二次函数y=a-b-c的图像与性质课件

二次函数y=ax2+bx+c图象和性质xyo二次函数y=ax2+bx+cxyo1

一般地，抛物线y=a(x-h)

+k与y=ax

的

相同，

不同22知识回顾：形状位置

y=ax2y=a(x-h)

+k2上加下减左加右减一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax2知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥0时，开口

，

当a﹤0时，开口

，向上向下

2.对称轴是

；3.顶点坐标是

。直线X=h(h,k)知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥3二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5

y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（-3，5）（1，-2）（3，7）（2，-6）你能说出二次函数y=—x－6x＋21图像的特征吗？212二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5y4探究:如何画出的图象呢?我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),

二次函数也能化成这样的形式吗?探究:如何画出的图象呢?5配方

y=—(x―6)+3212你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；(

2

)“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。配方6归纳二次函数y=

—x－6x

+21图象的画法：(1)“化”：化成顶点式；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212归纳二次函数y=—x－6x+21图象的(1)“化”7510510Oxyx…3456789……7.553.533.557.5…510510Oxyx…3456789……7.553.533.8画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同数量的点，一般取5－7个点即可。注意画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同9求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．

函数y=ax²+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号这个结果通常称为求顶点坐标公式.求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．函数y=10函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

1.

说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？11函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？12例1：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。

对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。例1：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y13方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容3方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容314二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐15图象的画法．步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。图象的画法．步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．16所以当x＝2时，。解法一（配方法）：例

当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？所以当x＝2时，。解法一（配方法）：例当x17因为所以当x＝2时，。因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，

总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：因为因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所18又例已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一：，

∴抛物线开口向下，

∴

对称轴是直线x＝－3，当

x＞－3时，y随x的增大而减小。

又例已知函数19解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x20例已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．例已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．21解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以22练习1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-2x2形状相同,且顶点坐标为(1,-5)的函数解析式为

.2、若抛物线y＝a(x-m)2+n的图象与函数y＝2x2的图象的形状相同,且顶点为(-3,2),则函数的解析式为

.

练习1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-2x233、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x2形状相同,但开口方向相反,且顶点坐标为(-1,5)的函数解析式为

.3、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x2形状244.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是（2，-3），求m，n的值。5.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？4.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是5.不画图象，说明25①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－

x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:小试牛刀3－9－6①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－26抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：

a＞0开口向上a＜0开口向下xy抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：27③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：①

c＞0＜＝＞图象与y轴交点在y轴正半轴；②

c=0＜＝＞图象过原点；xy③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。⑵c决定抛28⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:

对称轴是直线x=

①

a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧；②

b=0＜＝＞对称轴是y轴；③a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧oxy左同右异⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:①

29yoxyox图1图2yoxyox图1图230oxyX=1oxyX=131oxyX=-1oxyX=-132oxyoxy33⑷顶点坐标是（，）。y..x(,)⑷顶点坐标是（，34（6）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=时,y有最大(最小)值y..xy.xx能否说出它们的增减性呢？（6）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=35（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyoxyox①

△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②

△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③

△＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyo36（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：

yoxyoxyox①

△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②

△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③

△＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyo37⑶

c决定抛物线与y轴交点的位置：①

c＞0＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；②

c=0＜＝＞图象过原点；③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（，）。

（5）二次函数有最大或最小值由a决定。

当x=－

—

时,y有最大(最小)值y=b2a______________________4a4ac－b2⑷顶点坐标是（，38-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根

据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？

y

1..x13-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的391.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在（）A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A4B.-1C.3D.4或-1CBA1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（404.若二次函数y=ax2+bx+c

的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是（）

A.b2-4ac>0B.<0

C.a+b+c=0D.>01xyo-15.若把抛物线y=x2-2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（）

A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18

B

B-2ab4a4ac-b24.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,416.若一次函数y=ax+b

的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC6.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则42二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐43（五）、学习回顾：抛物线

开口方向

对称轴

顶点坐标

y=ax2(a>0)y=ax2+k(a>0)y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2+k(a>0)y=ax2+bx+c(a>0)填写表格：（五）、学习回顾：抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=a441.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系1.相同点:驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二452.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)

的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位(当>0时,向右平移;当<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移||个单位

(当>0时向上平移;当<0时,向下平移)得到的.驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是46二次函数y=ax2+bx+c图象和性质xyo二次函数y=ax2+bx+cxyo47

一般地，抛物线y=a(x-h)

+k与y=ax

的

相同，

不同22知识回顾：形状位置

y=ax2y=a(x-h)

+k2上加下减左加右减一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax48知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥0时，开口

，

当a﹤0时，开口

，向上向下

2.对称轴是

；3.顶点坐标是

。直线X=h(h,k)知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥49二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5

y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（-3，5）（1，-2）（3，7）（2，-6）你能说出二次函数y=—x－6x＋21图像的特征吗？212二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5y50探究:如何画出的图象呢?我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),

二次函数也能化成这样的形式吗?探究:如何画出的图象呢?51配方

y=—(x―6)+3212你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；(

2

)“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。配方52归纳二次函数y=

—x－6x

+21图象的画法：(1)“化”：化成顶点式；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212归纳二次函数y=—x－6x+21图象的(1)“化”53510510Oxyx…3456789……7.553.533.557.5…510510Oxyx…3456789……7.553.533.54画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同数量的点，一般取5－7个点即可。注意画二次函数的图象取点时先确定顶点，再在顶点的两旁对称地取相同55求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．

函数y=ax²+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号这个结果通常称为求顶点坐标公式.求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．函数y=56函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

1.

说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？57函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？58例1：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。

对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。例1：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y59方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容3方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容360二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐61图象的画法．步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。图象的画法．步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．62所以当x＝2时，。解法一（配方法）：例

当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？所以当x＝2时，。解法一（配方法）：例当x63因为所以当x＝2时，。因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所以y有最小值，

总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．解法二（公式法）：因为因为a＝2＞0，抛物线有最低点，所64又例已知函数，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。解法一：，

∴抛物线开口向下，

∴

对称轴是直线x＝－3，当

x＞－3时，y随x的增大而减小。

又例已知函数65解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。解法二：，∴抛物线开口向下，∴对称轴是直线x＝－3，当x66例已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．例已知二次函数的最大值是0，求此函数的解析式．67解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．由②解方程得所求函数解析式为。解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以68练习1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-2x2形状相同,且顶点坐标为(1,-5)的函数解析式为

.2、若抛物线y＝a(x-m)2+n的图象与函数y＝2x2的图象的形状相同,且顶点为(-3,2),则函数的解析式为

.

练习1、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-2x693、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x2形状相同,但开口方向相反,且顶点坐标为(-1,5)的函数解析式为

.3、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x2形状704.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是（2，-3），求m，n的值。5.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？4.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是5.不画图象，说明71①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－

x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:小试牛刀3－9－6①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－72抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：

a＞0开口向上a＜0开口向下xy抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：73③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：①

c＞0＜＝＞图象与y轴交点在y轴正半轴；②

c=0＜＝＞图象过原点；xy③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在y轴负半轴。⑵c决定抛74⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:

对称轴是直线x=

①

a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧；②

b=0＜＝＞对称轴是y轴；③a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧oxy左同右异⑶a，b决定抛物线对称轴的位置:①

75yoxyox图1图2yoxyox图1图276oxyX=1oxyX=177oxyX=-1oxyX=-178oxyoxy79⑷顶点坐标是（，）。y..x(,)⑷顶点坐标是（，80（6）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=时,y有最大(最小)值y..xy.xx能否说出它们的增减性呢？（6）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=81（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyoxyox①

△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②

△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③

△＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyo82（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：

yoxyoxyox①

△＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点；②

△＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点；③

△＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。（7）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：yoxyo83⑶

c决定抛物线与y轴交点的位置：①

c＞0＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；②

c=0＜＝＞图象过原点；③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（，）。

（5）二次函数有最大或最小值由a决定。

当x=－

—

时,y有最大(最小)值y=b2a______________________4a4ac－b2⑷顶点坐标是（，84-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根

据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？

y

1..x13-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的851.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在（）A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A4B.-1C.3D.4或-1CBA1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（864.若二次函数y=ax2+bx+c

的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是（）

A.b2-4ac>0B.<0

C.a+b+c=0D.>01xyo-15.若把抛物线y=x2-2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（）

A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18

B

B-2ab4a