的为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠ACE＝×90°＝45°，解：在Rt△ACE中，于是△ABC是直角三角形.课堂小测1.求出下列各图中的x值．x=70x=60x=30x=50从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛课堂小测2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°课堂小测2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=________课堂小测3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）=180°-（78°+60°）=42°．课堂小测3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠A课堂小测4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.解：∵∠B=42°，∠C=78°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.课堂小测4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，课堂小测5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=

（∠ABC+∠ACB）=60°．∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠BPC=180°-60°=120°．拓展课堂小测5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠课堂小测6.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.90°7.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A=___.52°第1题图第2题图直角三角形8.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________.课堂小测6.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形课堂小测9.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠BB．∠AC．∠BCD和∠AD．∠BCDC课堂小测9.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°第十一章

三角形11.2.1三角形的内角第十一章

三角形11.2.1三角形的内角42教学目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）3.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）4.掌握直角三角形的判定.（难点）5.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）教学目标2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）1.会用新课导入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的内角和最大.不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.情境引入新课导入我的形状最小，那我的内角和最小.我的形状最大，那我的新课导入我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?折叠还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？新课导入我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180新课导入三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.一、三角形的内角和定理的证明新课导入三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果∵∠AOB=∠COD，(两直线平行，内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，内错角相等)为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB∴∠A=∠1.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？三角形内角和等于180°∠A+∠B=90°.问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？掌握直角三角形的判定.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∵∠DFB+∠BFC=180°，在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.新知探究验证结论三角形三个内角的和等于180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等)

∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12∵∠AOB=∠COD，新知探究验证结论三角形三个内角的和等于新知探究证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12新知探究证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，CBAED新知探究CBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等)

∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想：同学们还有其他的方法吗？新知探究CBAEDF证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.新知探究思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.CAB12345lACB12345lP6mCBA12新知探究思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什新知探究知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.思路总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.作辅助线新知探究知识要点在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的新知探究例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.ABCD解：由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.二、三角形的内角和定理的运用新知探究例1如图，在△ABC中，∠BAC=40°,新知探究【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，

求∠EDC，∠BDC的度数．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.新知探究【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，新知探究例2如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.新知探究例2如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D新知探究基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.总结归纳4新知探究基本图形由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠∴∠B=∠1.了解直角三角形两个锐角的关系.例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，∵∠A+∠B=90°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，=180°-60°-30°=90°.∠AED+∠EDF=180°，思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.=180°-60°-30°=90°.∴∠A+∠D=90°，=42°．解：∵∠A+∠ADE=180°，∠A+∠AED=180°,∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.∠A+∠AED=180°,∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB新知探究例3

在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解:设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋

15)°，从而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，

33°，48°.几何问题借助方程来解.这是一个重要的数学思想.∴∠B=∠1.新知探究例3在△ABC中，∠A的度数是新知探究【变式题】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE，即可求得∠DCE的度数．比例关系可考虑用方程思想求角度.新知探究【变式题】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠A新知探究解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.新知探究解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，新知探究②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是_________三角形.

练一练：①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,则∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°新知探究②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△新知探究北.AD北.CB.东E例4如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.新知探究北.A北.CB.东E例4如图，C岛在A岛的北偏新知探究解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.北.AD北.CB.东E新知探究解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-5新知探究【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.解：如图，由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，∠CAD=15°，∠EBC=80°，∴∠EBA=∠BAD=40°，

∠BAC=40°+15°=55°,∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC

=180°-55°-40°=85°．DE新知探究【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在新知探究问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之和为多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°问题引导三、直角三角形的两个锐角互余新知探究问题1：如下图所示是我们常用的三角板,两锐角的度数之新知探究问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A

+∠B+∠C=90°,即∠A

+∠B=90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？新知探究问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐新知探究ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A

+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC

可以写成Rt△ABC．总结归纳新知探究ABC直角三角形的两个锐角互余．应用格式：直角三∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.几何问题借助方程来解.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．∠DBE=90°-∠BED.我的形状最大，那我的内角和最大.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）比例关系可考虑用方程思想求角度.解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求∴∠A=∠1.∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.与图有哪些共同点与不同点？已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，∴∠ACE＝×90°＝45°，我的形状最大，那我的内角和最大.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠EBA=∠BAD=40°，新知探究方法一（利用平行的判定和性质）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性质）：∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？图典例精析┐┐∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.新知探究方法一新知探究解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与

∠C有什么关系？请说明理由.图与图有哪些共同点与不同点？┐新知探究解：∠A=∠C.理由如下：（2）如图，∠B=∠D=新知探究例2

如图，∠C=∠D=90°,AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，

∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中,

∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.新知探究例2如图，∠C=∠D=90°,AD，BC相交于新知探究解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E∴∠BEA=∠BDF=90°，∴∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠DFB=90°.∴∠A=∠DFB.∵∠DFB+∠BFC=180°，∴∠A+∠BFC=180°.【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？┐┐新知探究解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E【变式题】如图，新知探究思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？基本图形∠A=∠C∠A=∠D总结归纳┐┐┐新知探究思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？新知探究问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，又∠A+∠B=90°，所以∠C=90°.于是△ABC是直角三角形.四、有两个角互余的三角形是直角三角形BCA新知探究问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如图，在△新知探究ABC应用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有两个角互余的三角形是直角三角形.

总结归纳新知探究ABC应用格式：有两个角互余的三角形是直角三角形.新知探究典例精析例3

如图，∠C=90°,∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ACBDE((12解：是.理由：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2,∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.新知探究典例精析例3如图，∠C=90°,∠1=∠新知探究例4

如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A