初中数学华东师大九年级上册图形的相似相似三角形的判定-利用角的关系导学(张)PPT

用两角对应相等判定两三角形相似判定两直角三角形相似我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应边是否成比例，对应角是否相等.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？1知识点用两角对应相等判定两三角形相似你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要的判定三角形全等的方法.

那么，对于相似三角形的判定，是否也存在类似的分类与判定方法呢？回顾我们在判断两个三角形全等时，使用了哪些方法？判定三角形相似是否有类似的方法？让我们先从最常见的三角尺开始.观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实是这样吗？如图23.3.6,任意画两个三角形（可以画在教科书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相等.用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看这两个三角形的边是否对应成比例.你能得出什么结论？和其他同学比较一下，你们的结论都相同吗？探索我们可以发现，此时它们的边对应成比例，于是这两个三角形相似.1、（1）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两

个三角形相似.

（2）已知:如图23.3.7，在△ABC和△

A

1

B1C1中，

∠A=∠A1,∠B=∠B1.

求证：△ABC∽△

A

1

B1C1.证明：

在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1，

过点D作BC的平行线交AC于点E,则

△ADE∽△ABC∵DE∥BC∴∠ADE=∠B.在△ADE与△A1B1C1

中，∵∠A=∠A1，∠ADE=∠B=∠B1，AD=A1B1,∴△ADE≌△A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.2、常见的相似三角形类型：(1)平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC.(2)相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC.(3)“子母”型：如图(3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如图(4)，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则

△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，可以称

为“K”型相似．

例1如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的

垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.导引：

要证△ABF∽△CAF，

∠AFB是公共角，只要再

找一对角相等即可，因为

∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可得△ABF∽△CAF.证明：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠3.∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，

∠1＝∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.总结当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角(或补角)等．如图所示的三个三角形中，相似的是(

)A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(1)和(3)D．(1)和(2)和(3)下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是(

)A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，

∠A－∠B＝∠A′－∠B′2知识点判定两直角三角形相似例2如图，在Rt△ABC和Rt△A′

B

′C′中，∠C

与

∠C′

都是直角，∠A=∠A′.

求证：△ABC

∽△A′B

′C′.证明：∵∠C=∠C′=90°.

∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′(两角分别相

等的两个三角形相似).B总结此时，把直角算在内，实际上有两对角对应相等此例告诉我们，两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.例3已知：如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为

BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：AC·CF＝BC·DF.导引：将待证的等积式化为比例式：横看：比例式的两

个分子有A，C，D，F四点，

不能构成三角形；竖看：比例式的左端构成△ABC，比例式的右端构成

△DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故需要找一

个中间比来联系证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，∴CE＝EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD.∴∠FDA＝∠ACD.又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD.∴∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD.即AC·CF＝BC·DF.总结“三点定形法”是证明线段等积式或比例式中找相似三角形的最常用且最有效的方法，它就是设法找出比例式或等积式中(或转化后的式子中)所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”确定的两个相似的三角形．而导引中“横看”与“竖看”是“三点定形法”找相似三角形的常用方法，要做到“一比两用”．1如图，在△ABC中，BD，CE是高，则与△BOE相似的三角形有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是(

)A．B．C．5D．6“三点定形