保险精算原理和实务课件

指定教材王晓军等，保险精算原理与实务，中国人民大学出版社。参考资料Kellison,S.G.，TheoryofInterest，2ndEdition,SOA，1991.Bowers,N.L，ActuarialMathematics，2ndEdition，SOA，2019.指定教材1课程结构基础利息理论基础生命表基础核心保费计算责任准备金计算多重损失模型保单的现金价值与红利拓展特殊年金与保险寿险定价与负债评估偿付能力与监管课程结构基础2第一章利息理论基础第一章利息理论基础3利息理论要点利息的度量利息问题求解的原则年金收益率分期偿还表与偿债基金利息理论要点利息的度量4第一节利息的度量第一节利息的度量5第一节汉英名词对照积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力AccumulatedvaluePresentvalueEffectiveannualrateSimpleinterestCompoundinterestNominalinterestDiscountrateForceofinterest第一节汉英名词对照积累值Accumulatedvalue6

一、利息的定义定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

影响利息大小的三要素：本金利率时期长度

一、利息的定义定义：7二、利息的度量积累函数总额函数贴现函数第N期利息0t1------------------------------K-----------------------------------------------------------1二、利息的度量积累函数0t1----------------8利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率第N期实质利率期初计息——贴现率第N期实质贴现率利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率9例1.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求分别等于多少？例1.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末10例1.1答案

例1.1答案11利息度量二——积累方式不同线形积累单利单贴现指数积累复利复贴现利息度量二——积累方式不同线形积累指数积累12单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利13例证明对于0<t<1,例证明对于0<t<1,14例1.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？例1.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计15例1.2答案

例1.2答案16利息的度量三——利息转换频率不同实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为。名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记

为这一年的名义利率，。利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为。实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。利息的度量三——利息转换频率不同实质利率：以一年为一个利息转17实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11实质利率与实质贴现率初始值利息积累值1118名义利率名义利率11名义利率名义利率1119名义贴现率名义贴现率11名义贴现率名义贴现率1120几个关系式几个关系式21例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值22例1.3答案1、2、3、例1.3答案1、23利息效力定义：瞬间时刻利率强度利息效力定义：瞬间时刻利率强度24保险精算原理和实务课件25等价公式一般公式恒定利息效力场合等价公式一般公式26例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值27例1.4答案例1.4答案28三、变利息什么是变利息？常见的变利息情况连续变化场合：函数利息力离散变化场合：三、变利息什么是变利息？29例1.51、如果，试确定1在n年末的积累值。2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？例1.51、如果，试确定1在n年末的积累30例1.5答案例1.5答案31第二节利息问题求解原则第二节利息问题求解原则32一、利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值

一、利息问题求解四要素原始投资本金33二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。0现金流时间坐标二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是34例1.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例1.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在35例1.6答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）例1.6答案以第7年末为时间参照点，有36例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到537例1.7答案（1）（2）例1.7答案（1）38例1.8：求时间假定分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？例1.8：求时间假定分别为12%、6%、2%，问39例1.8精确答案

例1.8精确答案40例1.9近似答案——ruleof72例1.9近似答案——ruleof7241例1.10：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？例1.10：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资42例1.10答案

例1.10答案43第三节年金第三节年金44第三节汉英名词对照年金支付期延付年金初付年金永久年金变额年金递增年金递减年金AnnuityPaymentperiodAnnuity-immediateAnnuity-dueperpetuityVaryingannuityIncreasingannuityDecreasingannuity第三节汉英名词对照年金Annuity45一、年金的定义与分类定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。分类基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金一、年金的定义与分类定义46二、基本年金基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定分类付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永久年金二、基本年金基本年金47基本年金图示

0123-------nn+1n+2---111----100---111----1000---11----111----111----111----延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金基本年金图示0148基本年金公式推导基本年金公式推导49保险精算原理和实务课件50求证求证51一年多次收付的年金一年多次收付的年金52续上续上53例1.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。例1.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半54例1.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？例1.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款355例1.12答案（1）（2）例1.12答案（1）56例1.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若

求这些付款的现时值。例1.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随57例1.13答案方法一：方法二：例1.13答案方法一：58例1.14有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？例1.14有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出559例1.15——永久年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？例1.15——永久年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财60例1.15答案例1.15答案61基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付

基本年金公式总结有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付62未知时间问题年金问题四要素年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）关注最后一次付款问题在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（droppayment）在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloonpayment）未知时间问题年金问题四要素63例1.16有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）例1.16有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间64例1.16答案例1.16答案65变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为)变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为)66变利率年金问题类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率计息）变利率年金问题类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率67例1.17:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.例1.17:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为68例1.17答案例1.17答案69例1.18:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.例1.18:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利70例1.18答案例1.18答案71三、一般年金一般年金利率在支付期发生变化付款频率与利息转换频率不一致每次付款金额不恒定分类支付频率不同于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金变额年金三、一般年金一般年金72支付频率不同于计息频率年金分类支付频率小于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。年金的代数分析支付频率不同于计息频率年金分类73支付频率小于计息频率年金0k2k

…nk计息支付11…1方法一:利率转换方法二:年金转换支付频率小于计息频率年金0k2k…nk计息支付11…1方74例1.19:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.例1.19:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息75例1.19答案方法一:利率转换法方法二:年金转换法例1.19答案方法一:利率转换法76例1.20：永久年金有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。例1.20：永久年金有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实77支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付

…第nm次每次支付计息支付12…n支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次78年金分析方法方法一：利率转换法年金转换法年金分析方法方法一：利率转换法年金转换法79例1.21某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.例1.21某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每80例1.21答案方法一:方法二:

例1.21答案方法一:81例1.22：永久年金一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？例1.22：永久年金一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去82例1.22答案例1.22答案83年金关系延付年金初付年金现时值积累值年金关系延付年金初付年金现时值积累值84一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率85变额年金等差年金递增年金递减年金等比年金变额年金等差年金86等差年金一般形式现时值积累值012…nPP+QP+(n-1)Q…等差年金一般形式012…nPP+QP+(n-1)Q…87特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-88例1.24从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成计算例1.24从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,89例1.24答案例1.24答案90例1.25有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。例1.25有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，91例1.25答案例1.25答案92等比年金012…n11+k…等比年金012…n11+k…93例1.26:某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.例1.26:某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付94例1.26答案例1.26答案95第四节收益率第四节收益率96第四节中英文单词对照贴现资金流收益率再投资率时间加权利率币值加权利率DiscountedcashflowyieldrateReinvestmentrateTime-weightedratesofinterestDollar-weightedratesofinterest第四节中英文单词对照贴现资金流Discountedcash97贴现资金流分析例1.27：现金流动表按利率投资返回的净现时值年投入回收净现金流投入净现金流返回010000010000-10000110005000-40004000210006000-50005000312007500-63006300贴现资金流分析例1.27：现金流动表年投入回收净现金流投入净98不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4361.875%3786.8510%2501.88不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%499收益率的概念使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率”用线形插值法求得上例中收益率为22.65%收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。收益率的概念使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也100收益率的唯一性例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。解答：收益率的唯一性例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末101收益率的唯一性由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。Descartes符号定理收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。收益率唯一性的判定定理二整个投资期间未动用投资余额始终为正。收益率的唯一性由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是102未动用投资余额未动用投资余额103收益率唯一性判别（D氏符号判别）例1.27例1.28年符号转变次数0-10000一次140002500036300年符号转变次数0-100两次12302-132收益率唯一性判别（D氏符号判别）例1.27例1.28年符号转104再投资率本金的再投资问题例1.29：有两个投资方案可供我们选择A方案：实质利率为10%，为期5年B方案：实质利率为8%，为期10年我们应该选择哪项投资？再投资率本金的再投资问题105例1.29资金积累过程例1.29资金积累过程106例1.29答案如果A五年后的再投资率>6.036%,选择A。否则选择B。例1.29答案107利息的再投资问题（一）例1.30:某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？利息的再投资问题（一）例1.30:10801210例1.30的积累过程-----利息再投资帐户基金帐户01210例1.30的积累过程-----利息再投资帐户基金帐109例1.31答案例1.31答案110利息的再投资问题（二）例1.32（例1.31续）假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少？利息的再投资问题（二）例1.32（例1.31续）11101210例1.32的积累过程-----基金帐户利息再投资帐户01210例1.32的积累过程-----基金帐户利息再投资帐112基金收益率计算基本符号A=初始资金B=期末资金I=投资期内利息Ct=t时期的净投入（可正可负）C=

在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息基金收益率计算基本符号113币值加权方法币值加权方法114时间加权方法原理时间012-----m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm时间加权方法原理时间012-----m-1m投资C1C2C3115基本公式基本公式116例1.32某投资基金1月1日，投资100000元5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元。次年1月1日，该资金总额为100000元。请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。例1.32某投资基金117例1.32答案例1.32答案118币值加权和时间加权的比较都是计算单位时期投资收益率的方法币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。币值加权和时间加权的比较都是计算单位时期投资收益率的方法119第五节分期支付与偿债基金第五节分期支付与偿债基金120第五节中英文单词对照分期偿还方法分期偿还表偿债基金偿债基金表AmortizationmethodAmortizationscheduleSinkingfundSinkingfundschedule第五节中英文单词对照分期偿还方法Amortizationm121债务偿还方式分期偿还：借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。偿债基金：借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。债务偿还方式分期偿还：122分期偿还常见分期偿还类型等额分期偿还不等额分期偿还递增分期偿还递减分期偿还分期偿还五要素时期

每次还款额每次偿还利息每次偿还本金未偿还贷款余额分期偿还常见分期偿还类型分期偿还五要素123（一）等额分期偿还（一）等额分期偿还124保险精算原理和实务课件125保险精算原理和实务课件126未来法未来法127证明两种方法的一致性证明两种方法的一致性128分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0---11k1n10总计n-分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还129例1.33某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？例1.33某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52130例1.33答案例1.33答案131（二）变额分期偿还（二）变额分期偿还132偿债基金常见偿债基金类型等额偿债基金不等额偿债基金偿债基金六要素时期

每期偿还利息每次存入偿债基金金额每期偿债基金所得利息偿债基金积累额未偿还贷款余额偿债基金常见偿债基金类型偿债基金六要素133（一）等额偿债基金（一）等额偿债基金134保险精算原理和实务课件135保险精算原理和实务课件136偿债基金与分期偿还的每期利息相等偿债基金与分期偿还的每期利息相等137偿债基金k期末的贷款净值与分期偿还法中第k期末的未偿还本金余额相等偿债基金k期末的贷款净值与分期偿还法中第k期末的未偿还本金余138偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷款利息每期偿债基金储蓄每期偿债基金利息偿债基金积累值未偿还贷款余额0----1102Kn10偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷139偿债基金利息本金分析对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：第次付款的实际偿还本金为：偿债基金利息本金分析对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为140例1.34A曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问1500中又多少是当前支付给贷款的利息?1500中有多少进入偿债基金?1500中又多少应被认为是利息?1500中有多少应被视为本金?第11年末的偿债基金余额为多少?例1.34A曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利141例1.34答案例1.34答案142例1.35(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5%的贷款,其付款方式为:第一年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L.(2)假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6%的利息,并以实质利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.例1.35(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每143例1.35答案例1.35答案144（二）变额偿债基金（二）变额偿债基金145保险精算原理和实务课件146保险精算原理和实务课件147第六节债券价值P——债券的理论价格i——投资者要求的收益率或市场利率F——债券的面值C——债券的偿还值r——债券的息票率rF——每期的息票收入第六节债券价值P——债券的理论价格148g——债券的修正息票率，它是债券的息票收入rF与偿还值之间的比率，g=rF/Cn——截至到期日，息票的偿还次数K——偿还值按收益率i计算的现值G——债券的基价，基价按收益率i投资时得到的每期利息收入等于债券的息票收入g——债券的修正息票率，它是债券的息票收入rF与偿还值之间的149一基本公式一基本公式150二溢价公式二溢价公式151三基价公式三基价公式152四Makeham公式四Makeham公式153例债券的面值为1000元，年息票率为5％，期限为6年，到期按面值偿还，投资者要求的年收益率为5.5%，试计算债券购买价格。例债券的面值为1000元，年息票率为5％，期限为6年，到期按154保险精算原理和实务课件155例假设两种债券的面值都为1000元，且期限相同，收益率都为2％，其中一种债券的价格为1136.78元，年息票率为2.5%，另一种债券的价格为P，年息票率为1.25%，试计算P。例假设两种债券的面值都为1000元，且期限相同，收益率都为2156保险精算原理和实务课件157例某债券面值1000元，名义年息票率为9％，半年支付一次，期限为10年，前5年每半年收益率为4％，后5年每半年收益率为5％，计算债券价值。例某债券面值1000元，名义年息票率为9％，半年支付一次，期158保险精算原理和实务课件159二债券的账面价值投资者购买债券相当于投资了一笔资金，该投资者将以市场利率进行累积。而发行人支付息票收入就相当于投资者收回了相应金额的投资，用投资累积值减去息票收入就可得到投资者的投资余额。我们定义投资者在该债券上的投资余额为债券的账面值。二债券的账面价值投资者购买债券相当于投资了一笔资金，该投资160整数息票支付周期的债券价格和账面值整数息票支付周期的债券价格和账面值161保险精算原理和实务课件162保险精算原理和实务课件163保险精算原理和实务课件164（二）任意时点的账面值（二）任意时点的账面值165保险精算原理和实务课件166xiexie!谢谢！xiexie!谢谢！167指定教材王晓军等，保险精算原理与实务，中国人民大学出版社。参考资料Kellison,S.G.，TheoryofInterest，2ndEdition,SOA，1991.Bowers,N.L，ActuarialMathematics，2ndEdition，SOA，2019.指定教材168课程结构基础利息理论基础生命表基础核心保费计算责任准备金计算多重损失模型保单的现金价值与红利拓展特殊年金与保险寿险定价与负债评估偿付能力与监管课程结构基础169第一章利息理论基础第一章利息理论基础170利息理论要点利息的度量利息问题求解的原则年金收益率分期偿还表与偿债基金利息理论要点利息的度量171第一节利息的度量第一节利息的度量172第一节汉英名词对照积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力AccumulatedvaluePresentvalueEffectiveannualrateSimpleinterestCompoundinterestNominalinterestDiscountrateForceofinterest第一节汉英名词对照积累值Accumulatedvalue173

一、利息的定义定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

影响利息大小的三要素：本金利率时期长度

一、利息的定义定义：174二、利息的度量积累函数总额函数贴现函数第N期利息0t1------------------------------K-----------------------------------------------------------1二、利息的度量积累函数0t1----------------175利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率第N期实质利率期初计息——贴现率第N期实质贴现率利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率176例1.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求分别等于多少？例1.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末177例1.1答案

例1.1答案178利息度量二——积累方式不同线形积累单利单贴现指数积累复利复贴现利息度量二——积累方式不同线形积累指数积累179单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利180例证明对于0<t<1,例证明对于0<t<1,181例1.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？例1.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计182例1.2答案

例1.2答案183利息的度量三——利息转换频率不同实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为。名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记

为这一年的名义利率，。利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为。实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。利息的度量三——利息转换频率不同实质利率：以一年为一个利息转184实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11185名义利率名义利率11名义利率名义利率11186名义贴现率名义贴现率11名义贴现率名义贴现率11187几个关系式几个关系式188例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。例1.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值189例1.3答案1、2、3、例1.3答案1、190利息效力定义：瞬间时刻利率强度利息效力定义：瞬间时刻利率强度191保险精算原理和实务课件192等价公式一般公式恒定利息效力场合等价公式一般公式193例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、例1.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值194例1.4答案例1.4答案195三、变利息什么是变利息？常见的变利息情况连续变化场合：函数利息力离散变化场合：三、变利息什么是变利息？196例1.51、如果，试确定1在n年末的积累值。2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？例1.51、如果，试确定1在n年末的积累197例1.5答案例1.5答案198第二节利息问题求解原则第二节利息问题求解原则199一、利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值

一、利息问题求解四要素原始投资本金200二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。0现金流时间坐标二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是201例1.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？例1.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在202例1.6答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）例1.6答案以第7年末为时间参照点，有203例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？例1.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5204例1.7答案（1）（2）例1.7答案（1）205例1.8：求时间假定分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？例1.8：求时间假定分别为12%、6%、2%，问206例1.8精确答案

例1.8精确答案207例1.9近似答案——ruleof72例1.9近似答案——ruleof72208例1.10：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？例1.10：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资209例1.10答案

例1.10答案210第三节年金第三节年金211第三节汉英名词对照年金支付期延付年金初付年金永久年金变额年金递增年金递减年金AnnuityPaymentperiodAnnuity-immediateAnnuity-dueperpetuityVaryingannuityIncreasingannuityDecreasingannuity第三节汉英名词对照年金Annuity212一、年金的定义与分类定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。分类基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金一、年金的定义与分类定义213二、基本年金基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定分类付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永久年金二、基本年金基本年金214基本年金图示

0123-------nn+1n+2---111----100---111----1000---11----111----111----111----延付永久年金初付永久年金延付年金初付年金基本年金图示01215基本年金公式推导基本年金公式推导216保险精算原理和实务课件217求证求证218一年多次收付的年金一年多次收付的年金219续上续上220例1.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。例1.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半221例1.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？例1.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款3222例1.12答案（1）（2）例1.12答案（1）223例1.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若

求这些付款的现时值。例1.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随224例1.13答案方法一：方法二：例1.13答案方法一：225例1.14有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？例1.14有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5226例1.15——永久年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？例1.15——永久年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财227例1.15答案例1.15答案228基本年金公式总结年金有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付

基本年金公式总结有限年金永久年金现时值积累值现时值延付初付229未知时间问题年金问题四要素年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）关注最后一次付款问题在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（droppayment）在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloonpayment）未知时间问题年金问题四要素230例1.16有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）例1.16有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间231例1.16答案例1.16答案232变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为)变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为)233变利率年金问题类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率计息）变利率年金问题类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率234例1.17:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.例1.17:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为235例1.17答案例1.17答案236例1.18:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.例1.18:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利237例1.18答案例1.18答案238三、一般年金一般年金利率在支付期发生变化付款频率与利息转换频率不一致每次付款金额不恒定分类支付频率不同于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金变额年金三、一般年金一般年金239支付频率不同于计息频率年金分类支付频率小于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。年金的代数分析支付频率不同于计息频率年金分类240支付频率小于计息频率年金0k2k

…nk计息支付11…1方法一:利率转换方法二:年金转换支付频率小于计息频率年金0k2k…nk计息支付11…1方241例1.19:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.例1.19:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息242例1.19答案方法一:利率转换法方法二:年金转换法例1.19答案方法一:利率转换法243例1.20：永久年金有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永久年金的现时值。例1.20：永久年金有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实244支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付

…第nm次每次支付计息支付12…n支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次245年金分析方法方法一：利率转换法年金转换法年金分析方法方法一：利率转换法年金转换法246例1.21某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.例1.21某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每247例1.21答案方法一:方法二:

例1.21答案方法一:248例1.22：永久年金一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？例1.22：永久年金一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去249例1.22答案例1.22答案250年金关系延付年金初付年金现时值积累值年金关系延付年金初付年金现时值积累值251一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率252变额年金等差年金递增年金递减年金等比年金变额年金等差年金253等差年金一般形式现时值积累值012…nPP+QP+(n-1)Q…等差年金一般形式012…nPP+QP+(n-1)Q…254特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-255例1.24从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成计算例1.24从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,256例1.24答案例1.24答案257例1.25有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。例1.25有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，258例1.25答案例1.25答案259等比年金012…n11+k…等比年金012…n11+k…260例1.26:某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.例1.26:某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付261例1.26答案例1.26答案262第四节收益率第四节收益率263第四节中英文单词对照贴现资金流收益率再投资率时间加权利率币值加权利率DiscountedcashflowyieldrateReinvestmentrateTime-weightedratesofinterestDollar-weightedratesofinterest第四节中英文单词对照贴现资金流Discountedcash264贴现资金流分析例1.27：现金流动表按利率投资返回的净现时值年投入回收净现金流投入净现金流返回010000010000-10000110005000-40004000210006000-50005000312007500-63006300贴现资金流分析例1.27：现金流动表年投入回收净现金流投入净265不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4361.875%3786.8510%2501.88不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4266收益率的概念使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率”用线形插值法求得上例中收益率为22.65%收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。收益率的概念使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也267收益率的唯一性例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。解答：收益率的唯一性例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末268收益率的唯一性由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。Descartes符号定理收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。收益率唯一性的判定定理二整个投资期间未动用投资余额始终为正。收益率的唯一性由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是269未动用投资余额未动用投资余额270收益率唯一性判别（D氏符号判别）例1.27例1.28年符号转变次数0-10000一次140002500036300年符号转变次数0-100两次12302-132收益率唯一性判别（D氏符号判别）例1.27例1.28年符号转271再投资率本金的再投资问题例1.29：有两个投资方案可供我们选择A方案：实质利率为10%，为期5年B方案：实质利率为8%，为期10年我们应该选择哪项投资？再投资率本金的再投资问题272例1.29资金积累过程例1.29资金积累过程273例1.29答案如果A五年后的再投资率>6.036%,选择A。否则选择B。例1.29答案274利息的再投资问题（一）例1.30:某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？利息的再投资问题（一）例1.30:27501210例1.30的积累过程-----利息再投资帐户基金帐户01210例1.30的积累过程-----利息再投资帐户基金帐276例1.31答案例1.31答案277利息的再投资问题（二）例1.32（例1.31续）假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少？利息的再投资问题（二）例1.32（例1.31续）27801210例1.32的积累过程-----基金帐户利息再投资帐户01210例1.32的积累过程-----基金帐户利息再投资帐279基金收益率计算基本符号A=初始资金B=期末资金I=投资期内利息Ct=t时期的净投入（可正可负）C=

在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息基金收益率计算基本符号280币值加权方法币值加权方法281时间加权方法原理时间012-----m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm时间加权方法原理时间012-----m-1m投资C1C2C3282基本公式基本公式283例1.32某投资基金1月1日，投资100000元5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元。次年1月1日，该资金总额为100000元。请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。例1.32某投资基金284例1.32答案例1.32答案285币值加权和时间加权的比较都是计算单位时期投资收益率的方法币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。币值加权和时间加权的比较都是计算单位时期投资收益率的方法286第五节分期支付与偿债基金第五节分期支付与偿债基金287第五节中英文单词对照分期偿还方法分期偿还表偿债基金偿债基金表AmortizationmethodAmortizationscheduleSinkingfundSinkingfundschedule第五节中英文单词对照分期偿还方法Amortizationm288债务偿还方式分期偿还：借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。偿债基金：借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。债务偿还方式分期偿还：289分期偿还常见分期偿还类型等额分期偿还不等额分期偿还递增分期偿还递减分期偿还分期偿还五要素时期

每次还款额每次偿还利息每次偿还本金未偿还贷款余额分