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第一节不定积分的概念及其线性法则一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的线性运算法则四、小结定义：一、原函数与不定积分的概念1.原函数设

f(x)在区间

I内有定义，若存在可导函数

F(x)使对每一个

xI有

F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

，则称

F(x)为

f(x)在区间

I内的一个原函数.关于原函数有以下三个问题：1)f(x)满足什么条件,其原函数一定存在？2)若f(x)有原函数,原函数是否唯一？3)f(x)的全体原函数如何表示?原函数存在定理：

若f(x)在区间I内连续

,则在区间I内一定存在f(x)的原函数.简言之：连续函数一定有原函数

(证明见第六节).（2）若，则对于任意常数，（3）若和都是的原函数，则（为任意常数）

若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C.(C为任意常数）任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量2.不定积分的定义：例1

求例2

求例3

求例1

求解解例2

求解例3

求例4

设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为注：在求f(x)的所有原函数中,有时需要确定一个满足条件y(x0

)=y0

的积分曲线.即求通过点(x0

,y0)的积分曲线.这个条件一般称为初始条件,它可以唯一确定积分常数C的值.结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的.4.不定积分与微分(导数)的关系由此根据微分公式可得积分公式.实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基本积分表⑴(k

是常数);例求积分解根据积分公式（2）证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质及简单计算例1

求积分解

根据不定积分的运算性质和基本函数的积分公式,可计算简单函数的不定积分.例2

求积分解例3

求积分解例4

求积分解例5

求积分解例6

求积分解例7

求积分解例8

求积分解例9

求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.解所求曲线方程为例11

已知解例12

设解注意:1)导数是唯一的,但原函数不唯一.2)任一初等函数都可求导数,且导数一般也为初等函数,但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示.这些不定积分的原函数存在,但不能用初等函数来表示.3)不定积分与变量符号有关.基本积分表(1)不定积分的性质

原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结思考题符号函数在内是否存在原函数？为什么？思考题解答不存在.

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