双曲线知识点总结例题

（二）双曲线知识点及巩固复习双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F，F为两定点，P为一动点，⑴若||PF|-|PF||二2a12120<2a<|FF|则动点P的轨迹是2a=|FF|则动点P的轨迹是2a=0则动点P的轨迹是若|PF|-|PF|=2a0<2a<|FF|则动点P的轨迹是,2a=|FF|则动点P的轨迹是,2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质2.双曲线的标准方程2.双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率。=范围e越大双曲线的开口越—e越小双曲线的开口越

“、'准线|PF厂渐近线焦半径公式|PF1|=(F1,F2分别为双曲线的左右两焦点，“、'准线|PF厂(1)焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率。=范围e越大双曲线的开口越—e越小双曲线的开口越—准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)12等轴双曲线：+-◎尹⑰特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直”土•③离心率为共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆V-1双曲线『的共轭双曲线是6.双曲线系,=1(1)共焦点的双曲线的方程为丘*一普(0<k<C2,C为半焦距)---^=2(2*0)(2)共渐近线的双曲线的方程为/例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支

考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：(x—4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆与双曲线厦b有相同的焦点七，F2,p是两条曲线的一个交点，则|PF」・IPF21【例2】若椭圆与双曲线厦b有相同的焦点七，F2,p是两条曲线的一个交点，则|PF」・IPF21的值是畋"印I若双曲线上有一点畋"印I若双曲线上有一点P,使最小，【例3】巳知双曲线927与点M(5,3),F为右焦点则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法TOC\o"1-5"\h\z—v9v9v9v9与双曲线a2—&2=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2—&2=t(t尹0);若双曲线的渐近线方程是y=±?x，则双曲线的方程可表示为X2—y2=t(t尹0)；③与双曲v9v9v9v9线a2—b2=1共焦点的方程可表示为a2—k—b2+k=1(—b2VkVa2)；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为X2+y2=1(mn<0)；_v9V，v9V，与椭圆X2+*=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2—入+b2—入=1(b2<入<a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.v9v9与双曲线9—16=1有共同的渐近线，且过点(一3，2)；与双曲线X2一乎=1有公共焦点，且过点(3,2).在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.

若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2+ny2=1(mn<0)，以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质c、双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程例5、(12分)双曲线C：x2-y2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若Cc、一..APPQ上存在一点P，使-•：=0，求此双曲线离心率的取值范围.例6、【活学活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线籍一样=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F、F，?为双曲线上一点，且|PF|=3|PF|，则该双曲线的离心率e的取值范围是1212【例7】直线,过双曲线亍"的右焦点，斜率k=2.若,与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是「1MC.克也炳后A.e「1MC.克也炳后A.e〉"-B.1<e<C.1<e<D.e>*【例8】设营为双曲线上的一点，耳坊是该双曲线的两个焦点，若|邸目®|二3土A珂旦6也，则f的面积为（）A.B12D.【评注】解题中发现^PFF是直角三角形，是事前12不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例9】过点（1，3）且渐近线为里的双曲线方程是*【评注】在双曲线“。中令/必ah即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求

<4-双曲线为“"，而无须考虑其实、虚轴的位置.*【评注】在双曲线“。中令/必ah即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄"1邓T将双曲线""的实、虚轴互易，所得双曲线方程为："厦.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.【例10【例10】两共轭双曲线的离心率分别为％设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：蛆一【例11】双曲线。的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）it=2x-lif=2x—2v=2jc—3v=2x+3A.B.C.D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：【例12】在双曲线2上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法:练习（2011安徽高考）双曲线2x2—y2=8的实轴长是（）2B.2C.4D.4x2y2（2011山东高考）已知双曲线a2—b2=1（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：X2+y2—6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）x2y2x2y2x2y2x2y2A.5—4=1B.4—5=1C.3—6=1D.6—3=1x2（2012嘉兴测试）如图，？是双曲线4—y2=1右支（在第一象限内）上的任意一点，A「A2分别是左、右顶点O是坐标原点，直线PA】POPA的斜率分别为k,k,k，则斜率之积kkk的取值范围是（）123A.(0,1)1B.(0,8)C.右顶点O是坐标原点，直线PA】POPA的斜率分别为k,k,k，则斜率之积kkk的取值范围是（）123A.(0,1)1B.(0,8)C.(014)1D.(0，2)4.（金榜预测）在平面直角坐标系xOy中x2已知AABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点B在双曲线16一y2.—sinB一，9=1上，则|sinA—sin^为(3A.22B.35C.44D.5?为双曲线9—16=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x—5%+y2=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9（2012南宁模拟）已知点F1,F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PF】％为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A.+1B.+1C.2D.2一-x2,y2方程2—m+|m|—3=1表示双曲线.那么m的取值范围是（2012大连测试）在双曲线4x2—y2=1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA|・|OB|=15，其中0为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是.x2y2b2+1双曲线a2—b2=1（a>0，b>0）的离心率是2，贝3a的最小值是10（2012肇庆模拟）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（—3,0），一条渐近线的方程是x—2y=0.（1）求双曲线C的方程；（2）若以k（k/0）为斜率的直线1与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两81坐标轴围成的三角形的面积为2,求k的取值范围.11.（文用）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），右顶点为（，0）.求双曲线C的方程；若直线：y=kx+m(k/0,m/0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,—1)，求实数m的取值范围.72112已知中心在原点，顶点％、％在x轴上，离心率e=*的双曲线过点P(6,6)(1)求双曲线方程-(2)动直线l经过△A1PA2的重MG，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线1,使G平分线段MN，证明你的结论•蛆-《=113.已知双曲线2，问过点A(1,1)能否作直线'，使'与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点?若存在，求出直线'的方程，若不存在，说明理由。乂=1丽=2物+鬲14已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线2于A、B两点，且'(1)求直线AB的方程;CU-^K=D(2)若过N的直线1交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？(二)双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离)，那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F,F为两定点，P为一动点，⑴若||PF|-|PF||二2a1212①0<2,<|叩2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是.2a=0则动点P的轨迹是⑵若|PF1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是.②2a=|F1F21则动点P的轨迹是.③2a=0则动点P的轨迹是双曲线的性质(1)焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率。=范围e越大双曲线的开口越—e越小双曲线的开口越—尸I'准线渐近线焦半径公式|PF」二|PF21=(F「F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)1(2)焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率。=范围e越大双曲线的开口越—e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=LEF2|=(F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)12等轴双曲线：/=脂尹特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直『=士*③离心率为共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线/胪的共轭双曲线是6.双曲线系=1共焦点的双曲线的方程为kk—k(0<k<C2,c为半焦距)——。=里◎正<0共渐近线的双曲线的方程为/考点1。双曲线的定义及应用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：(x—4)2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程【自主解答】设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|=r+，|MC2|=r—，

又Ci又Ci(-4,0)，C2(4,0)，・..|CC|=8，...2V|CC|.1212根据双曲线定义知，点M的轨迹是以2（-4,0）、C2（4,0）为焦点的双曲线的右支.・.・a=，c=4，.，.b2=c2—a2=14，.，.点M的轨迹方程是：W—12=1(xN).【例1】若椭圆m与双曲线有相同的焦点F1，F2【例1】若椭圆m与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF」・|PF21的值是A.Jm,:.lPKh\PR\=2jm【解析】椭圆的长半轴为(1)双曲线的实半轴为（1）七明4期糜=4伽-砰=|呻朋，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键.，【例2】巳知双曲线与点，【例2】巳知双曲线与点M（53）,F为右焦点，若双曲线上有一点P，使【分析】待求式中的是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F(6,0)，离心率*=f；jt=-右准线为'.作通*于匕交双曲线右支于P，|m|=e|ZW|=2^/W|=>|JfW|=-[FF|连FP，则.此时网y弓叮=叩1+拜1=1心|=5—普=?为最小qvt'V=3it?—12=^ic—-x=在中，令，得取.所求P点的坐标为(德3).考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法①与双曲线X2一枝=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为籍一b2=t(t尹0)；②若双曲线的渐近线方程是y=±?x，则双曲线的方程可表示为籍一样=t(t尹0)；③与双曲线a2_^2=1共焦点的方程可表示为aMk—b择k=1(—b2VkVa2)；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为X2+y2=1(mn<0)；与椭圆X2+*=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a北入+b2-入=1(b2<入<例2、求下列条件下的双曲线的标准方程.v9atD与双曲线9—16=1有共同的渐近线，且过点(一3,2)；与双曲线黑一籽=1有公共焦点，且过点(3,2).【自主解答】(1)解法一：经检验知双曲线焦点在x轴上，故设双曲线的方程为x2—y2=91,由题意，得=1,解得a2=4,b2=4,所以双曲线的方程为9一乎=1.(2)解法一：设双曲线方程为X2一枝=1,由题意易求c=2,又双曲线过点(3,2),.・.荔一TOC\o"1-5"\h\z4一..，、,x2v2b2=1.又・a2+b2=(2)2,..a2=12,b2=8.12—8=1.v991解法二：设所求双曲线方程为X2一官=入(入尹0)，将点(一3,2)代入得入=1.x2v219v2所以双曲线方程为9—16=4,即4—4=1.解法二：设双曲线方程为16，k—4早k=1,且16—k>0,4+k>0.将点(3,2)代入得k=4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为X2—V2=1.在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2+ny2=1(mn<0)，以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程v9v9...例3、(12分)双曲线C：a2—y2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,x轴上有一点Q(2a,0)，若C..APPQ上存在一点P,使-•：=0,求此双曲线离心率的取值范围.【规范解答】设P点坐标为(x,y),APPQ则由丫・M=0,得AP^PQ,即P点在以AQ为直径的圆上，・・.(x一新2+y2=(a)2.①又P点在双曲线上，得籍一枝=1.②(az+bz)X2—3asx+2a4—a2b2=0.即[(a2+b2)x—(2a3—ab2)](x—a)=0.6分2-3—ab2当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去当x=2新+骰2时，满足题意的P点存在，需TOC\o"1-5"\h\z2点一"66_x=a2+b2>a,化简得a2>2b2,即3a2>2c2,a<2.10分..•离心率e=a^(1,2).12分.....v9.例4、【活学活用】3.(2012北京期末检测)若双曲线a2—b2=1(a>0,b>0)的两个焦点\o"CurrentDocument"分别为F、F,?为双曲线上一点，且|PF|=3|PF|,则该双曲线的离心率e的取值范围是1212解析：依题意得|厢|顼倪寸隹1，c由此解得|PF2|=aNc—a，即cW2a,e=aW2,即该双曲线的离心率不超过2.又双曲线的离心率大于1,因此该双曲线的离心率e的取值范围是(1,2].【例5】直线,过双曲线b"的右焦点，斜率k=2.若,与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e的范围是

A.e瑚B.1<e〈石C.1<e〈后D.e〉右【分析【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为巳知直线的斜率为2,所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解.个交点分别在左右两支上.由•.•双曲线中*>'，故取e〉右.选D.【例6】设，为双曲线口上的一点，可马|=3：2A珂旦是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）R12D.个交点分别在左右两支上.由•.•双曲线中*>'，故取e〉右.选D.【例6】设，为双曲线口上的一点，可马|=3：2A珂旦是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）R12D.「gC.ff=l，&==rjB【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：•设;|耶|二现班|二"二|码|-班|=2a二%_r=2_于是同*网|土网WW八御，故知△PF1F2是直角三角形，匕F1PF「90°.Se二:网啊二海心二口.•.上上.选B.【评注】解题中发现^PFF是直角三角形，是事前12不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处.渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中.【例7】过点（1，3）且渐近线为上的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为4(1)竺【解析】设所求双曲线为4(1)竺点（1，3）代入：44.代入（1）：354JT3¥

习=亏35=1即为所求.【评注】在双曲线“。中/布"h即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求<4-双曲线为""，而无须考虑其实、虚轴的位置.【评注】在双曲线“。中共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄将双曲线""的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：°.将双曲线""的实、虚轴互易，所得双曲线方程为：°.这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用.考点5、直线与双曲线位置关系设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例：亍一"=1【例9】双曲线°的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）y=2x-lA.

V=2x—2B.

v=217-3C.

v=2x+3D.【解析】设弦的两端分别为用驴3）.则有:无+改二4.故直线的斜率•..弦中点为（2,1）,...L・',一1=2（jc—2）=>,=2jt—3.故直线的斜率则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.

但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看:亍-2=1【例10】在双曲线2上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法:【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（%，y1），B（x2,y2）.那么:=>（玉-叼）（玉4=>（玉-叼）（玉4■勺-!（野一hWm4■此）二。(1)•.•M（1，1）为弦AB的中点，代入（1）：2（玉-习）-皿-,卫）二。虹二芝号二2jr—1=2（x—1）,即v=2jc—1故存在符合条件的直线AB，其方程为：这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了：匕=1i=i其一：将点M（1，1）代入方程2，发现左式=1-22<1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所=2y=±JlxJ2-<2求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里BJ，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由—(2x-l)3=2=>2x2—4jt+3=0y=2x-A这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.右。壬jc=JC-必有此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.结论；不存在符合题设条件的直线.

练习1.（2011安徽高考）双曲线2x2—y2=8的实轴长是（）A.2B.2C.4D.4x2y2解析：2x2—y2=8化为标准形式：4—8=1,.，.a2=4..，.a=2..，.实轴长2a=4.x2y22.（2011山东高考）已知双曲线a2—b2=1（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：X2+y2—6x+5=0相x2y2A.5—4=x2y2A.5—4=1x2y2B.4—5=1x2y2x2y2C.3—6=1D.6—3=1A.（0,1）1（0，8）1（0，A.（0,1）1（0，8）1（0，4）1（0，2）y1解析：设P（x，y），收£（0，2），且x2—4=4y2（x>0，y>0），y3y1?,k1k2k3=x（x2-4=4x£（0，8）.x2y2b解析：由题意得，a2—b2=1（a>0,b>0）的两条渐近线方程为y=±ax，即bx土ay=0，又圆C的标准方程为：（x—3）2+y2=4，半径为2，圆心坐标为（3,0）.|3b|x2.•.a2+b2=32=9，且a2+b2=2，解得32=5，b2=4.「.该双曲线的方程为5—y24=1.x2（2012嘉兴测试）如图，？是双曲线4—y2=1右支（在第一象限内）上的任意一点，A1，%分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA，PO,PA的斜率分别为k，k，k，则斜率之积kkk的取值范围是（12123123x2（金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点B在双曲线16一y2,sinB,9=1上，^g|sinA-sin^为（）

2B.35C.44D.5解析：由题意得a=4,2B.35C.44D.5解析：由题意得a=4,b=3,c=5.A、C为双曲线的焦点，.・・||BC|—|BA||=8,|AC|=10.sinBAC由正弦定理得|sinA—sinC|=||BC—105BA||=8=4.?为双曲线9—16=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+y2M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x—5%+y2=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）解析：易知两圆圆心为七（一5,0）,七（5,0）.由双曲线方程知a=3,b=4,则c=5，故两圆心恰好为双曲线的两个焦点.|PM|—|PN|的最大值为如图所示的情况，即|PM|—|PN|W|PFi|+|FiM|一（|PF2|—|NF2|）=|PFi|+2—|PFj+1=2a+3=2X3+3=9.（2012南宁模拟）已知点F「F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若△PR%为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A.+1B.+1・.・只能是ZPF2・.・只能是ZPF2F1=90°,.|PF2|=|F1F2|=2c,解析：不妨设P点在双曲线的右支上，则|PF」—|PF2|=2a.•/△pf1F2是等腰直角三角形，••.|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,2.（2a+2c）2=2・（2c）2,即c2—2ac—a2=0,两边同除以a2,得e2—2e—1=0.•.•e>1,・.e=+1.x2,y2一方程2—m+|m|—3=1表示双曲线.那么m的取值范围是2—m>0,2—m<0,解析：注意分两种情况.一是实轴在x轴上，二是实轴在y轴上.依题意有|m|—3V0,或|m|—3>0,得m>3或一3<m<2.(2012大连测试)在双曲线4x2-y2=1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA|・|OB|=15，其中0为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是.解析：双曲线4x2-y2=1的两条渐近线方程为2x土y=0，设A(m,2m)，B(n,-2n),AB中点M(x,y),2m—2n,则,!Py=m—n,所以4x2-y2=4mn.由|0A|・|0B|=X=|m|x|n|=15，得|mn|=3，x2y2所以AB中点的轨迹方程是4x2-y2=±12，即3-12=±1.x2y2b2+1双曲线a2-b2=1(a>0，b>0)的离心率是2，贝3a的最小值是.cc2b2+13a2+1113解析：a=2与a2=4与a2+b2=4a2与3a2=b2，贝3a=3a=a+3aN23=3，133当a=3a，即a=3时取最小值3.10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0)，一条渐近线的方程是x-2y=0.求双曲线C的方程；若以k(k/0)为斜率的直线1与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两81坐标轴围成的三角形的面积为2,求k的取值范围.x2y2a2=4,解：(1)设双曲线C的方程为a2-b2=1(a>0，b>0)，由题设得5解得b2=5.所以双曲线C的方程为：x2y2(2)设直线1的方程为：4—5=1.y=kx+m(k/0)，一y2x2(kx+m则点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组=1,②得4—5=1，整理得(5—4k2)x2—8kmx—4m2—20=0.此方程有两个不等实根，于是5-4k2^0，且△=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)>0，整理得m2+5-4k2>0.③x1+x24km5m由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(xo，yo)满足x°=2=5—4k2,yo=kx0+m=5—4k2,5m14km从而线段MN的垂直平分线的方程为y—5—4k2=—k(x—5—4k2).此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为,9km、，9m_、1,9km,9m,81(5—4k2,0),(0,5—4k2)，由题设可得2|5—4k21・|5—4k21=2,(5—4k2(5—4k2整理得m2=|k|,k#0.将上式代入③式得|k|+5—4k2>0,55整理得(4k2—5)(4k2—|k|—5)>0,k^0,解得0<|k|<2或|k|>4.5555所以k的取值范围是(一8,—4)U(—2,0)U(0,2)U(4,+-).(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(，0).⑴求双曲线C的方程;(2)若直线：y=kx+m(k^0,m^0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,—1)，求实数m的取值范围.x2y2解：(1)设双曲线方程为a2—b2=1(a>0,b>0).由已知得a=,c=2.x2又a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的方程为3—y2=1.x2⑵联立一y2=1整理得，(1—3k2)x2—6kmx—3m2—3=0.1—3k2N0,•.•直线与双曲线有两个不同的交点，..・A=12(m2+1—3k21可得m2>3k2—1且k2#3.①设M(x,y),N(x,y),MN的中点为B(x,y),1122006kmx1+x23kmm则x1+x2=1—3k2,x°=2=1—3k2,y0=kx0+m=1—3k2.3km1由题意，AB±MN,V^=1—3k2=