三垂线定理优秀课件

各位老师光临指导

主讲人：许昌高级中学邓焕迎各位老师光临指导主讲人：许昌高级中学1§6三垂线定理9.4直线与平面垂直的判定和性质——————————————————————§6三垂线定理9.4直线与平面垂直的判定和性质———2教学目的掌握三垂线定理及逆定理运用三垂线定理及逆定理解决数学问题在实际生活中运用三垂线定理及逆定理重点与难点三垂线定理及逆定理的适用条件三垂线定理及逆定理的应用教学目的掌握三垂线定理及逆定理重点与难点三垂线定理及逆定理的3复习提问1.直线和平面垂直的判定定理。2.平面的斜线段的长与射影长的关系。复习提问1.直线和平面垂直的判定定理。2.平面的斜线段的长与4一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面内的一条直线，5这个结论是如何得到呢？？？？这个结论是如何得到呢？？？？6一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：已知：AC和AB分别7一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面8一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面9一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面10一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，∴ACaa面内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面11一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，∴ACaa面∵BCa，AC∩BC＝C∴a平面ACB∵AB面ACB∴aAB内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面12注意：三垂线定理中的“三垂”指的是平面中的三个垂直关系——1、线和面垂直：AC和垂直2、线和射影垂直：a和BC垂直3、线和斜线垂直：a和AB垂直aABC注意：三垂线定理中的“三垂”指的是平面中的13？？？那么，什么是三垂线定理的逆定理呢？？？？142.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直那么它也和这条斜线的射影2.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个152.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直那么它也和这条斜线的射影垂直。2.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个16三垂线定理和逆定理的关键在于应用，这也是我们本节课的重点和难点！

先看一例生活中的数学问题——三垂线定理和逆定理的关键在于应用，这也是我们本节课的17二、应用AB例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。二、应用AB例1.已知学校的旗杆高20米，测18二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得19二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得20

？怎样才能求出—旗杆顶部A到楼底部的距离呢？？怎样才能求出—21二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得22二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得23二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得24二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得25二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得26二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得27二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得28二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得29二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得30二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得31二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得32二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，由勾股定理得：（米）答：旗杆底部B到楼底部的距离为米。AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得33感觉不错吧！再来看一个例子：感觉不错吧！再来看一个例子：34例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射35例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射36例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射37例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射38例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射39例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射40例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射41

哟，这个有点难，动动脑筋吧！哟，这个有点难，动动脑筋吧！42例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射43例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PFABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射44例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PFABCPOEF在平面内的射影。例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射45例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PFABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射46例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射47例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射48例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面由三垂线定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射49例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面由三垂线定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射50例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面由三垂线定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF同理OFAC有OEAB，∴AO为∠BAC的平分线即AO平分∠BAC例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射51学以致用——

下面几道题要检验同学们听讲的效果学以致用——52三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（）三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面53？认真想一想线面垂直的定义？认真想一想54三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面55三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面56三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面57三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面58三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面59三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面60

通过直线C的运动，我们可知这道题的答案应该是——通过直线C的运动，我们可知这道题的答案应该是61三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面62三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc假三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面63(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，64(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，65(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，66(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，67？？？这道题的答案应该是——？？？这道题的答案应该是——68(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc真(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，692.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB70注意：认真分析题目所给的条件注意：认真分析题目所给的条件712.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB722.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB732.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB742.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB752.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB762.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AO即AO就是点A到B’D’的距离。O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB772.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AO即AO就是点A到B’D’的距离。O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB782.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AO即AO就是点A到B’D’的距离。O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB792.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AO即AO就是点A到B’D’的距离。O∴2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB802.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AO即AO就是点A到B’D’的距离。∴O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB812.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AO即AO就是点A到B’D’的距离。∴又AA’＝5∴即点A到B’D’的距离是厘米。O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB82

注意：

通过这道题我们可以发现，在应用三垂线定理及逆定理时关键在于：选好平面位置，定好垂足，找出射影。注意：通过这道题我们可以发现，83在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

小结一、三垂线定理一、三垂线定理逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么84课后作业课本第29页11、12、13题。课后作业课本第29页11、12、13题。85谢谢二OO三年三月谢谢二OO三年三月86107.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。118.世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验；世界上最愚蠢的人是非用自己撞的头破血流的经验当经验。64.谁的人生不是荆棘前行，生活从来不会一蹴而就，也不会永远安稳，只要努力，就能做独一无二平凡可贵的自己。80.现实会告诉你，不努力就会被生活给踩死。无需找什么借口，一无所有，就是拼的理由!62.为什么要满足于现在的成绩，你有多优秀?50.因为在这个世界上，到头来我们注定都是孤独的。67.每一种创伤，都是一种成熟。56.你生活在别人的眼神里，就迷失在自己的心路上。你永远无法满足所有人，不必为了取悦这个世界而扭曲自己。22.我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。94.玉不琢，不成器；木不雕，不成材；人不学，不知理。24.没有目标的学习是空学，没有方法的学习是死学。119.有什么样的想法就有什么样的未来；有什么样的想法就有什么样的生活。47.与其相信依靠别人，不如相信依靠自己。29.身材不好就去锻炼，没钱就努力去赚。别把窘境迁怒于别人，你唯一可以抱怨的，只有不够努力的自己。33.人生用一个字来总结就是“找”字。97.做有用的事，说正能量的话，想美好的事，睡安稳的觉。把时间发生在进步上，而不是抱怨上。116.立志宜思真品格，读书须尽苦功夫。92.你所浪费的今天，是昨天死去的人奢望的明天；你所厌恶的现在，是未来的你回不去的曾经。115.分数铸就辉煌，汗水凝聚实力。48.不求与人相比，但求超越自我，要哭就哭出激动的泪水，要笑就笑出成长的性格。92.有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。76.不怕别人比你优秀，就怕比你优秀的人比你还努力。94.在学习上，最大的竞争对手就是你自己，要勇于超越自我。107.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。87各位老师光临指导

主讲人：许昌高级中学邓焕迎各位老师光临指导主讲人：许昌高级中学88§6三垂线定理9.4直线与平面垂直的判定和性质——————————————————————§6三垂线定理9.4直线与平面垂直的判定和性质———89教学目的掌握三垂线定理及逆定理运用三垂线定理及逆定理解决数学问题在实际生活中运用三垂线定理及逆定理重点与难点三垂线定理及逆定理的适用条件三垂线定理及逆定理的应用教学目的掌握三垂线定理及逆定理重点与难点三垂线定理及逆定理的90复习提问1.直线和平面垂直的判定定理。2.平面的斜线段的长与射影长的关系。复习提问1.直线和平面垂直的判定定理。2.平面的斜线段的长与91一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面内的一条直线，92这个结论是如何得到呢？？？？这个结论是如何得到呢？？？？93一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：已知：AC和AB分别94一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面95一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面96一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面97一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，∴ACaa面内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面98一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面的一条斜线那么它已知：AC和AB分别是平面的垂线和斜线，BC是AB在平面上的射影，a，aBC。求证：

aAB。证明：∵AC面，∴ACaa面∵BCa，AC∩BC＝C∴a平面ACB∵AB面ACB∴aAB内的一条直线，的射影垂直，也和这条斜线垂直。一、三垂线定理aABC1.三垂线定理：在平面如果和这个平面99注意：三垂线定理中的“三垂”指的是平面中的三个垂直关系——1、线和面垂直：AC和垂直2、线和射影垂直：a和BC垂直3、线和斜线垂直：a和AB垂直aABC注意：三垂线定理中的“三垂”指的是平面中的100？？？那么，什么是三垂线定理的逆定理呢？？？？1012.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直那么它也和这条斜线的射影2.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个1022.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直那么它也和这条斜线的射影垂直。2.三垂线定理的逆定理aABC在平面内的一条直线如果和这个103三垂线定理和逆定理的关键在于应用，这也是我们本节课的重点和难点！

先看一例生活中的数学问题——三垂线定理和逆定理的关键在于应用，这也是我们本节课的104二、应用AB例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。二、应用AB例1.已知学校的旗杆高20米，测105二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得106二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得107

？怎样才能求出—旗杆顶部A到楼底部的距离呢？？怎样才能求出—108二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得109二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。AEFB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得110二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得111二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得112二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得113二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得114二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得115二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得116二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFACAEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得117二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得118二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得119二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。解：过B作楼底部所在直线EF的垂线BC垂足为C，由三垂线定理知EFAC所以AC是A到EF的距离，由勾股定理得：（米）答：旗杆底部B到楼底部的距离为米。AEFCB二、应用例1.已知学校的旗杆高20米，测量得120感觉不错吧！再来看一个例子：感觉不错吧！再来看一个例子：121例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射122例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射123例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射124例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射125例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射126例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射127例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BACABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射128

哟，这个有点难，动动脑筋吧！哟，这个有点难，动动脑筋吧！129例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射130例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PFABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射131例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PFABCPOEF在平面内的射影。例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射132例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PFABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射133例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射134例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射135例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面由三垂线定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射136例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面由三垂线定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射137例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射影，PEAB于E，PFAC于FPE＝PF求证：AO平分∠BAC证明：连接OE，连接OF，它们分别是PE．PF在平面内的射影。

∵PE＝PF

∴OE＝OF

∵ABPE．PO平面由三垂线定的逆定理，有OEAB，ABCPOEF同理OFAC有OEAB，∴AO为∠BAC的平分线即AO平分∠BAC例2.已知：P为∠BAC所在平面外一点，O为P在平面内的射138学以致用——

下面几道题要检验同学们听讲的效果学以致用——139三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（）三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面140？认真想一想线面垂直的定义？认真想一想141三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面142三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面143三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面144三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面145三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面146三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面147

通过直线C的运动，我们可知这道题的答案应该是——通过直线C的运动，我们可知这道题的答案应该是148三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面149三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面，它就垂直于这个平面内所有的直线（真）（2）已知a是平面的斜线，b是a在平面上的射影，如果直线cb,那么ac（）abc假三、练习1.判断下列命题的真假：（1）一条直线垂直于一个平面150(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，151(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，152(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，153(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，154？？？这道题的答案应该是——？？？这道题的答案应该是——155(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，是平面的垂线，如果直线ca，c

b,那么c。()abc真(3)已知a是平面的斜线，b是a在平面上旋转一周一射影，1562.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB157注意：认真分析题目所给的条件注意：认真分析题目所给的条件1582.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB1592.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’O2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB1602.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接AO，∵ABCD－A’B’C’D’是正方体，∴A’C’B’D’即A’OB’D’∴A’O是AO在底面A’C’上的射影。∴B’D’AOO2.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB1612.正方体的边长为5厘米，求点A到B’D’的距离。AA’BB’C’CDD’解：连接B’D’，连接A’C’，它们交于O，再连接A